专题08 线段上动点问题的三种考法-初中数学7年级上册同步压轴题（教师版含解析）

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专题08 线段上动点问题的三种考法 类型一、求值问题例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：(2)如图2，在(1)的条件下，长度为1的线段(E在F的左侧)在A，B之间沿数轴水平滑动(不与A，B重合)，点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D是的中点．①直接写出点D表示的数____________(用含m，n的式子表示)；②若，试求线段的长．          【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)线段的中点__这条线段的“巧点”；(填“是”或“不是”)；(2)如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t(s)，当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．     【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM．(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．     【变式训练3】如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．      类型二、证明定值问题例.如图，已知线段，，线段在直线上运动(点在点的左侧，点在点的左侧)，若．(1)求线段，的长；(2)若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．         【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动(A在B的左侧，C在D的左侧)，且m，n满足|m－12|＋(n－4)2＝0.(1)m＝   　，n＝   　；(2)点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．      【变式训练2】如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点(不与点，重合)，是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点．(1)若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________；(2)点在射线上运动(不与点，重合)的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．        【变式训练3】(1)如图1，在直线上，点在、两点之间，点为线段PB的中点，点为线段的中点，若，且使关于的方程无解.①求线段的长；②线段的长与点在线段上的位置有关吗？请说明理由；(2)如图2，点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变.     类型三、数量关系例.数轴上两点对应的数分别是，线段在数轴上运动，点在点的左边，且点是的中点．(1)如图1，当线段运动到点均在之间时，若，则_________，点对应的数为________，________；(2)如图2，当线段运动到点在之间时，画出草图并求与的数量关系．   【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．(1)请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______；(2)设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．      【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，(1)若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；(2)若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝　                　．      课后作业1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB．(1)填空：a=　　，b=　　，c=　　(2)点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．   2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点(异于，，点)在线段上，，，求的长．    3.已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点． (1)若，，求线段CD的长．(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．4.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM．(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．    5．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．(1)________，________，________．(2)点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．(3)点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．     6．七(1)班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考. (1)发现：如图1，线段，点在线段上，当点是线段和线段的中点时，线段的长为_________；若点在线段的延长线上，其他条件不变(请在图2中按题目要求将图补充完整)，得到的线段与线段之间的数量关系为_________. (2)应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳，其左右两端各有一段(和)磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳)就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点、点的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示点的理由.              7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为    (直接写出答案)．(2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值．(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．         8．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　   　，DM＝　   　；(直接填空)(2)当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．(3)若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　   　(填空)(4)在(3)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．      9．如图，数轴正半轴上的，两点分别表示有理数，，为原点，若，线段.(1)______，______；(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点到点的距离是点到点距离的3倍；(3)数轴上还有一点表示的数为32，若点和点同时从点和点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点，求点和点运动多少秒时，、两点之间的距离为4.      10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.(直接写出答案)     11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上，D在线段BP上)(1)若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：(2)在(1)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．(3)在(1)的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动(D点在线段PB上)，M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．