专题06 一元一次方程特殊解的四种考法-2023年初中数学7年级上册同步压轴题（教师版含解析）

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专题06 一元一次方程特殊解的四种考法类型一、整数解问题例.已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为(       )A． B． C． D．【答案】D【详解】解：解关于x的方程得x(a)，∵关于x的方程的解是负整数，∴是负整数，∴ 或或或即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+(-4)+(-5)+(-19)＝-30，故答案为：D．【变式训练1】关于x的一元一次方程(k﹣1)x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是(　　)A．0 B．4 C．6 D．10【答案】C【详解】解：解方程得，x＝，∵关于x的一元一次方程(k﹣1)x＝4的解是整数，∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5，∴符合条件的所有整数k的值的和是：(﹣3)+(﹣1)+0+2+3+5＝6，故选：C．【变式训练2】从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为(    )A． B． C．32 D．64【答案】D【解析】由，解得：，∵关于的方程的解为整数，∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，故选D．【变式训练3】若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为(       )A． B． C．0 D．3【答案】B【详解】∵，∴x=，∵一元一次方程有非正整数解，∴a=6，a=3，a=-1，a=-2，a=-3，a=-6，∴符合条件的所有整数之和为6+3-1-2-3-6=，故选B．【变式训练4】已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数m的和是(    )A． B． C．2 D．4【答案】A【详解】解：，两边同乘以3，得去括号，得，移项合并同类项，得因为方程有解，所以，所以要使方程的解是非正整数，则整数满足： 且为整数所以的值为：-1或-5，解得：m=-6或-2则符合条件的所有整数m的和是：-6+(-2)=-8，故选：A类型二、含绝对值型例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；当时，方程可化为：，解得，符合题意．所以，原方程的解为或．请根据上述解法，完成以下两个问题：(1)解方程：；(2)试说明关于的方程解的情况．【答案】(1)x=-1或x=；(2)当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解【解析】(1)当x＜1时，方程可化为：，解得x=-1，符合题意．当x≥1时，方程可化为：，解得x=，符合题意．所以，原方程的解为：x=-1或x=；(2)当x＜-3时，方程可化为：，，解得：，则，解得：，当-3≤x≤1时，方程可化为： ，当x＞1时，方程可化为：，解得：，则，解得：，综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．【变式训练1】若，则____．【答案】或【解析】①当时，∵，∴，解得：；②当时，∵，∴，解得：(舍去)；③当时，∵，∴，解得：．故答案为：或．【变式训练2】已知关于的方程的解满足，则符合条件的所有的值的和为______．【答案】【详解】解：，解得，，，即或，解得或，则符合条件的所有的值的和为，故答案为：．【变式训练3】已知方程的解是负数，则值是(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】当x-3≥0时，即x≥3，，解得：x=-12，不符合；当x-3≤0时，即x≤3，，解得：x=-2，符合；将x=-2代入，=，故选B．【变式训练4】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程解：当时，方程可化为：，符合题意当<0时，方程可化为：=-3，符合题意所以原方程的解为：或 =-3仿照上面解法，解方程：【答案】或=-2【详解】解：当时，方程可化为：，，符合题意当<1时，方程可化为：，-2=4，=-2符合题意所以原方程的解为：或=-2．类型三、相同解的问题例.若关于的方程的解与方程的解相同，求的值．【答案】【详解】解：，去分母可得： 即 关于的方程的解与方程的解相同， 解得：【变式训练1】若关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为______．【答案】【详解】解：∵，∴，∵关于x的方程的解与方程的解相同，∴方程的解为，∴，解得：，故答案为：.【变式训练2】若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为______．【答案】.【解析】∵，∴x=m-1；∵，∴x=4-m，∵关于的方程的解与方程的解相同，∴4-m=m-1,解得m=.故填.【变式训练3】如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是(　　)A．1 B．±1 C．2 D．