北京市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

这是一份北京市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．全集，若，则集合是（    ）A． B． C． D．2．展开式中的系数为（    ）A． B． C．10 D．203．下列每组双曲线中渐近线都为是（    ）A．， B．，C．， D．，4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.8，则其视力的五分记录法的数据约为（）（    ）A．4.5 B．4.7 C．4.8 D．4.95．已知函数是奇函数，是偶函数，则A． B． C． D．36．已知数列满足，则A．4043 B．4046 C．4047 D．40497．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（    ）A． B． C． D．8．已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（    ）A．、 B．、 C．、、 D．、、10．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个①；②直线与平面所成角不变；③点到直线的距离不变；④点到四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（    ）A．②③ B．③④C．①③④ D．①②④二、填空题11．若复数的共轭复数，则__________．12．不等式的解集为_________．13．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①；②；③，使得当时，总有④，使得当时，总有．其中，所有正确结论的序号是_________三、填空题14．已知圆，则圆的半径为_________；若直线被圆截得的弦长为1，则_________．15．已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________．四、解答题16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点．(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．在中，．(1)若，求；(2)若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积条件①：；    条件②：18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.19．已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.20．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若方程有解，求a的取值范围．21．已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：①；②，其中．(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；(2)当时，若，求证：；(3)当时，若，求证：．
参考答案1．D【分析】由补集定义可解.【详解】因为，，所以.故选：D2．C【分析】首先得到，令，解得，再代入通项求解即可.【详解】，令，解得.所以的系数为.故选：C3．A【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，且双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，所以选项A正确；因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，所以选项B错误；因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，所以选项C错误；因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，，其渐近线方程为，所以选项D错误.故选：A.4．D【分析】根据五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足，将代入，结合对数的运算，可得答案.【详解】由题意可知,故选:D.5．A【分析】利用奇函数的性质，可以求出的值，由偶函数的性质，可以求出的值，利用对数的运算公式，可以求出的值.【详解】因为函数是奇函数，所以，即，因为是偶函数，所以，因此，故本题选A.【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力.6．A【分析】根据已知判断，即与分别是公差为的等差数列，利用的值，求得的值.【详解】由得，两式相减的，即与分别是公差为的等差数列，所以①.而②，由①②得.故选A.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的和，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.7．A【分析】令方格边长为1，、与水平线夹角为，，由结合差角正切公式求夹角大小.【详解】若每个方格边长为1，、与水平线夹角为，，由图知：，而，所以，则 .故选：A8．A【分析】首先求与夹角为锐角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.【详解】当，解得：，且当时，，解得：，所以“与夹角为锐角时，的取值范围是且，所以“与夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.故选：A9．D【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果.【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，所以，，由题意可得，所以，，即，所以，，则，则，令可得，所以，，令，则，由可得，因为，则，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片.故选：D.10．C【分析】根据的变化情况并找出的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线与平面所成的角，就可判定②是否正确.【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确，此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确， 如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角，当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值，故②错误.故选：C.【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨迹的特点进行判断；(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题.11．【分析】设，代入所给等式根据复数相等的充要条件求出a、b即可求得复数.【详解】设，则，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查共轭复数、根据复数相等求参数，属于基础题.12．