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2023年河南省郑州市金水外国语学校中考数学二模试卷附解析
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这是一份2023年河南省郑州市金水外国语学校中考数学二模试卷附解析，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州市金水外国语学校中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下实数中，是无理数的是（ ）
A．π B．1.010010001
C． D．
2．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A．3×10﹣5 B．3×10﹣4 C．0.3×10﹣4 D．0.3×10﹣5
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．a2+3a2＝4a2
C．（n+m）2＝n2+m2 D．（﹣a2）a4＝a8
4．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．雨后见彩虹是随机事件
B．为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择抽样调查
C．将一枚硬币抛掷20次，一定有10次正面朝上
D．气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s＝3.4，s＝4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市
5．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字的对面上的文字是（ ）
A．考 B．试 C．加 D．油
6．（3分）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则∠FGC为（ ）
A．34° B．48° C．56° D．68°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于（ ）
A． B．8cm C．8cm D．6cm
8．（3分）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a
C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a
9．（3分）给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣5（x﹣1）2，上述函数中满足“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（3分）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：6x2y﹣3xy＝ ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是 ．
13．（3分）不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，AB＝，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，点E是边BC上一点，且BE＝5，点F是边AB上一动点，连接EF，△BEF与△PEF关于EF所在的直线对称，连接BP，当点P恰好在直角△ABC直角边的垂直平分线上时，BP的长为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息（用x表示成绩，数据分成5组：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x≤50）
乙班成绩在D组的具体分数是：42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45
甲，乙两班成绩统计表：
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出n的值；
（2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．
18．如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝的图象经过点B和D，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）AB所在直线的函数表达式．
19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图1，P是⊙O外一点， ．
求证： ．
（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．
20．文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明．如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊AB的高度，甲同学站在字坊正前方C，通过测角仪测得字坊顶端A的仰角为45°，乙同学在字坊背面E处测得字坊顶端A的仰角为53°，已知测角仪的高度CD为1.6m，甲同学与乙同学之间的直线距离CE为31.5m，点A、C、E在同一竖直平面内．求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
21．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
22．如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
23．综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB＝，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D'恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
（1）在图②中，sin∠ACB＝ ，＝ ；
（2）在图②中，CH2＝CG• ；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D'落在矩形的内部或一边上，设∠DCD'＝a，若0°＜a≤90°，连接D'A，D'A的长度为m，则m的取值范围是 ．
2023年河南省郑州市金水外国语学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下实数中，是无理数的是（ ）
A．π B．1.010010001
C． D．
【答案】A
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：A．π是无理数，故本选项符合题意；
B．1.010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D＝3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
2．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A．3×10﹣5 B．3×10﹣4 C．0.3×10﹣4 D．0.3×10﹣5
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．a2+3a2＝4a2
C．（n+m）2＝n2+m2 D．（﹣a2）a4＝a8
【答案】B
【分析】直接利用整式的除法运算法则、完全平方公式以及合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．4a2÷2a2＝2，故此选项不合题意；
B．a2+3a2＝4a2，故此选项符合题意；
C．（n+m）2＝n2+2mn+m2，故此选项不合题意；
D．（﹣a2）a4＝﹣a6，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算、完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．雨后见彩虹是随机事件
B．为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择抽样调查
C．将一枚硬币抛掷20次，一定有10次正面朝上
D．气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s＝3.4，s＝4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市
