河北省石家庄市2023届高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

河北省石家庄市2023届高三第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：____________

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数（为虚数单位），则复数在复平面直角坐标系内对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为，则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（    ）

A． B． C． D．

4．数列满足，对任意的都有，则（    ）

A． B． C． D．

5．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）

A．充不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6．4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（    ）

A．90 B．150 C．180 D．300

7．已知平面向量，，满足，，，若，则（    ）

A． B．4 C． D．8

8．定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．一组数据、、、、、、、、、的第百分位数为

B．若随机变量，且，则

C．若随机变量，则方差

D．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化

10．已知函数，则（    ）

A． B．f（x）的最小正周期为

C．f（x）在区间（0，）上只有1个零点 D．为f（x）图象的一条对称轴

11．在正方体中，点、分别是棱、的中点，则下列选项中正确的是（    ）.

A．

B．平面

C．异面直线与所成的角的余弦值为

D．平面截正方体所得的截面是五边形

12．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点成中心对称

B．函数的图象关于直线成轴对称

C．在区间上，为减函数

D．

三、填空题

13．已知，则曲线在点处的切线方程为______________．

14．在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为__________.

15．已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．

四、双空题

16．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.

五、解答题

17．回答下面两题

(1)已知，，求的值；

(2)已知，且，，求角的值.

18．某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

(1)若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2022年药材A的单价；

(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；

(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2022年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.

参考公式：回归直线方程，其中.

19．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，.

(1)证明：平面ABCD；

(2)若，在棱PC上是否存在点M，使直线AM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.

20．已知等差数列的前项和为，，，数列满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

21．已知椭圆短轴长为2，线段是圆的一条直径也是椭圆的一条弦，已知直线斜率为-1．

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆上两点，点关于轴的对称点为，当直线分别交轴于点，求证：为定值．

22．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)①当时，恒成立，求的取值范围；

②证明：.

参考答案

1．C

【分析】根据并集概念求解即可.

【详解】因为，所以.

故选：C

2．A

【分析】利用复数的除法和复数的几何意义即可求解.

【详解】因为，所以，

故复数在复平面直角坐标系内对应的点为，

从而复数在复平面直角坐标系内对应的点在第一象限.

故选：A.

3．D

【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.

【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:

设宽度为时与抛物线的交点分别为.当宽度为时与抛物线的交点为.

当水面经过抛物线的焦点时,宽度为

由抛物线性质可知,则抛物线方程为

则

当宽度为时,设

代入抛物线方程可得,解得

所以直线与直线的距离为

即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过

故选:D

【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.

4．C

【分析】运用累和法，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.

【详解】由，

当时，

，显然也适合，

所以，于是有

因此，

故选：C

5．A

【分析】根据函数的单调性结合充分不必要条件的定义求解.

【详解】解：函数在区间上单调递增，当时不符题意，当，即时，为单调减函数，不合题意；故，且，所以，

“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件

故选：A．

6．B

【分析】先分组再分配，分组又分为3,1,1和2,2,1两类，第二类涉及平均分组，需要去重

【详解】先分组:按照居民楼人数分为3,1,1和2,2,1两类

3,1,1:从5名志愿者中选出3名作为一个组,其余2人各自一组,有种

2,2,1:从5名志愿者中选出4名平均分为两组,剩下1人一组,有种

再分配:3个组到三栋居民楼有种

所以总的分派方法数有种

故选：B

7．C

【分析】根据平面向量数量积的运算律得到，再由，，即可得到，再根据数量积的定义计算可得；

【详解】解：依题意，因为，所以，而，，

故，故，解得，

故选：C.

8．B

【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.

【详解】因为时，，

所以可化为，即，设，

则，

所以当时，，

所以函数在上的单调递减，因为，所以

所以，即，

所以，

故选：B.

9．BC

【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断C选项；利用方差和期望的性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，该组数据共个数，且，

因此，该组数据的第百分位数为，A错；

对于B选项，若随机变量，且，

则，B对；

对于C选项，若随机变量，则，C对；

对于D选项，在随机变量的每个样本数据上都加个正数，

则得到的新数据对应的随机变量为，

由期望和方差的性质可得，，

因此，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数会改变，但方差不变，D错.

故选：BC.

10．ABD

【分析】将函数转化为，逐项判断.

【详解】解：，

，

，

，

，

因为，则，A正确；

f（x）的最小正周期为，B正确；

令，，得，，

所以f（x）在区间（0，）上只有2个零点，C错误；

当时，，

所以为f（x）图像的一条对称轴，D正确．

故选：ABD

11．AD

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，然后运用向量可判断ABC，然后运用平行线法作出平面截正方体所得的截面，即可判断D.

