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2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷附解析
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这是一份2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷附解析，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．﹣π B． C．﹣3 D．0
2．（3分）奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米＝0.000000001米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣11米 B．0.14×10﹣10米
C．1.4×10﹣7米 D．0.14×10﹣6米
3．（3分）如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a3b）2＝2a6b2 B．﹣32＝﹣9
C．（b﹣1）2＝b2﹣1 D．（x+6）（x﹣6）＝x2﹣6
5．（3分）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．28° C．26° D．23°
6．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查九年级一班全体50名学生的视力情况
B．调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批中性笔的使用寿命
D．调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量
7．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
9．（3分）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标注物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
10．（3分）如图，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在第二象限内，y随x增大而增大的函数解析式 ．
12．（3分）代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（3分）盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为 ．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，以A为圆心，AB为半径作圆弧交于AD点M，且M为边AD的中点，以AD为直径的圆交弧BM于点E，则阴影部分面积 ．
15．（3分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么a+b的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ；
（2）八年级D组测试成绩的中位数是 ；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
18．一个四位数，若它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最小的四位“对称数”是 ，最大的四位“对称数”是 ；
（2）若一个“对称数”的个位数字为a，十位数字为b，请用含a，b的代数式表示该“对称数”；
（3）判断任意一个四位“对称数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象的两个交点为A（﹣1，3）和B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若一次函数y＝k1x+b与x轴交于点C，且；
①求出k1与b的值；
②直接写出不等式k1x+b＞的解集为 ；
（3）若点F是直线OA上一点，F点的横坐标为m，连接AF，BF，△ABF的面积记为S，当S＝2时，请直接写出m值 ．
20．高山云雾出好茶．清明前后，三明市大田县屏山乡的万亩茶园郁郁葱葱，迎来开采季．已知1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶．
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
（2）某茶厂计划一天采摘茶叶500斤，该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？
21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a（a≠0）．
（1）抛物线的顶点坐标为 ；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为18，求出a的值；
（3）在（2）的条件下，若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点），当A、B两点在抛物线的对称轴的两侧时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t的取值范围．
22．如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
23．（1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：
①＝ ； ②直线DF与直线AG所夹的锐角等于 度；
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE＝4，直接写出AB的长 ；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若AB＝4PB，则的值是否是定值？请说明理由．
2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．﹣π B． C．﹣3 D．0
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【解答】解：∵任何数的绝对值是非负数，
∴0的绝对值最小，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
2．（3分）奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米＝0.000000001米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣11米 B．0.14×10﹣10米
C．1.4×10﹣7米 D．0.14×10﹣6米
【答案】C
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：140纳米＝140×0.000000001米＝1.4×10﹣7米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看，可得如下图形：
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a3b）2＝2a6b2 B．﹣32＝﹣9
C．（b﹣1）2＝b2﹣1 D．（x+6）（x﹣6）＝x2﹣6
【答案】B
【分析】根据积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解．
【解答】解：A． （2a3b）2＝4a6b2，故该选项不正确，不符合题意；
B．﹣32＝﹣9，故该选项正确，符合题意；
C． （b﹣1）2＝b2﹣2b+1，故该选项不正确，不符合题意；
D． （x+6）（x﹣6）＝x2﹣36，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
5．（3分）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．28° C．26° D．23°
【答案】D
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E＝∠DCE﹣∠CFE．