【答案】A
【分析】利用随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、雨后见彩虹是随机事件，故本选项正确，符合题意；
B、为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择全面调查，故本选项错误，不符合题意；
C、将一枚硬币抛掷20次，不一定有10次正面朝上，故本选项错误，不符合题意；
D、气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s＝3.4，s＝4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是甲城市，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识，属于基础知识，比较简单，熟练掌握定义是解题的关键．
5．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字的对面上的文字是（ ）
A．考 B．试 C．加 D．油
【答案】B
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
【解答】解：“数”字的对面上的文字是：试，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．（3分）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则∠FGC为（ ）
A．34° B．48° C．56° D．68°
【答案】D
【分析】由折叠EF可得∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，根据直线AC'∥BD'得∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，最后由对顶角的性质求得∠FGC＝68°．
【解答】解：如图所示：
∵EF是折痕，
∴∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，
∵AC'∥BD'，
∴∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，
又∵∠EFB＝34°，
∴∠1＝34°，
∴∠3＝68°，
又∵∠FGC＝∠3，
∴∠FGC＝68°．
故选：D．
【点评】本题考查平行的的性质，角平分线的应用，对顶角的性质，解题关键是合理利用平行线的性质以及角平分线的性质．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于（ ）
A． B．8cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【分析】由条件得到∠CAF＝∠GAF，可以证明△CAF≌△GAF，得到FC＝FG，AC＝AG，推出△BFG的周长＝AB＝8cm．
【解答】解：由题意得：AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠GAF，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA＝∠C＝90°，
∵AF＝AF，
∴△CAF≌△GAF（AAS），
∴FC＝FG，AC＝AG，
∵BC＝AC，
∴AG＝BC，
∴△BFG的周长＝BG+BF+FG＝BG+BF+FC＝BG+BC＝BG+AG＝AB＝8（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，关键是由△CAF≌△GAF得到BC＝AG，得到△BFG的周长＝AB．
8．（3分）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a
C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a
【答案】C
【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，列方程即可得到结论．
【解答】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，可列方程为a（1﹣x）2＝30%a，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣5（x﹣1）2，上述函数中满足“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
②y＝，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
③y＝2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
④y＝﹣5（x﹣1）2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
【答案】B
【分析】过D作DH⊥x轴于H，由在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，得AB＝＝，∠BAO＝45°，根据四边形ABCD是正方形，可得D（3，1），又将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，知每旋转8次回到初始位置，第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，即可得到答案．
【解答】解：过D作DH⊥x轴于H，如图：
∵在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，
∴AB＝＝，∠BAO＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝＝1，
∴OH＝OA+AH＝3，
∴D（3，1），
∵将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，
∴每旋转8次回到初始位置，
∵98÷8＝12......2，
∴第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，
∴第98次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，3），
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及旋转变换，解题的关键是掌握正方形的性质，找到旋转的规律．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：6x2y﹣3xy＝ 3xy（2x﹣1） ．
【答案】3xy（2x﹣1）．
【分析】直接提取公因式3xy，进而得出答案．
【解答】解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．
故答案为：3xy（2x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是 a＜﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，
∴a≠0且Δ＝22﹣4×a×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1，
∴a的取值范围是a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13．（3分）不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
【答案】．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
所以两次都摸到红球的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，AB＝，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π．
【分析】连接BE，过E作EF⊥BC于F，解直角三角形得到∠BAC＝60°，求得△ABE是等边三角形，得到∠ABE＝60°，推出∠EBF＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BF，过F作FH⊥AB于H，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝，∠BAC＝30°，
∴BC＝＝，∠ACB＝60°，
∵BC＝BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠CBF＝60°，
∴∠FBE＝30°，
∴FH＝BF＝，BH＝，