±2【答案】D【详解】解：，去分母得5x-1=14，移项、合并同类项得5x=15，系数化为1得x=3，把x=3代入得1=2|m|-3，∴2|m|=4，∴|m|=2，∴m=±2，故选：D．类型四、解的情况例.已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．(1)求m，n的值；(2)在(1)的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．【答案】(1) ；(2)．【解析】(1)∵关于x的方程(m+3)x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3，当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n，，2(2x+1)﹣10＝5(x+n)，解得：x＝﹣5n﹣8，∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2；(2)把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y＝，∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，∴，∴a＝﹣4．故答案为：(1) ；(2)【变式训练1】若关于x的方程无解，则a=______．【答案】-2【详解】解：-2(x-a)=ax+3，去括号得：-2x+2a-ax=3，移项合并得：-(2+a)x=3-2a，因为方程无解，所以2+a=0且3-2a≠0，解得a=-2，故答案为：-2．【变式训练2】解关于x的方程：【答案】当时，方程有唯一解为；当时，方程无解．【解析】，移项、整理得：，当，即时，方程有唯一解为：；当，即时，方程无解．故答案为：当时，方程有唯一解为；当时，方程无解．【变式训练3】如果关于x的方程无解，那么m的取值范围(       )A．任意实数 B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意得：当m-2=0时关于的方程无解，解得m=2，故选D．课后作业1．若是关于x，y的二元一次方程，则a的值(    )A．－2 B．3 C．3或－3 D．2或－2【答案】A【详解】解：由题意得：|a|-1=1，且a-2≠0，解得：a=-2，故选：A．2．关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是(　　)A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，整理得：，∵关于x的方程的解为负数，∴，解得：．故选：B．3．若关于的方程无解，则，的值分别为(       )A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】解：∵，∴，∴，∵关于的方程无解，∴，∴，故选D．4．已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为(    )A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6【答案】A【详解】解：方程去括号得：3x−9＝kx，移项合并得：(3−k)x＝9，解得：x＝，由x为正整数，k 为非负整数，得到k＝2，0，故选：A．5．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为(       )A． B． C． D．【答案】C【详解】解：去分母：，去括号： ，移项合并同类项：，系数化为1：，∵方程解是偶数，令，(k为整数)， ∴，∵a取整数，∴或，当时，；当时，；当时，；当时，，∴符合条件的所有整数a的和为，故选：C．6．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____________．【答案】【详解】∵的解为，∴，解得：，∴方程可化为，∴∴，∴，∴，故答案为：．7．a为非负整数，当a＝______时，方程的解为整数．【答案】或【详解】∵ax−5=0，∴，∵a为非负整数，∴当方程的解为整数时，或．故答案为：1或5．8．已知为有理数，定义一种新的运算△：△=，若关于的方程△=有正整数解，且为正整数．则符合条件的所有的的值的积为______．【答案】10【详解】解：∵ x△a=19，∴2ax-x+1=19，∴x=,∵x为正整数，∴2a-1=1，2，3，6，9，18，∵a为正整数，∴a=1，2，5，∴1×2×5=10，故答案为；10．9．嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了；(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程；(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？【答案】(1)；(2)2【解析】(1)解：，去分母，得；移项，合并同类项，得；系数化为1，得．(2)解：设被污染的正整数为m，则有，解之得，，∵是正整数，且m为正整数，∴．10．(1)已知关于x的方程是关于x的一元一次方程，求的值；(2)已知：方程2-3(x+1)＝8的解与关于x的方程-k+5＝-2x的解互为倒数，求k的值．【答案】(1)k-x=；(2)【解析】(1)解：由题意得，∴，∴k=2，或k=0，当k=2时，k-2=0，(不符合题意，舍去)，∴k=0，把k=0代入方程得：-2x+1=0，解得x=，∴=0-=-．(2)2-3(x+1)＝8，2-3x-3=8，x=-3，由题意将x=代入方程-k+5＝-2x得：解得：，∴k的值为．