【解答】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝115°，
∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝115°﹣92°＝23°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
6．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查九年级一班全体50名学生的视力情况
B．调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批中性笔的使用寿命
D．调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、调查九年级一班全体50名学生的视力情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
B、调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
C、调查某批中性笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，符合题意；
D、调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量，适宜采用全面调查，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质得到a≤0，再计算根的判别式的意义得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝2x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∴Δ＝22﹣4a＝4﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，方程ax2+2x+1＝0为2x+1＝0，实数根的个数为1个．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝2，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，从而可求出OD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝OE，
∴OD为△ABE的中位线，
∴BE＝2OD，
∵AE为直径，
∴∠B＝90°，
在Rt△BDE中，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（2）2+（2OD）2＝（3OD）2，
解得OD＝2，
∴△ODE的面积＝OD•BD＝×2×2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
9．（3分）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标注物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数，可以得到，，然后根据AC+BC＝AB，即可得到PC．
【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，
∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
∴，，
∵AB＝a，AB＝AC+BC，
∴，
解得，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T．解直角三角形求出OA，再利用面积法求出B′H可得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T．
∵点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），
∴AT＝2，OT＝1，OB＝4，
∴OA＝＝，
∴OA＝OA′＝，
∵S△OA′B′＝S△OAB＝＝4，
∴＝4，
∴B′H＝＝，
∴点B′到x轴的距离为，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在第二象限内，y随x增大而增大的函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】写出一个比例系数小于0的反比例函数解析式．
【解答】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当k＞0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
12．（3分）代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠±3 ．
【答案】x≠±3．
【分析】由代数式有意义的条件可得：x﹣3≠0且x+3≠0，求解即可得到答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3≠0，x+3≠0，
∴x≠±3．
故答案为：x≠±3．
【点评】本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
13．（3分）盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为 ．
【答案】．
【分析】首先把和化为最简二次根式，然后再用列表法，结合同类二次根式的定义，得出共有16种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有8种，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵，，
列表图如下：
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
共有16种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有8种，
∴两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了用列表法求概率、概率公式、同类二次根式，解本题的关键在找出所有等可能情况和所求情况数．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，以A为圆心，AB为半径作圆弧交于AD点M，且M为边AD的中点，以AD为直径的圆交弧BM于点E，则阴影部分面积 ．
【答案】．
【分析】连接AE、ME根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEM﹣S弓形AE即可求值．
【解答】解：如图，连接AE、ME，
由题意可得：AE＝AB＝2，AM＝ME＝2，
∴△AEM是等边三角形，
∵S阴＝S半圆﹣S扇形AEM﹣S弓形AE，其中，，
∵∠MAE＝60°，∠BAE＝30°，
∴，
∴S弓形AE＝S扇形MAE﹣S△AME＝＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，把求不规则图形的面积通常转化为求规则图形的面积是解题的关键．
15．（3分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么a+b的值是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，图1中点B对应图2中的点B'，由OB＝m＝a．a＝OB＝OF﹣BF解得a值；在Rt△DGE可解得b＝DE＝2．
【解答】解：在图1中，过点D，B，C作直线与已知直线y＝﹣x平行，交x轴于点E，F，
在图2中，取A'（2，0），E'（5，b），B'（a，b），F'（10，0），
图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，
图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，
图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，
图1中点B对应图2中的点B'，得出OB＝m＝a，
∵a＝OB＝OF﹣BF，
由图2知BF＝AE＝3，
∴OF＝10，a＝7，