∴S阴＝S扇形BCF+S△ABF﹣S△BCF﹣S扇形BEF＝+××﹣××﹣＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，点E是边BC上一点，且BE＝5，点F是边AB上一动点，连接EF，△BEF与△PEF关于EF所在的直线对称，连接BP，当点P恰好在直角△ABC直角边的垂直平分线上时，BP的长为 2或2 ．
【答案】2或2．
【分析】分点P落在BC的垂直平分线和AB的垂直平分线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，当P在BC的垂直平分线上时，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝，∠PQB＝90°，
∴PQ＝＝2，
在Rt△BPQ中，
BP＝＝2，
当点P落在边AB的垂直平分线上时，且点F在线段AB上时，过点P作PN⊥BC于点N，
则PN＝，∠PNB＝∠PNE＝90°，
在Rt△PEN中，
EN＝＝3，
∴BN＝BE﹣EN＝2，
BP＝＝2，
综上所述，BP的长为2或2，
故答案为：2或2．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣4．
【分析】（1）将分式的分子与分母分解因式，再将括号里面通分运算，进而化简得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝÷
＝•
＝﹣1；
（2）原式＝﹣3+1﹣2
＝﹣4．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息（用x表示成绩，数据分成5组：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x≤50）
乙班成绩在D组的具体分数是：42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45
甲，乙两班成绩统计表：
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出n的值；
（2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）42；
（2）小明是乙班级学生；
（3）该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义和计算方法分别计算即可，
（2）利用中位数的意义进行判断；
（3）根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数．
【解答】解：（1）乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n＝42，
故答案为：n＝42；
（2）∵小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是44.5，乙班的中位数是42，
∴小明是乙班级学生；
（3）甲班得45分及45分以上的有：13+12＝25（人），而乙班有：2+20＝22（人），
两个班的整体优秀率为：＝47%，
∴400×47%＝188（人），
即：该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人．
【点评】考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义是正确解答的前提．
18．如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝的图象经过点B和D，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）AB所在直线的函数表达式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意得出AE＝6，结合平行四边形的面积得出AD＝BC＝4，继而知点D坐标，从而得出反比例函数解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）∵顶点A的坐标是（0，2），顶点C的纵坐标是﹣4，
∴AE＝6，
又▱ABCD的面积是24，
∴AD＝BC＝4，
则D（4，2）
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）由题意知B的纵坐标为﹣4，
∴其横坐标为﹣2，
则B（﹣2，﹣4），
设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
将A（0，2）、B（﹣2，﹣4）代入，得：，
解得：，
所以AB所在直线解析式为y＝3x+2．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力．
19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图1，P是⊙O外一点， PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP， ．
求证： OP垂直平分AB ．
（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．
【答案】（1）PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；
证明过程见解答；
（2）OP的长为．
【分析】（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得∠AOP＝∠BOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP中利用锐角三角函数进行计算即可解答．
【解答】解：（1）已知：如图1，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP，
求证：OP垂直平分AB，
证明：连接OA、OB，
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∵OA＝OB，
∴OP垂直平分AB，
故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；
（2）连接OA、OB，
∵OA＝OD，
∴∠ADC＝∠DAO＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠DCB＝∠OBC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，
由（1）得：
∠BOP＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∵∠OBP＝90°，OB＝OC＝2，
∴OP＝＝＝，
∴OP的长为．
【点评】本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明．如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊AB的高度，甲同学站在字坊正前方C，通过测角仪测得字坊顶端A的仰角为45°，乙同学在字坊背面E处测得字坊顶端A的仰角为53°，已知测角仪的高度CD为1.6m，甲同学与乙同学之间的直线距离CE为31.5m，点A、C、E在同一竖直平面内．求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
【答案】约为18.9m．
【分析】作DF⊥AB于点F，可证明FA＝FD，且四边形BCDF是矩形，则BC＝FD＝FA，BF＝CD＝1.6m，设字坊AB的高度为xm，可推导出BE＝（33.1﹣x）m，由tan53°，得AB＝BE•tan53°，则x＝（33.1﹣x）tan53°，求出x的值即可．
【解答】解：如图，作DF⊥AB于点F，则∠AFD＝∠BFD＝90°，
由题意得AB⊥CE，CD⊥CE，∠ADF＝45°，CD＝1.6m，CE＝31.5m，∠E＝53°，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∠ABE＝∠ABC＝90°，
∴FA＝FD，
∵∠CBF＝∠BCD＝∠BFD＝90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴BC＝FD＝FA，BF＝CD＝1.6m，
设字坊AB的高度为xm，则BC＝FA＝（x﹣1.6）m，
∴BE＝31.5﹣（x﹣1.6）＝（33.1﹣x）m，
∵＝tanE＝tan53°，
∴AB＝BE•tan53°，
∴x＝（33.1﹣x）tan53°，
∴x＝≈18.9，
答：字坊AB的高度约为18.9m．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地用含同一个未知数的代数式表示AB、BE的长是解题的关键．