【详解】

以点为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则

因为，，，所以，故A正确；

因为，，设平面的法向量为

所以由，可得，所以可取，

因为，，所以不与平面平行，故B错误；

因为，

所以

所以异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；

连接，在上取靠近的四等分点为，则

连接，在上取靠近的三等分点为，则

所以平面截正方体所得的截面是五边形，故D正确

故选：AD

12．AC

【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；

【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，

又，即关于对称，故B不正确；

所以，即，

所以，

所以是以为周期的周期函数，

因为在区间上，有，

所以在上单调递增，

因为，即，

所以的图象关于点成中心对称，故A正确；

因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，

所以在上单调递减，故C正确；

因为，故D错误；

故选：AC

13．

【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.

【详解】因为，则，

所以，，，

故所求切线方程为，即.

故答案为：.

14．

【分析】先由题设条件解得，再利用展开式的通项公式即可求解

【详解】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得.

又的展开式的通项公式，

令，得，所以展开式中的常数项为.

故答案为：

15．

【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.

【详解】设，所以，

设，，

当时，，，所以单调递增，

当时，，，

所以单调递减，

当时，函数有最小值，即有最小值，所以，

此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，

由，显然在直线上，

则，因此有，

故答案为：

【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性是解题的关键.

16．         

【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．

【详解】

如图所示：不妨假设，设切点为，

，

所以, 由，所以，，

于是，即，所以．

故答案为：；．

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用平方关系，先求，再判断角的范围后，再利用平方求的值；

（2）利用角的变换求，再利用两角差的正弦公式，展开后求解.

【详解】（1）因为，两边平方后得

，即，因为，

所以，所以，

因为，

所以；

（2）因为，所以，

，所以，

，得，解得：，，

，且，

所以.

18．(1)，元/公斤

(2)401公斤

(3)药材A的每亩产值更高，应该种植药材A，理由见解析

【分析】（1）首先求出，，即可求出、，从而求出回归方程，再令，即可得解；

（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；

（3）比较、两种药材的均值，即可判断；

（1）

解：，.

，故回归直线方程为，

当时，，从而2022年药材的单价预计为元/公斤.

（2）

解：组距为20，自左向右各组的频率依次为

从而B药材的平均亩产量为

公斤

（3）

解：预计2022年药材每亩产值为元，

药材B每亩产值为元元，

所以药材的每亩产值更高，应该种植药材.

19．(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）由线线垂直证平面PAO，再依次证、平面ABCD；

（2）以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，设，由向量法建立线面角正弦值的方程，从解的情况即可判断.

【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，连接PO.

因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，

因为O是BD中点，，所以.

因为，平面PAO，所以平面PAO，

因为平面PAO，所以.

因为，，平面ABCD，所以平面ABCD.

（2）如图，取线段BC的中点H，连接AH，易知.

以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，.

，.

设，则有，解得，进而.

设平面PBC的法向量为.

由，得，取.

设直线AM与平面PBC所成的角为，则

，

化简得，，此方程无解，所以满足条件的点P不存在.

20．(1)；

(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式及等差数列的前项和求，利用当时求；

（2）利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为数列是等差数列，且，，

设数列的公差为，所以，解得，

所以.

当时，，

当时，，当时仍成立，

所以.

（2）由（1）得，

所以①，

②，

①②得，

所以.

21．(1)；

(2)证明见解析．

【分析】（1）由在椭圆上,中点,且斜率为,设出的坐标,由点差法求得椭圆方程；

（2）直线与椭圆交于两点,联立方程写出韦达定理,从而得到的直线方程,进而求得点的坐标．

（1）由题意可得，圆心坐标为，设，则，两式相减得，，，故椭圆的方程为．

（2）设，直线方程为，代入得，∴，直线的方程为：，令，得，∵，∴

22．(1)

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）先求出，进而得到，，即可求解；

（2）①由时，恒成立，转化为对于恒成立，设，利用导数分析其单调性，即可求得，进而求解；

②利用①结论，将放缩为，再通过换元构造差值函数证明不等式即可.

【详解】（1）因为，

所以，则，，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

（2）①由题意，当时，恒成立，

即对于恒成立，

设，则，

令，则；令，则，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

所以，即的取值范围为.

②由①可知，当， 时，恒成立，

取，可得，即，

所以当时，，即，即，

所以当时，恒成立.

接下来证明，

令，即证，

即证，

令，，

所以，

令，

则，

所以函数在上单调递增，

又，所以在上单调递减，在上单调递增，

即，即，

即，又，

所以.

【点睛】方法点睛：证明不等式压轴题，通常会利用前面题目结论，适当放缩，再构造函数利用导数求解.如本题中，利用前面题目结论当， 时，恒成立，可得时，恒成立，进而证明即可.