∵▱ABCD的面积为10，AB＝OB﹣OA＝7﹣2＝5，
∴DG＝2，
在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，
∴DE＝2，
∴b＝2，
∴a+b＝7+2．
故答案为：7+2．
【点评】本题考查动直线在几何图形和函数图象上的运用；重点是观察动直线y＝﹣x经过点A、D、B、C（或A、E、B、F）时，在图2中所对应的点A'、E'、B'、F'，难点是确定a，b对应的线段，a＝OB＝OF﹣BF，DE＝n＝b．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）x＝3．
【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）
去分母得：9＝2x+（3x﹣6），
去括号得：9＝2x+3x﹣6，
移项得：﹣2x﹣3x＝﹣6﹣9，
合并同类项得：﹣5x＝﹣15，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝3．
【点评】本题主要考查了实数的混合计算，解分式方程，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意分式方程最后一定要检验．
17．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ 20 ，a＝ 4 ；
（2）八年级D组测试成绩的中位数是 86分 ；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
【答案】（1）20；4；
（2）86分；
（3）275人．
【分析】（1）用八年级D组测试的人数除以其人数占比即可求出n，进而求出a的值即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用两个年级各自的总人数乘以其样本中测试成绩不低于90分的人数占比，然后相加即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，n＝7÷35%＝20，
∴，
故答案为：20，4；
（2）把八年级D组测试成绩从小到大排列为：85，85，86，86，87，88，89，处在最中间的数据为86，
∴八年级D组测试成绩的中位数是86分，
故答案为：86分；
（3）（人），
∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人．
【点评】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．一个四位数，若它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最小的四位“对称数”是 1001 ，最大的四位“对称数”是 9999 ；
（2）若一个“对称数”的个位数字为a，十位数字为b，请用含a，b的代数式表示该“对称数”；
（3）判断任意一个四位“对称数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
【答案】（1）1001，9999；
（2）1001a+110b；
（3）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由见解答．
【分析】（1）根据题中“对称数”的定义确定出最小和最大的四位“对称数”即可；
（2）根据“对称数”定义表示出这个四位数即可；
（3）根据（2）表示出这个结果判断即可．
【解答】解：（1）最小的四位“对称数”是1001，最大的四位“对称数”是9999；
故答案为：1001，9999；
（2）根据题意得：1000a+100b+10b+a
＝1001a+110b；
（3）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由为：
1001a+110b
＝11（91a+10b），
∵91a+10b为整数，
∴这个四位“对称数”能被11整除．
【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象的两个交点为A（﹣1，3）和B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若一次函数y＝k1x+b与x轴交于点C，且；
①求出k1与b的值；
②直接写出不等式k1x+b＞的解集为 ﹣3＜x＜﹣1或x＞0 ；
（3）若点F是直线OA上一点，F点的横坐标为m，连接AF，BF，△ABF的面积记为S，当S＝2时，请直接写出m值 ﹣或﹣ ．
【答案】（1）反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）①k1＝1，b＝4；②﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
（3）﹣或﹣．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得k1与b的值；
②根据图象即可求解；
（3）求得S△AOB＝4，则S＝2时，当F在AB的下方时，F是OA的中点，当F在AB的上方时，F是点（﹣，）关于A的对称点，据此即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（﹣1，3），
∴k2＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）①作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，
∴，
∵，AM＝3，
∴＝，
∴BN＝1，
∴点B的纵坐标为1，
把y＝1代入y＝﹣得，x＝﹣3，
∴B（﹣3，1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A（﹣1，3）和B（﹣3，1），
∴，
解得k1＝1，b＝4；
②不等式k1x+b＞的解集为﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
故答案为：﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
（3）∵S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB＝（1+3）×（﹣1+3）＝4，
∴当F在AB的下方时，F是OA的中点，
∵A（﹣1，3），
∴此时F（﹣，），
当F在AB的上方时，F是点（﹣，）关于A的对称点，
∴此时F（﹣，），
故m值为﹣或﹣，
故答案为：﹣或﹣．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，求得B点的坐标是解题的关键．
20．高山云雾出好茶．清明前后，三明市大田县屏山乡的万亩茶园郁郁葱葱，迎来开采季．已知1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶．
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
（2）某茶厂计划一天采摘茶叶500斤，该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？
【答案】（1）1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
（2）茶厂一天安排熟练采茶工人10名，新手采茶工人20名能使所付工资最少．
【分析】（1）根据1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总工资与新手采茶工人人数的函数关系式，再根据一次函数的性质和该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，可以求得最低工资．
【解答】解：（1）设1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶a斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶b斤，
由题意可得：，
解得，
答：1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
（2）设一天安排x名新手采茶工人采摘茶叶，则安排名熟练采茶工人采摘茶叶，该茶厂需要支付工资w元，
由题意可得，w＝×300+80x＝﹣20x+5000，
∴w随x的增大而减小，