21．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
【答案】（1）甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元；
（2）在乙商店租用服装的费用较少；理由见解析．
【分析】（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由“用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可得出答案；
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝60，
∴甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元；
（2）在乙商店租用服装的费用较少．
理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为：60×20×0.9＝1080（元），
乙商店的费用为：50×20＝1000（元），
∵1080＞1000，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．
22．如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
【答案】（1）；
（2）A（7，）；
（3）小球M能飞过这棵树，理由见解答过程．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，把（0，0）代入即可得到答案；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）把x＝2分别代入和，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，
把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解方程，得x1＝0，x2＝7，
当x＝7时，y＝，
所以A（7，）；
（3）当x＝2时，，＝6，
∵4+!＝5，6＞5，
∴小球M能飞过这棵树．
【点评】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
23．综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB＝，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D'恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
（1）在图②中，sin∠ACB＝ ，＝ ；
（2）在图②中，CH2＝CG• AE ；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D'落在矩形的内部或一边上，设∠DCD'＝a，若0°＜a≤90°，连接D'A，D'A的长度为m，则m的取值范围是 3 ．
【答案】（1）30°，；
（2）AE，证明过程详见解答；
（3）．
【分析】（1）可得AC＝2AH＝2CH＝2CD，GH＝2EG，CG＝2GH，从而得出结果；
（2）设EG＝1，则CG＝4，CH＝2，AE＝3，从而得出结论；
（3）点D在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，可得出AD′的最小值，进而得出结果．
【解答】解：（1）∵AE＝DE，EH∥CD，
∴＝1，
∴AH＝CH，
∵CD＝CH，
∴CD＝CH＝AH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴sin∠ACB＝sin∠CAD＝，
在Rt△EGH中，GH＝2EG，
在Rt△GHC中，CG＝2GH，
∴CG＝4EG，
∴，
故答案为：，；
（2）CH2＝CG•AE，理由如下：
设EG＝1，
由（1）可得：AH＝CH，GH⊥AC，
∴CG＝AG，
∴∠GCH＝∠CAD＝30°，
GH＝2EG＝2，
在Rt△CGH中，CH＝＝2，
在Rt△GEH中，EH＝EG＝，
在Rr△AEH中，AE＝EH＝3，
∵CH2（2）2＝12，CG•AE＝4×3＝12，
∴CH2＝CG•AE；
（3）如图，
∵CD′＝CD，
∴点D′在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，
∴AD′最小＝AC﹣CD＝2﹣＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．
2023年河南省郑州市金水外国语学校中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下实数中，是无理数的是（ ）
A．π B．1.010010001
C． D．
2．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A．3×10﹣5 B．3×10﹣4 C．0.3×10﹣4 D．0.3×10﹣5
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．a2+3a2＝4a2
C．（n+m）2＝n2+m2 D．（﹣a2）a4＝a8
4．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．雨后见彩虹是随机事件
B．为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择抽样调查
C．将一枚硬币抛掷20次，一定有10次正面朝上
D．气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s＝3.4，s＝4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市
5．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字的对面上的文字是（ ）
A．考 B．试 C．加 D．油
6．（3分）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则∠FGC为（ ）
A．34° B．48° C．56° D．68°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于（ ）
A． B．8cm C．8cm D．6cm
8．（3分）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a
C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a
9．（3分）给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣5（x﹣1）2，上述函数中满足“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（3分）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：6x2y﹣3xy＝ ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是 ．
13．（3分）不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，AB＝，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，点E是边BC上一点，且BE＝5，点F是边AB上一动点，连接EF，△BEF与△PEF关于EF所在的直线对称，连接BP，当点P恰好在直角△ABC直角边的垂直平分线上时，BP的长为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息（用x表示成绩，数据分成5组：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x≤50）
乙班成绩在D组的具体分数是：42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45
甲，乙两班成绩统计表：
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出n的值；
（2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．
18．如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝的图象经过点B和D，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）AB所在直线的函数表达式．
