江西省上饶市六校2023届高三第二次联考数学（文）试题（含答案）

江西省上饶市六校2023届高三第二次联考数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A． B．

C． D．

2．已知复数满足（其中为虚数单位），则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（    ）

A．12 B．26 C．42 D．50

4．已知向量，若与共线，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．设、两条直线，则的充要条件是（    ）

A．、与同一个平面所成角相等 B．、垂直于同一条直线

C．、平行于同一个平面 D．、垂直于同一个平面

6．已知是函数的一个零点，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的表达式为（    ）

A． B．

C． D．

7．若，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．2027 B．2026 C．2025 D．2024

8．函数中的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

9．设圆的方程为，则圆C围成的圆盘在x轴上方的部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

10．已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，设双曲线的一条渐近线斜率为，则为（    ）

A． B．

C． D．

11．如图，在中，，点在线段上，，，则（    ） .

A． B．

C． D．

12．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知函数在点处的切线方程为______________．

14．杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是________．

15．已知、均为锐角，且，，则_____________.

16．已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.

三、解答题

17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，，求满足条件的的最小值.

18．“告诉老墨，我想吃鱼了”这是今年春节期间大火的电视剧《狂飙》里，主角高启强（强哥）的经典台词，而剧中高启强最喜欢吃的就是猪脚面了，可谓是猪脚面的资深代言人.某商家想在上饶市某学校旁开一家面馆，主打猪脚面.虽然江西人普遍爱吃辣，但能吃辣的程度也不尽相同.该面馆通过美食协会共获得两种不同特色辣的配方（分别称为配方和配方），并按这两种配方制作售卖猪脚面.按照辣程度定义了每碗猪脚面的辣值（辣值越大表明越辣），得到下面第一天的售卖结果：

配方的售卖频数分布表

配方的售卖频数分布表

定义本面馆猪脚面的“辣度指数”如下表：

(1)试分别估计第一天配方，配方售卖的猪脚面的辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并比较大小.

(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方猪脚面的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价配方的“辣度指数”比配方的“辣度指数”高的概率.

19．如图，在直三棱柱中，，，分别是和的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积与三棱柱体积的比值．

20．已知函数．

(1)当时，讨论函数f(x)的单调区间；

(2)当时，证明： (其中e为自然对数的底数)

21．设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.

(1)当点的坐标为时，求；

(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点，直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的最大值.（注：表示三角形的面积）

22．在极坐标系中，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为. 以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.

(1)求圆及直线的直角坐标方程；

(2)若射线分别与圆和直线交于两点，其中，求的最小值.

23．已知函数

(1)若，求不等式的解集；

(2)对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】根据题意求集合A，进而可得结果.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

2．B

【分析】根据复数的乘方运算及除法运算法则计算即可．

【详解】，

故选：B．

3．C

【分析】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，由已知求出，再根据等差数列通项公式求出即可．

【详解】根据题意，把各排座位数看作等差数列，

设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则，

所以，解得，

所以，

故选：C．

4．D

【分析】先根据向量的坐标运算规则求出，再根据向量共线的运算规则求解.

【详解】 ，；

故选：D.

5．D

【分析】作出正方体，分析每个选项中直线、能否平行，由此可得出合适的选项.

【详解】如下图所示，在正方体中，

对于A选项，取直线、分别为直线、，则直线、与底面所成的角相等，但、相交，A选项不满足条件；

对于B选项，取直线、分别为直线、，则，，但、相交，B选项不满足条件；

对于C选项，取直线、分别为直线、，则、都与平面平行，但、相交，C选项不满足条件；

对于D选项，充分性：若、垂直于同一个平面，由线面垂直的性质可得，充分性成立；

必要性：若，且平面，在平面取两条相交直线、，则且，

所以，，，因为、相交且，，所以，，必要性成立.D选项满足条件.

故选：D.

【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．

6．C

【分析】先求得，然后根据三角函数图象变换、诱导公式等知识求得正确答案.

【详解】依题意，，解得，

所以，

所以，

将向右平移个单位长度得到.

故选：C

7．B

【分析】由约束条件作出可行域，化简目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得出答案．

【详解】由约束条件作出可行域，如图所示，

由目标函数得，

当目标函数过点时，取最大值，

联立，解得，

所以的最大值为，

故选：B．

8．D

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.

【详解】解：因为定义域为，

又，

所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，

又时，，所以，

所以，故排除C；

故选：D

9．A

【分析】求出直线与轴的交点，并确定的大小，再根据圆盘在x轴上方的部分由个圆和三角形组成，即可求解.