∵该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，
∴当x＝20时，w取得最小值，此时w＝4600，＝10，
答：茶厂一天安排熟练采茶工人10名，新手采茶工人20名能使所付工资最少．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a（a≠0）．
（1）抛物线的顶点坐标为 （2，0） ；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为18，求出a的值；
（3）在（2）的条件下，若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点），当A、B两点在抛物线的对称轴的两侧时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t的取值范围．
【答案】（1）（2，0）；
（2）2；
（3）1＜t≤2．
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可；
（2）分情况讨论：若a＜0，则当﹣1≤x≤2时，y的最大值为0，不符合题意；当a＞0时，由二次函数的性质可求出a的值；
（3）求出抛物线最高点的纵坐标为2，求出x1＝1，x2＝3．由m＝1或m+t＝3可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a＝a（x﹣2）2，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+4a的顶点坐标是（2，0）．
故答案为：（2，0）．
（2）∵抛物线的顶点坐标是（2，0），对称轴为直线x＝2，
∴若a＜0，则当﹣1≤x≤2时，y的最大值为0，不符合题意，
∴a＞0，抛物线开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+4a取最大值18，即抛物线过点（﹣1，18）．
∴18＝a×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+4a，
解得：a＝2．
（3）由（2）得y＝2x2﹣8x+8，
∵对称轴为直线x＝2，顶点为（2，0），
∴y最小值是0，
∵A、B两点在对称轴两侧，即m＜2＜m+t，最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴抛物线最高点的纵坐标为2．
∴当y＝2时得2x2﹣8x+8＝2，解得x1＝1，x2＝3．
当m＝1时，则2＜m+t≤3满足题意，解得1＜t≤2，
当m+t＝3时，则1≤m＜2满足题意；解得1＜t≤2．
综上所述1＜t≤2．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用、二次函数的性质、配方法等知识点，掌握二次函数与方程的关系以及分类讨论思想是关键的解题．
22．如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
【答案】（1）作图见解答；
（2）①证明过程见解答；
②．
【分析】（1）利用基本作图，先作直径AE，然后过O点作AE的垂线即可；
（2）①先根据切线的性质得到∠OBD＝90°，再利用OD⊥OA得到∠AOC＝90°，接着利用等角的余角相等证明∠DBC＝∠ACO，然后利用∠ACO＝∠DCB得到∠CBD＝∠DCB；
②先在Rt△AOC中利用余弦的定义求出AC，则利用勾股定理计算出OC，再由①的结论得到DB＝DC，设BD＝x，则DC＝x，OD＝x+3，在Rt△OBD中利用勾股定理得到42+x2＝（x+3）2，然后解方程求出x，最后计算OC+CD即可．
【解答】（1）解：如图，OD为所作；
（2）①证明：
∵直线l与⊙O相切于点B，
∴OB⊥l，
∴∠OBD＝90°，
即∠OBA+∠DBC＝90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A+∠ACO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠DBC＝∠ACO，
而∠ACO＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB；
②在Rt△AOC中，
∵cosA＝＝，OA＝4，
∴AC＝5，
∴OC＝＝＝3，
∵∠CBD＝∠DCB；
∴DB＝DC，
设BD＝x，则DC＝x，OD＝x+3，
在Rt△OBD中，42+x2＝（x+3）2，
解得x＝，
∴OD＝OC+CD＝3+＝．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
23．（1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：
①＝ ； ②直线DF与直线AG所夹的锐角等于 45 度；
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE＝4，直接写出AB的长 4 ；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若AB＝4PB，则的值是否是定值？请说明理由．
【答案】（1）；45；
（2）①）（1）中的结论仍然成立，理由见解析过程；
②；
（3）的值是定值，定值为3．
【分析】（1）①连接BF，BD，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）①连接BF，BD，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
②连接BF，BD，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；
（3）过点C作CQ⊥DF于点Q，连接BD，BE，BF，BE与CF交于点H，利用折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）①连接BF，BD，如图，
∵四边形ABCD和四边形GBEF为正方形，
∴∠ABF＝∠ABD＝45°，
∴B，F，D三点在一条直线上．
∵GF⊥AB，DA⊥AB，
∴△BGF和△BAD为等腰直角三角形，
∴BF＝BG，BD＝AB，
∴DF＝BD﹣BF＝（AB﹣BG）＝AG，
∴＝；
②∵B，F，D三点在一条直线上，∠ABF＝∠ABD＝45°，
∴直线DF与直线AG所夹的锐角等于45°．
故答案为：；45；
（2）①（1）中的结论仍然成立，理由：
连接BF，BD，如图，
∵四边形ABCD和四边形GBEF为正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，∠BGF＝∠BAD＝90°，
∴△BGF和△BAD为等腰直角三角形，
∴∠ABG+∠ABF＝∠ABF+∠FBD＝45°，BF＝BG，BD＝，
∴∠ABG＝∠DBF，，
∴△ABG∽△DBF，
∴；
延长DF，交AB于点N，交AG于点M，
∵△ABG∽△DBF，
∴∠GAB＝∠BDF．
∵∠ANM＝∠DNB，
∴∠BAG+∠AMN＝∠BDF+∠ADB．
∴∠AMN＝∠ABD＝45°，
即直线DF与直线AG所夹的锐角等于45°，
∴（1）中的结论仍然成立；
②连接BF，BD，如图，
∵四边形GBEF为正方形，
∴∠BFG＝45°．
由①知：∠AGD＝45°，
∴∠AGD＝∠BFG．
∵AB边的中点为O，
∴AO＝BO．
在△AGO和△BFO中，
，
∴△AGO≌△BFO（AAS），
∴GO＝FO＝GF＝2，
∴OB＝＝＝2，
∴AB＝2OB＝4．
故答案为：4；
（3）的值是定值，定值为3，理由：
过点C作CQ⊥DF于点Q，连接BD，BE，BF，BE与CF交于点H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
由折叠的性质可得：BC＝CE，EF＝BF，PB＝PE，∠BCF＝∠ECF．
∴CE＝CD，
∵CQ⊥DF，
∴∠ECQ＝∠DCQ．
∵∠BCD＝90°，
∴∠ECF+∠ECQ＝∠BCD＝45°．
∴∠QFC＝90°﹣∠QCF＝45°，
∴∠BFC＝45°，
∴∠EFB＝∠EFC+∠BFC＝90°．
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴FH⊥BE，BH＝HE＝BE，BE＝EF，
∴∠PHB＝90°．
在FC截取FM＝BE，可知四边形EFBM为正方形，
由（2）②的结论可得：DE＝AF，∠AFD＝45°，