19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图1，P是⊙O外一点， ．
求证： ．
（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．
20．文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明．如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊AB的高度，甲同学站在字坊正前方C，通过测角仪测得字坊顶端A的仰角为45°，乙同学在字坊背面E处测得字坊顶端A的仰角为53°，已知测角仪的高度CD为1.6m，甲同学与乙同学之间的直线距离CE为31.5m，点A、C、E在同一竖直平面内．求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
21．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
22．如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
23．综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB＝，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D'恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
（1）在图②中，sin∠ACB＝ ，＝ ；
（2）在图②中，CH2＝CG• ；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D'落在矩形的内部或一边上，设∠DCD'＝a，若0°＜a≤90°，连接D'A，D'A的长度为m，则m的取值范围是 ．
2023年河南省郑州市金水外国语学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下实数中，是无理数的是（ ）
A．π B．1.010010001
C． D．
【答案】A
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：A．π是无理数，故本选项符合题意；
B．1.010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D＝3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
2．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A．3×10﹣5 B．3×10﹣4 C．0.3×10﹣4 D．0.3×10﹣5
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．a2+3a2＝4a2
C．（n+m）2＝n2+m2 D．（﹣a2）a4＝a8
【答案】B
【分析】直接利用整式的除法运算法则、完全平方公式以及合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．4a2÷2a2＝2，故此选项不合题意；
B．a2+3a2＝4a2，故此选项符合题意；
C．（n+m）2＝n2+2mn+m2，故此选项不合题意；
D．（﹣a2）a4＝﹣a6，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算、完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．雨后见彩虹是随机事件
B．为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择抽样调查
C．将一枚硬币抛掷20次，一定有10次正面朝上
D．气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s＝3.4，s＝4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市
【答案】A
【分析】利用随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、雨后见彩虹是随机事件，故本选项正确，符合题意；
B、为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择全面调查，故本选项错误，不符合题意；
C、将一枚硬币抛掷20次，不一定有10次正面朝上，故本选项错误，不符合题意；
D、气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s＝3.4，s＝4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是甲城市，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识，属于基础知识，比较简单，熟练掌握定义是解题的关键．
5．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字的对面上的文字是（ ）
A．考 B．试 C．加 D．油
【答案】B
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
【解答】解：“数”字的对面上的文字是：试，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．（3分）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则∠FGC为（ ）
A．34° B．48° C．56° D．68°
【答案】D
【分析】由折叠EF可得∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，根据直线AC'∥BD'得∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，最后由对顶角的性质求得∠FGC＝68°．
【解答】解：如图所示：
∵EF是折痕，
∴∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，
∵AC'∥BD'，
∴∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，
又∵∠EFB＝34°，
∴∠1＝34°，
∴∠3＝68°，
又∵∠FGC＝∠3，
∴∠FGC＝68°．
故选：D．
【点评】本题考查平行的的性质，角平分线的应用，对顶角的性质，解题关键是合理利用平行线的性质以及角平分线的性质．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于（ ）
A． B．8cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【分析】由条件得到∠CAF＝∠GAF，可以证明△CAF≌△GAF，得到FC＝FG，AC＝AG，推出△BFG的周长＝AB＝8cm．
【解答】解：由题意得：AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠GAF，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA＝∠C＝90°，
∵AF＝AF，
∴△CAF≌△GAF（AAS），
∴FC＝FG，AC＝AG，
∵BC＝AC，
∴AG＝BC，
∴△BFG的周长＝BG+BF+FG＝BG+BF+FC＝BG+BC＝BG+AG＝AB＝8（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，关键是由△CAF≌△GAF得到BC＝AG，得到△BFG的周长＝AB．
8．（3分）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a
C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a
【答案】C
【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，列方程即可得到结论．
【解答】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，可列方程为a（1﹣x）2＝30%a，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣5（x﹣1）2，上述函数中满足“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
②y＝，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
