云南省2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

这是一份云南省2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理）试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
云南省2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：_____________一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． AB  D．BA2．若复数z满足，则（    ）A． B． C． D．3．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（    ）A．（1，2）                     B．（e，2e） C．（-∞，1）∪（2，＋∞） D．（-∞，e）∪（2e，＋∞）4．已知向量，满足，，夹角为，若，则实数的值为（    ）A．2 B． C．5 D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（    ）A．-1 B． C． D．46．今年“五一”小长假期间，某博物馆准备举办－次主题展览，为了引导游客有序参观，该博物馆每天分别在10时，13时，16时公布实时观展的人数．下表记录了5月1日至5日的实时观展人数： 1日2日3日4日5日10时观展人数3256427245672737235513时观展人数5035653771494693370816时观展人数61006821658048663521通常用实时观展的人数与博物馆的最大承载量（同一时段观展人数的饱和量）之比来表示观展的舒适度，50%以下称为“舒适”，已知该博物馆的最大承载量是1万人．若从5月1日至5日中任选2天，则这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率为（    ）A．              B．              C．              D．7．下图是一个空间几何体三视图，求这个几何体的表面积（    ） A．8+4 B．8+16 C．24+4 D．24+168．已知，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．9．已知数列{an}满足，且，设{an}的前项和为，则使得取得最大值的序号的值为(  　 　)A．7 B．8 C．7或8 D．8或910．椭圆的离心率为，则（    ）A．6 B．10 C．6或18 D．10或1811．已知，则（    ）A． B． C． D．12．已知的顶点都在球的表面上，若，球的表面积为，则点到平面的距离为（    ）A．1 B． C． D．2二、填空题13．若，则的值为__________．14．设曲线关于直线对称，则__________．15．设数列的前n项和为，若，，则数列的通项公式为__________．16．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．三、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)证明：；(2)求的取值范围.18．党的十九大明确把“精准脱贫”作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．在打赢脱贫攻坚战的过程中，某单位为了解定点帮扶村各年龄段村民对其“精准脱贫”工作是否满意，从帮扶村中随机抽取人进行问卷调查，所得相关数据统计如下：年龄满意人数715281713(1)由频率分布直方图估计这人年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)在频率分布直方图中，现采用分层抽样的方法从这人中抽取人，再从这人中随机抽取人，设抽到年龄在内的人数为，求的分布列与期望；(3)根据以上统计数据填写下面列联表，据此表以岁为分界点，能否在犯错误率不超过的前提下认为对“精准脱贫”工作是否满意与年龄有关．年龄满意度45岁以下45岁以上合计满意   不满意   合计   附：参考公式，其中．参考数据：19．如图，平面是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．20．已知是自然对数的底数,.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时, 求证：.21．已知曲线C的方程为，点D的坐标为，点P的坐标为．(1)设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；(2)设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于M、N两点，线段MN的垂直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．22．曲线经过伸缩变换后得到曲线；以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若A，B分别为曲线上的两点，且，求的值.23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若对，不等式总成立，设M是m的最大值，，其中，求的最小值．
参考答案1．D【分析】真子集的概念即可.【详解】由真子集的概念，知BA． 故选：D 2．A【分析】直接计算得，则，代入利用复数除法运算法则即可.【详解】依题意，所以，所以，则，故选：A.3．B【解析】使用数形结合，根据题意可得，然后得到的范围，最后可得结果.【详解】假设如图由，所以，则令，所以由，所以所以，故故选：B【点睛】本题考查函数的应用，采用数形结合，形象直观，本题关键在于求得，考查分析能力，属中档题.4．D【分析】首先根据向量数量积的定义求出，依题意，根据数量积的运算法则计算可得；【详解】解：因为，且与夹角为，所以，又，所以，即，即，所以，解得；故选：D5．C【分析】根据程序框图依次执行即可得答案.【详解】因为，，所以第一次执行得，；第二次执行得，；第三次执行得，；第四次执行得，；第五次执行得，；第六次执行得，；第七次执行得，不成立，故输出.故选：C6．C【分析】5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，从5月1日至5日中任选2天，基本事件总数，这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是"舒适"包含的基本事件个数，由此能求出这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率.【详解】5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，分别为5月4日和5月5日，从5月1日至5日中任选2天，基本事件总数，这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”包含的基本事件个数，所以这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率.