∴∠AFB＝∠AFD+∠EFC＝90°，
∴∠AFP＝∠PHB．
∵∠APF＝∠BPH，
∴△APF∽△BPH，
∴，
∵PA＝3PB，
∴AF＝3BH＝BEEF，
∴DE＝AF＝EF＝3EF．
∴＝3，
∴的值是定值，定值为3．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．﹣π B． C．﹣3 D．0
2．（3分）奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米＝0.000000001米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣11米 B．0.14×10﹣10米
C．1.4×10﹣7米 D．0.14×10﹣6米
3．（3分）如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a3b）2＝2a6b2 B．﹣32＝﹣9
C．（b﹣1）2＝b2﹣1 D．（x+6）（x﹣6）＝x2﹣6
5．（3分）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．28° C．26° D．23°
6．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查九年级一班全体50名学生的视力情况
B．调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批中性笔的使用寿命
D．调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量
7．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
9．（3分）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标注物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
10．（3分）如图，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在第二象限内，y随x增大而增大的函数解析式 ．
12．（3分）代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（3分）盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为 ．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，以A为圆心，AB为半径作圆弧交于AD点M，且M为边AD的中点，以AD为直径的圆交弧BM于点E，则阴影部分面积 ．
15．（3分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么a+b的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ；
（2）八年级D组测试成绩的中位数是 ；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
18．一个四位数，若它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最小的四位“对称数”是 ，最大的四位“对称数”是 ；
（2）若一个“对称数”的个位数字为a，十位数字为b，请用含a，b的代数式表示该“对称数”；
（3）判断任意一个四位“对称数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象的两个交点为A（﹣1，3）和B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若一次函数y＝k1x+b与x轴交于点C，且；
①求出k1与b的值；
②直接写出不等式k1x+b＞的解集为 ；
（3）若点F是直线OA上一点，F点的横坐标为m，连接AF，BF，△ABF的面积记为S，当S＝2时，请直接写出m值 ．
20．高山云雾出好茶．清明前后，三明市大田县屏山乡的万亩茶园郁郁葱葱，迎来开采季．已知1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶．
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
（2）某茶厂计划一天采摘茶叶500斤，该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？
21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a（a≠0）．
（1）抛物线的顶点坐标为 ；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为18，求出a的值；
（3）在（2）的条件下，若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点），当A、B两点在抛物线的对称轴的两侧时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t的取值范围．
22．如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
23．（1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：
①＝ ； ②直线DF与直线AG所夹的锐角等于 度；
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE＝4，直接写出AB的长 ；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若AB＝4PB，则的值是否是定值？请说明理由．
2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．﹣π B． C．﹣3 D．0
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【解答】解：∵任何数的绝对值是非负数，
∴0的绝对值最小，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
2．（3分）奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米＝0.000000001米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣11米 B．0.14×10﹣10米
C．1.4×10﹣7米 D．0.14×10﹣6米
【答案】C
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：140纳米＝140×0.000000001米＝1.4×10﹣7米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看，可得如下图形：
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a3b）2＝2a6b2 B．﹣32＝﹣9
C．（b﹣1）2＝b2﹣1 D．（x+6）（x﹣6）＝x2﹣6
【答案】B
【分析】根据积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解．
【解答】解：A． （2a3b）2＝4a6b2，故该选项不正确，不符合题意；
B．﹣32＝﹣9，故该选项正确，符合题意；
C． （b﹣1）2＝b2﹣2b+1，故该选项不正确，不符合题意；
D． （x+6）（x﹣6）＝x2﹣36，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
5．（3分）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．28° C．26° D．23°
【答案】D
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E＝∠DCE﹣∠CFE．
【解答】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝115°，
∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝115°﹣92°＝23°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
6．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查九年级一班全体50名学生的视力情况
B．调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批中性笔的使用寿命
D．调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、调查九年级一班全体50名学生的视力情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
B、调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
C、调查某批中性笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，符合题意；
D、调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量，适宜采用全面调查，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质得到a≤0，再计算根的判别式的意义得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝2x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∴Δ＝22﹣4a＝4﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，方程ax2+2x+1＝0为2x+1＝0，实数根的个数为1个．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝2，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，从而可求出OD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝OE，
∴OD为△ABE的中位线，
∴BE＝2OD，
∵AE为直径，
∴∠B＝90°，
在Rt△BDE中，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（2）2+（2OD）2＝（3OD）2，
解得OD＝2，
∴△ODE的面积＝OD•BD＝×2×2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
9．（3分）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标注物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数，可以得到，，然后根据AC+BC＝AB，即可得到PC．
【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，
∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
∴，，
∵AB＝a，AB＝AC+BC，
∴，
解得，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T．解直角三角形求出OA，再利用面积法求出B′H可得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T．
∵点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），
∴AT＝2，OT＝1，OB＝4，
∴OA＝＝，
∴OA＝OA′＝，
∵S△OA′B′＝S△OAB＝＝4，
∴＝4，
∴B′H＝＝，
∴点B′到x轴的距离为，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在第二象限内，y随x增大而增大的函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】写出一个比例系数小于0的反比例函数解析式．
【解答】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当k＞0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
12．（3分）代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠±3 ．
【答案】x≠±3．
【分析】由代数式有意义的条件可得：x﹣3≠0且x+3≠0，求解即可得到答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3≠0，x+3≠0，
∴x≠±3．
故答案为：x≠±3．
【点评】本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
13．（3分）盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为 ．
【答案】．
【分析】首先把和化为最简二次根式，然后再用列表法，结合同类二次根式的定义，得出共有16种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有8种，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵，，
列表图如下：
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
共有16种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有8种，
∴两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了用列表法求概率、概率公式、同类二次根式，解本题的关键在找出所有等可能情况和所求情况数．
14．（3分）矩形ABCD中，AB＝2，以A为圆心，AB为半径作圆弧交于AD点M，且M为边AD的中点，以AD为直径的圆交弧BM于点E，则阴影部分面积 ．
【答案】．
【分析】连接AE、ME根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEM﹣S弓形AE即可求值．
【解答】解：如图，连接AE、ME，
由题意可得：AE＝AB＝2，AM＝ME＝2，
∴△AEM是等边三角形，
∵S阴＝S半圆﹣S扇形AEM﹣S弓形AE，其中，，
∵∠MAE＝60°，∠BAE＝30°，
∴，
∴S弓形AE＝S扇形MAE﹣S△AME＝＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，把求不规则图形的面积通常转化为求规则图形的面积是解题的关键．
15．（3分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么a+b的值是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，图1中点B对应图2中的点B'，由OB＝m＝a．a＝OB＝OF﹣BF解得a值；在Rt△DGE可解得b＝DE＝2．
【解答】解：在图1中，过点D，B，C作直线与已知直线y＝﹣x平行，交x轴于点E，F，
在图2中，取A'（2，0），E'（5，b），B'（a，b），F'（10，0），
图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，
图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，
图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，
图1中点B对应图2中的点B'，得出OB＝m＝a，
∵a＝OB＝OF﹣BF，
由图2知BF＝AE＝3，
∴OF＝10，a＝7，
∵▱ABCD的面积为10，AB＝OB﹣OA＝7﹣2＝5，
∴DG＝2，
在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，
∴DE＝2，
∴b＝2，
∴a+b＝7+2．
故答案为：7+2．