【分析】直接由指数函数的单调性解不等式即可.【详解】由，可得，故解集为.故答案为：.13．①②③【分析】由得即可判断①正确；由，即可判断②正确；由，当时，，即可判断③正确；由，当时，，即可判断④错误.【详解】因为，两式作差得，故为常数列，即，故，①正确；因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，又，故，使得当时，总有，③正确；，又，故，因为为常数，为单增数列，故当时，，，故④错误.故答案为：①②③.14．     1；     【分析】第一空：将一般方程化为标准方程即可求解；第二空：先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.【详解】第一空：将化为标准式得，故半径为1；第二空：圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.故答案为：1；.15．     ；     【分析】第一空：先由辅助角公式写出，再结合平移变换写出，即可求得最大值；第二空：由值域为得恒成立，结合诱导公式可得，结合求出a的最小值即可.【详解】第一空：由可得，易得的最大值为；第二空：若的值域为，则恒成立，即，又，故，解得，又，故当时，a的最小值为.故答案为：；.16．(1)证明见解析(2)，详情见解析 【分析】(1)设中点为，连接，由三角形中位线性质可得，且从而可得四边形为平行四边形，再由即可证得平面；(2)按照条件①、条件②的不同，分别作出图形和辅助线，利用已知条件求出的长，以及证得平面，再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）如图（1），设中点为，连接，底面为正方形，E，F分别为的中点．，且，而又，,且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）选条件①：连结,过作交于点，又因为，所以点也是中点，连结，，为的中点，则,又底面为正方形，,， ,在中，,平面平面，平面平面，平面，如图（2）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，,,平面，是平面的一个法向量，;设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ；.故二面角的余弦值为．选择条件②：取的中点为，连结,又平面平面，平面平面，平面，过作交于点，连结 ,又是中点，所以点也是中点，平面，平面,,设 ，则,，, ，，，，故在中，,即，解得，即，如图（3）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，,,平面，是平面的一个法向量，;设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ；.故二面角的余弦值为． 17．(1)；(2) 【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得，不存在；若选②：先判断，再由求出，由及余弦定理求得，再计算面积即可.(1)由正弦定理得：，又，故，又，故，；(2)若选①：由正弦定理得：，又，故，此时不存在；若选②：由，又，则，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），故的面积为.18．(I)； (II),分布列如下：012 (III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.【解析】(I) 折线图中2010年到2019年共10年中，2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在以下(II) 2010年到2019年共10年中，研发投入超过500亿元的有5年，的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率.(III) 图中信息10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发.【详解】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 ,.(II)由题意得的取值可能为0，1，2,,.的分布列为012 .（III）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.【点睛】超几何分布的特征.(1)考查对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．求离散型随机变量分布列的步骤.19．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据焦距和半长轴长都为2，以及椭圆的性质即可求解；（2）设出直线l的方程以及P（，），Q，），联立 求出韦达定理，令求出 M（4，），N（4，），由即可证明.【详解】（1）由题意得，解得所以椭圆C的方程为；（2）F（1，0），A（-2，0），设直线l的方程为，由得直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.设P（，），Q，），则.直线AP的方程为，令，得，即M（4，），同理，N（4，），所以，所以，所以以MN为直径的圆恒过点F.20．(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为(3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；（3）分离参数，转化为函数与直线有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可.【详解】（1）由题，，所以，，所以，又，所以曲线在处的切线方程为：，即；（2）令得，所以，令得，所以，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，（3）因为方程有解，即方程有解，令，，则方程有解，所以，有解，记，，则函数与直线有公共点，，令，，令得，令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以函数在上单调递增，记，，令得，令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，作出图象，如图：由图可知，函数与直线有公共点时，即实数a的范围为.【点睛】方法点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.也可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题.21．(1)；(2)见解析；(3)见解析. 【分析】（1）依题意，可直接写出相应的伴随数列；（2）讨论，两种情况，利用反证法即可求解；（3）讨论，两种情况，当时，由（2）的结论，中至少有两个1，利用反证法可得，根据的定义即可证明.【详解】（1）因为数列A：4，3，2，1，，所以.因为，所以，，，，.故数列A的伴随数列为.（2）当时，，显然有；当时，只要证明.用反证法，假设，则，从而，矛盾.所以.再根据为正整数，可知.故当时，.（3）当时，，有，此时，命题成立；当时，由（2）的结论，中至少有两个1，现假设中共有个1，即则.因为若，则，矛盾.所以.根据的定义可知，，，，以此类推可知一直有，再由后面，可知；另一方面与奇偶性相同，所以.【点睛】定义新数列题目，要正确理解题目信息，将问题转化为熟悉的知识点进行求解,注意反证法的运用.