③y＝2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
④y＝﹣5（x﹣1）2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
【答案】B
【分析】过D作DH⊥x轴于H，由在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，得AB＝＝，∠BAO＝45°，根据四边形ABCD是正方形，可得D（3，1），又将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，知每旋转8次回到初始位置，第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，即可得到答案．
【解答】解：过D作DH⊥x轴于H，如图：
∵在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，
∴AB＝＝，∠BAO＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝＝1，
∴OH＝OA+AH＝3，
∴D（3，1），
∵将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，
∴每旋转8次回到初始位置，
∵98÷8＝12......2，
∴第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，
∴第98次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，3），
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及旋转变换，解题的关键是掌握正方形的性质，找到旋转的规律．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：6x2y﹣3xy＝ 3xy（2x﹣1） ．
【答案】3xy（2x﹣1）．
【分析】直接提取公因式3xy，进而得出答案．
【解答】解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．
故答案为：3xy（2x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是 a＜﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，
∴a≠0且Δ＝22﹣4×a×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1，
∴a的取值范围是a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13．（3分）不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
【答案】．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
所以两次都摸到红球的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，AB＝，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π．
【分析】连接BE，过E作EF⊥BC于F，解直角三角形得到∠BAC＝60°，求得△ABE是等边三角形，得到∠ABE＝60°，推出∠EBF＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BF，过F作FH⊥AB于H，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝，∠BAC＝30°，
∴BC＝＝，∠ACB＝60°，
∵BC＝BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠CBF＝60°，
∴∠FBE＝30°，
∴FH＝BF＝，BH＝，
∴S阴＝S扇形BCF+S△ABF﹣S△BCF﹣S扇形BEF＝+××﹣××﹣＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，点E是边BC上一点，且BE＝5，点F是边AB上一动点，连接EF，△BEF与△PEF关于EF所在的直线对称，连接BP，当点P恰好在直角△ABC直角边的垂直平分线上时，BP的长为 2或2 ．
【答案】2或2．
【分析】分点P落在BC的垂直平分线和AB的垂直平分线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，当P在BC的垂直平分线上时，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝，∠PQB＝90°，
∴PQ＝＝2，
在Rt△BPQ中，
BP＝＝2，
当点P落在边AB的垂直平分线上时，且点F在线段AB上时，过点P作PN⊥BC于点N，
则PN＝，∠PNB＝∠PNE＝90°，
在Rt△PEN中，
EN＝＝3，
∴BN＝BE﹣EN＝2，
BP＝＝2，
综上所述，BP的长为2或2，
故答案为：2或2．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣4．
【分析】（1）将分式的分子与分母分解因式，再将括号里面通分运算，进而化简得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝÷
＝•
＝﹣1；
（2）原式＝﹣3+1﹣2
＝﹣4．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息（用x表示成绩，数据分成5组：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x≤50）
乙班成绩在D组的具体分数是：42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45
甲，乙两班成绩统计表：
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出n的值；
（2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）42；
（2）小明是乙班级学生；
（3）该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义和计算方法分别计算即可，
（2）利用中位数的意义进行判断；
（3）根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数．
【解答】解：（1）乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n＝42，
故答案为：n＝42；
（2）∵小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是44.5，乙班的中位数是42，
∴小明是乙班级学生；
（3）甲班得45分及45分以上的有：13+12＝25（人），而乙班有：2+20＝22（人），
两个班的整体优秀率为：＝47%，
∴400×47%＝188（人），
即：该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人．
【点评】考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义是正确解答的前提．
18．如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝的图象经过点B和D，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）AB所在直线的函数表达式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意得出AE＝6，结合平行四边形的面积得出AD＝BC＝4，继而知点D坐标，从而得出反比例函数解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）∵顶点A的坐标是（0，2），顶点C的纵坐标是﹣4，
∴AE＝6，
又▱ABCD的面积是24，
∴AD＝BC＝4，
则D（4，2）
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）由题意知B的纵坐标为﹣4，
∴其横坐标为﹣2，
则B（﹣2，﹣4），
设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
将A（0，2）、B（﹣2，﹣4）代入，得：，
解得：，
所以AB所在直线解析式为y＝3x+2．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力．