【点评】本题考查动直线在几何图形和函数图象上的运用；重点是观察动直线y＝﹣x经过点A、D、B、C（或A、E、B、F）时，在图2中所对应的点A'、E'、B'、F'，难点是确定a，b对应的线段，a＝OB＝OF﹣BF，DE＝n＝b．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）x＝3．
【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）
去分母得：9＝2x+（3x﹣6），
去括号得：9＝2x+3x﹣6，
移项得：﹣2x﹣3x＝﹣6﹣9，
合并同类项得：﹣5x＝﹣15，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝3．
【点评】本题主要考查了实数的混合计算，解分式方程，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意分式方程最后一定要检验．
17．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ 20 ，a＝ 4 ；
（2）八年级D组测试成绩的中位数是 86分 ；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？
【答案】（1）20；4；
（2）86分；
（3）275人．
【分析】（1）用八年级D组测试的人数除以其人数占比即可求出n，进而求出a的值即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用两个年级各自的总人数乘以其样本中测试成绩不低于90分的人数占比，然后相加即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，n＝7÷35%＝20，
∴，
故答案为：20，4；
（2）把八年级D组测试成绩从小到大排列为：85，85，86，86，87，88，89，处在最中间的数据为86，
∴八年级D组测试成绩的中位数是86分，
故答案为：86分；
（3）（人），
∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人．
【点评】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．一个四位数，若它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最小的四位“对称数”是 1001 ，最大的四位“对称数”是 9999 ；
（2）若一个“对称数”的个位数字为a，十位数字为b，请用含a，b的代数式表示该“对称数”；
（3）判断任意一个四位“对称数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
【答案】（1）1001，9999；
（2）1001a+110b；
（3）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由见解答．
【分析】（1）根据题中“对称数”的定义确定出最小和最大的四位“对称数”即可；
（2）根据“对称数”定义表示出这个四位数即可；
（3）根据（2）表示出这个结果判断即可．
【解答】解：（1）最小的四位“对称数”是1001，最大的四位“对称数”是9999；
故答案为：1001，9999；
（2）根据题意得：1000a+100b+10b+a
＝1001a+110b；
（3）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由为：
1001a+110b
＝11（91a+10b），
∵91a+10b为整数，
∴这个四位“对称数”能被11整除．
【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象的两个交点为A（﹣1，3）和B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若一次函数y＝k1x+b与x轴交于点C，且；
①求出k1与b的值；
②直接写出不等式k1x+b＞的解集为 ﹣3＜x＜﹣1或x＞0 ；
（3）若点F是直线OA上一点，F点的横坐标为m，连接AF，BF，△ABF的面积记为S，当S＝2时，请直接写出m值 ﹣或﹣ ．
【答案】（1）反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）①k1＝1，b＝4；②﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
（3）﹣或﹣．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得k1与b的值；
②根据图象即可求解；
（3）求得S△AOB＝4，则S＝2时，当F在AB的下方时，F是OA的中点，当F在AB的上方时，F是点（﹣，）关于A的对称点，据此即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（﹣1，3），
∴k2＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）①作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，
∴，
∵，AM＝3，
∴＝，
∴BN＝1，
∴点B的纵坐标为1，
把y＝1代入y＝﹣得，x＝﹣3，
∴B（﹣3，1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A（﹣1，3）和B（﹣3，1），
∴，
解得k1＝1，b＝4；
②不等式k1x+b＞的解集为﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
故答案为：﹣3＜x＜﹣1或x＞0；
（3）∵S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB＝（1+3）×（﹣1+3）＝4，
∴当F在AB的下方时，F是OA的中点，
∵A（﹣1，3），
∴此时F（﹣，），
当F在AB的上方时，F是点（﹣，）关于A的对称点，
∴此时F（﹣，），
故m值为﹣或﹣，
故答案为：﹣或﹣．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，求得B点的坐标是解题的关键．
20．高山云雾出好茶．清明前后，三明市大田县屏山乡的万亩茶园郁郁葱葱，迎来开采季．已知1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶．
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
（2）某茶厂计划一天采摘茶叶500斤，该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？
【答案】（1）1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
（2）茶厂一天安排熟练采茶工人10名，新手采茶工人20名能使所付工资最少．
【分析】（1）根据1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总工资与新手采茶工人人数的函数关系式，再根据一次函数的性质和该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，可以求得最低工资．
【解答】解：（1）设1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶a斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶b斤，
由题意可得：，
解得，
答：1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
（2）设一天安排x名新手采茶工人采摘茶叶，则安排名熟练采茶工人采摘茶叶，该茶厂需要支付工资w元，
由题意可得，w＝×300+80x＝﹣20x+5000，
∴w随x的增大而减小，
∵该茶厂有15名熟练采茶工人和20名新手采茶工人，
∴当x＝20时，w取得最小值，此时w＝4600，＝10，
答：茶厂一天安排熟练采茶工人10名，新手采茶工人20名能使所付工资最少．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a（a≠0）．