故选：C【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7．C【分析】由三视图可知空间几何体为球和正方体的组合体，利用公式即可求几何体的表面积.【详解】由三视图可知空间几何体为球和正方体的组合体，∴几何体的表面积为.故选：C.8．B【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；【详解】，，最大，，，，故选：B9．C【详解】数列满足，且，数列是公差，首项的等差数列，，或时，取得最大值，故选C.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的前项和的最值，属于中档题. 求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值. 10．C【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即得解.【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，.则，得；当椭圆的焦点在轴上时，.则，得.故选：C11．B【解析】利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案.【详解】由题意得：，故选：B.12．C【分析】根据正弦定理可得外接圆半径为，结合球的表面积为可得球的半径，再用勾股定理求解点到平面的距离即可【详解】如图，设是外接圆的圆心，所以.因为球的表面积为，所以球的半径，从而点到平面的距离为.故选：C13．【分析】直接令即可求解.【详解】令，可得.故答案为：.14．【分析】利用圆的性质，可知圆心在直线上，即可求.【详解】表示圆心是，半径的圆，由条件可知，圆心在直线上，即，得.故答案为：15．【分析】利用求通项公式.【详解】因为，，所以.当时，有，即.所以从第二项起，数列为首项为16，公比为4的等比数列，所以.经检验，对n=1不成立，所以.故答案为：16．【分析】先讨论时，不等式成立；时，不等式变形为，构造函数，由单调性得到，参变分离后构造函数，求出最大值即可求解.【详解】当时，，显然成立，符合题意；当时，由，，可得，即，，令，，在上单增，又，故，即，即，，即使成立，令，则，当时，单增，当时，单减，故，故；综上：.故答案为：.【点睛】本题关键点在于当时，将不等式变形为，构造函数，借助其单调性得到，再参变分离构造函数，求出其最大值，即可求解.17．(1)证明见解析.(2). 【分析】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可.（2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域.【详解】（1）∵，∴，∴由余弦定理得：，即：，由正弦定理得：，∴，整理得：，即：，又∵，∴，即：.（2）∵，∴，又∵，，，∴由正弦定理得：，又∵，∴，令，则，，∵对称轴为，∴在上单调递增，当时，；当时，，∴，即：的范围为.18．(1)(2)分布列见解析；期望为(3)填表见解析；不能 【分析】（1）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解；（2）根据分层抽样可知这五组中分别抽取的人数，再利用超几何分步即可求出结果.（3）根据题中所给数填写列联表，根据公式计算的值，对照临界值，即可得到结果．（1）解：由频率分布直方图得：（2）解：由题意得抽样比为所以在这五组中分别抽取的人数为：人，人，人，人，人由题意知所有可能取值为：，，，．，        ，，    所以的分布列为： 故的数学期望（3）解：由题意可知年龄满意度45岁以下45岁以上合计满意503080不满意101020合计6040100 所以故不能在犯错率不超过的前提下认为“精准脱贫”工作是否满意与年龄有关.19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，再由线面平行的判定定理可得答案；（2）以点为原点建立空间直角坐标系求出平面、平面的一个法向量利用向量夹角公式可得答案．【详解】（1）由题意知，平面平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 在中，由，得，所以，所以，设平面的一个法向量为，则由，得，令，得，设平面的一个法向量为，则由，得，令，得，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值．20．(1)；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设条件构造函数运用导数的知识求解.（1）,，在点处的切线方程为，即.（2）设,则.设,则在内单调递增,当时,. 即,时,.当时, 在内单调递增. 当,时,, 即考点：导数在研究函数的单调性和最值极值等方面的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助导数的几何意义,从而求得函数在处的切线的斜率,进而求得切线的方程为；第二问的推证中借助导数,运用导数与函数单调性的关系运用分类整合的数学思想进行分类进行推证,从而使得问题简捷巧妙获证.21．(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）先化简求出曲线C的方程，再结合抛物线的定义表示出，结合即可求出E的坐标；（2）设出直线PA、PB，求出M、N坐标，由MN的垂直平分线经过点P得到，联立直线PA和抛物线，求出点坐标，同理得到点坐标，即可得出AB的斜率为定值．(1)∵曲线C的方程为，移项平方得，化简得，∴曲线C的方程为．∴为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线．设，则．∵，∴，解得．∴，解得．∴E的坐标为或．(2)∵，曲线C的方程为，，∴点在曲线C上．∵A、B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N，∴直线PA、PB的斜率都存在，且都不为0，分别设为k、，则，直线PA的方程为，即．当时，，即．同理可得．∵线段MN的垂直平分线经过点P，∴，即．由，得：．设，则1，是的解．由韦达定理得：．∴．∴．同理可得．∴．∴直线AB的斜率为定值．22．(1);(2). 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将化为普通方程，求曲线，最后应用公式法求的极坐标方程；（2）设，易得，代入由（1）所得极坐标方程可得的值.（1）曲线：的普通方程为，经过伸缩变换后得到曲线，由，代入化简，可得极坐标方程为.（2）设，由，可得，∴，即.23．(1)(2) 【分析】（1）根据x的范围分段取绝对值求解即可；（2）将恒成立问题转化为最值问题，从而求出M，再利用基本不等式可解.（1）函数，则不等式可化为或或，解得或或，即．所以，不等式的解集为．（2）对，不等式总成立，等价于．，当且仅当即时取等号，．，所以．，，因此，当且仅当即，时取等号．所以的最小值为．