19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图1，P是⊙O外一点， PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP， ．
求证： OP垂直平分AB ．
（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．
【答案】（1）PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；
证明过程见解答；
（2）OP的长为．
【分析】（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得∠AOP＝∠BOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP中利用锐角三角函数进行计算即可解答．
【解答】解：（1）已知：如图1，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP，
求证：OP垂直平分AB，
证明：连接OA、OB，
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∵OA＝OB，
∴OP垂直平分AB，
故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；
（2）连接OA、OB，
∵OA＝OD，
∴∠ADC＝∠DAO＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠DCB＝∠OBC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，
由（1）得：
∠BOP＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∵∠OBP＝90°，OB＝OC＝2，
∴OP＝＝＝，
∴OP的长为．
【点评】本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明．如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊AB的高度，甲同学站在字坊正前方C，通过测角仪测得字坊顶端A的仰角为45°，乙同学在字坊背面E处测得字坊顶端A的仰角为53°，已知测角仪的高度CD为1.6m，甲同学与乙同学之间的直线距离CE为31.5m，点A、C、E在同一竖直平面内．求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
【答案】约为18.9m．
【分析】作DF⊥AB于点F，可证明FA＝FD，且四边形BCDF是矩形，则BC＝FD＝FA，BF＝CD＝1.6m，设字坊AB的高度为xm，可推导出BE＝（33.1﹣x）m，由tan53°，得AB＝BE•tan53°，则x＝（33.1﹣x）tan53°，求出x的值即可．
【解答】解：如图，作DF⊥AB于点F，则∠AFD＝∠BFD＝90°，
由题意得AB⊥CE，CD⊥CE，∠ADF＝45°，CD＝1.6m，CE＝31.5m，∠E＝53°，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∠ABE＝∠ABC＝90°，
∴FA＝FD，
∵∠CBF＝∠BCD＝∠BFD＝90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴BC＝FD＝FA，BF＝CD＝1.6m，
设字坊AB的高度为xm，则BC＝FA＝（x﹣1.6）m，
∴BE＝31.5﹣（x﹣1.6）＝（33.1﹣x）m，
∵＝tanE＝tan53°，
∴AB＝BE•tan53°，
∴x＝（33.1﹣x）tan53°，
∴x＝≈18.9，
答：字坊AB的高度约为18.9m．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地用含同一个未知数的代数式表示AB、BE的长是解题的关键．
21．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
【答案】（1）甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元；
（2）在乙商店租用服装的费用较少；理由见解析．
【分析】（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由“用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可得出答案；
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝60，
∴甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元；
（2）在乙商店租用服装的费用较少．
理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为：60×20×0.9＝1080（元），
乙商店的费用为：50×20＝1000（元），
∵1080＞1000，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．
22．如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
【答案】（1）；
（2）A（7，）；
（3）小球M能飞过这棵树，理由见解答过程．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，把（0，0）代入即可得到答案；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）把x＝2分别代入和，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，
把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解方程，得x1＝0，x2＝7，
当x＝7时，y＝，
所以A（7，）；
（3）当x＝2时，，＝6，
∵4+!＝5，6＞5，
∴小球M能飞过这棵树．
【点评】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
23．综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB＝，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D'恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
（1）在图②中，sin∠ACB＝ ，＝ ；
（2）在图②中，CH2＝CG• AE ；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D'落在矩形的内部或一边上，设∠DCD'＝a，若0°＜a≤90°，连接D'A，D'A的长度为m，则m的取值范围是 3 ．
【答案】（1）30°，；
（2）AE，证明过程详见解答；
（3）．
【分析】（1）可得AC＝2AH＝2CH＝2CD，GH＝2EG，CG＝2GH，从而得出结果；
（2）设EG＝1，则CG＝4，CH＝2，AE＝3，从而得出结论；
（3）点D在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，可得出AD′的最小值，进而得出结果．
【解答】解：（1）∵AE＝DE，EH∥CD，
∴＝1，
∴AH＝CH，
∵CD＝CH，
∴CD＝CH＝AH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴sin∠ACB＝sin∠CAD＝，
在Rt△EGH中，GH＝2EG，
在Rt△GHC中，CG＝2GH，
∴CG＝4EG，
∴，
故答案为：，；
（2）CH2＝CG•AE，理由如下：
设EG＝1，
由（1）可得：AH＝CH，GH⊥AC，
∴CG＝AG，
∴∠GCH＝∠CAD＝30°，
GH＝2EG＝2，
在Rt△CGH中，CH＝＝2，
在Rt△GEH中，EH＝EG＝，
在Rr△AEH中，AE＝EH＝3，
∵CH2（2）2＝12，CG•AE＝4×3＝12，
∴CH2＝CG•AE；
（3）如图，
∵CD′＝CD，
∴点D′在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，
∴AD′最小＝AC﹣CD＝2﹣＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．
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