（1）抛物线的顶点坐标为 （2，0） ；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为18，求出a的值；
（3）在（2）的条件下，若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点），当A、B两点在抛物线的对称轴的两侧时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t的取值范围．
【答案】（1）（2，0）；
（2）2；
（3）1＜t≤2．
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可；
（2）分情况讨论：若a＜0，则当﹣1≤x≤2时，y的最大值为0，不符合题意；当a＞0时，由二次函数的性质可求出a的值；
（3）求出抛物线最高点的纵坐标为2，求出x1＝1，x2＝3．由m＝1或m+t＝3可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a＝a（x﹣2）2，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+4a的顶点坐标是（2，0）．
故答案为：（2，0）．
（2）∵抛物线的顶点坐标是（2，0），对称轴为直线x＝2，
∴若a＜0，则当﹣1≤x≤2时，y的最大值为0，不符合题意，
∴a＞0，抛物线开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+4a取最大值18，即抛物线过点（﹣1，18）．
∴18＝a×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+4a，
解得：a＝2．
（3）由（2）得y＝2x2﹣8x+8，
∵对称轴为直线x＝2，顶点为（2，0），
∴y最小值是0，
∵A、B两点在对称轴两侧，即m＜2＜m+t，最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴抛物线最高点的纵坐标为2．
∴当y＝2时得2x2﹣8x+8＝2，解得x1＝1，x2＝3．
当m＝1时，则2＜m+t≤3满足题意，解得1＜t≤2，
当m+t＝3时，则1≤m＜2满足题意；解得1＜t≤2．
综上所述1＜t≤2．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用、二次函数的性质、配方法等知识点，掌握二次函数与方程的关系以及分类讨论思想是关键的解题．
22．如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
【答案】（1）作图见解答；
（2）①证明过程见解答；
②．
【分析】（1）利用基本作图，先作直径AE，然后过O点作AE的垂线即可；
（2）①先根据切线的性质得到∠OBD＝90°，再利用OD⊥OA得到∠AOC＝90°，接着利用等角的余角相等证明∠DBC＝∠ACO，然后利用∠ACO＝∠DCB得到∠CBD＝∠DCB；
②先在Rt△AOC中利用余弦的定义求出AC，则利用勾股定理计算出OC，再由①的结论得到DB＝DC，设BD＝x，则DC＝x，OD＝x+3，在Rt△OBD中利用勾股定理得到42+x2＝（x+3）2，然后解方程求出x，最后计算OC+CD即可．
【解答】（1）解：如图，OD为所作；
（2）①证明：
∵直线l与⊙O相切于点B，
∴OB⊥l，
∴∠OBD＝90°，
即∠OBA+∠DBC＝90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A+∠ACO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠DBC＝∠ACO，
而∠ACO＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB；
②在Rt△AOC中，
∵cosA＝＝，OA＝4，
∴AC＝5，
∴OC＝＝＝3，
∵∠CBD＝∠DCB；
∴DB＝DC，
设BD＝x，则DC＝x，OD＝x+3，
在Rt△OBD中，42+x2＝（x+3）2，
解得x＝，
∴OD＝OC+CD＝3+＝．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
23．（1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：
①＝ ； ②直线DF与直线AG所夹的锐角等于 45 度；
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE＝4，直接写出AB的长 4 ；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若AB＝4PB，则的值是否是定值？请说明理由．
【答案】（1）；45；
（2）①）（1）中的结论仍然成立，理由见解析过程；
②；
（3）的值是定值，定值为3．
【分析】（1）①连接BF，BD，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）①连接BF，BD，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
②连接BF，BD，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；
（3）过点C作CQ⊥DF于点Q，连接BD，BE，BF，BE与CF交于点H，利用折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）①连接BF，BD，如图，
∵四边形ABCD和四边形GBEF为正方形，
∴∠ABF＝∠ABD＝45°，
∴B，F，D三点在一条直线上．
∵GF⊥AB，DA⊥AB，
∴△BGF和△BAD为等腰直角三角形，
∴BF＝BG，BD＝AB，
∴DF＝BD﹣BF＝（AB﹣BG）＝AG，
∴＝；
②∵B，F，D三点在一条直线上，∠ABF＝∠ABD＝45°，
∴直线DF与直线AG所夹的锐角等于45°．
故答案为：；45；
（2）①（1）中的结论仍然成立，理由：
连接BF，BD，如图，
∵四边形ABCD和四边形GBEF为正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，∠BGF＝∠BAD＝90°，
∴△BGF和△BAD为等腰直角三角形，
∴∠ABG+∠ABF＝∠ABF+∠FBD＝45°，BF＝BG，BD＝，
∴∠ABG＝∠DBF，，
∴△ABG∽△DBF，
∴；
延长DF，交AB于点N，交AG于点M，
∵△ABG∽△DBF，
∴∠GAB＝∠BDF．
∵∠ANM＝∠DNB，
∴∠BAG+∠AMN＝∠BDF+∠ADB．
∴∠AMN＝∠ABD＝45°，
即直线DF与直线AG所夹的锐角等于45°，
∴（1）中的结论仍然成立；
②连接BF，BD，如图，
∵四边形GBEF为正方形，
∴∠BFG＝45°．
由①知：∠AGD＝45°，
∴∠AGD＝∠BFG．
∵AB边的中点为O，
∴AO＝BO．
在△AGO和△BFO中，
，
∴△AGO≌△BFO（AAS），
∴GO＝FO＝GF＝2，
∴OB＝＝＝2，
∴AB＝2OB＝4．
故答案为：4；
（3）的值是定值，定值为3，理由：
过点C作CQ⊥DF于点Q，连接BD，BE，BF，BE与CF交于点H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
由折叠的性质可得：BC＝CE，EF＝BF，PB＝PE，∠BCF＝∠ECF．
∴CE＝CD，
∵CQ⊥DF，
∴∠ECQ＝∠DCQ．
∵∠BCD＝90°，
∴∠ECF+∠ECQ＝∠BCD＝45°．
∴∠QFC＝90°﹣∠QCF＝45°，
∴∠BFC＝45°，
∴∠EFB＝∠EFC+∠BFC＝90°．
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴FH⊥BE，BH＝HE＝BE，BE＝EF，
∴∠PHB＝90°．
在FC截取FM＝BE，可知四边形EFBM为正方形，
由（2）②的结论可得：DE＝AF，∠AFD＝45°，
∴∠AFB＝∠AFD+∠EFC＝90°，
∴∠AFP＝∠PHB．
∵∠APF＝∠BPH，
∴△APF∽△BPH，
∴，
∵PA＝3PB，
∴AF＝3BH＝BEEF，
∴DE＝AF＝EF＝3EF．
∴＝3，
∴的值是定值，定值为3．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
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