【详解】令得，解得，

设圆C与x轴相交的点为，则，

圆圆C的圆心，半径，

，

由余弦定理得，

因为，所以，

三角形的面积等于，

圆盘在x轴上方的部分由个圆和三角形组成，

所以圆盘在x轴上方的部分面积等于，

故选:A.

10．C

【分析】设正方形的边长为，曲线以正方形顶点为焦点，过正方形顶点，得出点的坐标代入曲线的方程，再将代入化简，求出即可得出的值．

【详解】设正方形的边长为，曲线以正方形顶点为焦点，过正方形顶点，如图所示，

则，代入曲线的方程，，即，

又因为，

所以，即，

等式两边同时除以得，

设，则，即，

解得或（不合题意，舍去），

即，所以，

故选：C．

11．B

【分析】在中利用正弦定理得，结合平方关系求解即可.

【详解】在中，，

在中，，

，

即，所以，

又，且，所以.

故选：B.

12．A

【分析】根据已知应用正弦定理求边，再应用斜边中线是斜边一半求出球的半径,最后根据表面积公式计算即可.

【详解】

为直角三角形,取PB中点O，

中,,,,,

所以O为球心，,外接球的表面积为.

故选:A.

13．

【分析】根据求出切点的坐标，由得出在该点处切线的斜率，根据点斜式即可写出切线方程．

【详解】由得，即切点坐标为，

，则，

所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线方程为，即，

故答案为：．

14．

【分析】写出从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间，写出事件“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”的样本点，根据古典概型的概率公式即可求得答案.

【详解】将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a、b、c，《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d、e、f，

从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间为，共9个样本点，

记事件A为“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”，

则，共2个样本点，故，

故答案为：

15．/

【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得、角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.

【详解】因为，，即，

所以，

又，即，则，

又、均为锐角，所以，，

所以，，

所以.

故答案为：

16．

【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.

【详解】，构造函数，，故在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立．

令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．

故答案为：

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别

17．(1)

(2)4

【分析】（1）设等差数列的公差为，由成等比，求得，再由，求得或者，进而得到，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）求得，得到，

令，进而得到的最小值.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为成等比，所以，

可得，整理得，

又因为，所以，

因为，所以，

可得，解得或者，

当时， ，不合题意舍去；

当时， ，则，

所以数列的通项公式为.

（2）解：由，可得，

所以，

当时，，此时，不符合题意；

当时，

，

令，可得，

即，解得，所以的最小值为.

18．(1)，，配方的猪脚面的辣值的平均数大于配方的猪脚面的辣值的平均数

(2)0.33

【分析】（1）根据频率分布直方表求平均数比较即可;

（2）根据独立事件的概率是概率乘积,再应用古典概型公式计算求解.

【详解】（1）配方售卖的猪脚面的辣值的平均数为

，

配方售卖的猪脚面的辣值的平均数为

，

因为，

所以配方的猪脚面的辣值的平均数大于B配方的猪脚面的辣值的平均数.

（2）设“其评价配方辣度指数比配方辣度指数高”为事件.

记“其评价配方的辣度指数为4”为事件，“其评价配方的辣度指数为5”为事件，

“其评价配方的辣度指数为3”为事件，“其评价配方的辣度指数为4”为事件，

则，，，.

因为事件与相互独立，其中，，

所以

.

所以其评价配方的辣度指数比配方辣度指数高的概率为0.33.

19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】（1）取的中点为，连结、，证明可得，平面，则有平面；

（2）由题可得，分别由体积公式计算棱锥的体积与三棱柱体积即可得结果.

【详解】解：（Ⅰ）取的中点为，连结、，

平面，平面，

.

，，

，

平面，

，；

四边形为平行四边形，

，

平面.

（Ⅱ）由题可得，

三棱锥的体积为乘以底面积乘高，所以

.

直三棱柱的体积为底面积乘以高，所以

.

所以三棱锥的体积与三棱柱体积的比值为.

20．(1)答案不唯一，具体见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论的取值范围，求函数的单调区间；

（2）不等式化简得，通过构造函数，讨论函数的单调性和最值，即可证明不等式.

【详解】（1）的定义域为，，          

①当，即时，在递增． 在递减

②当时，，在上递增．

③当，即时，在上，递增． 在上，递减．

综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为      

当时，的单调递增区间为．                                    

当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）当时，由化简得，

构造函数，

，在上递增，

，              

故存在，使得，即．        

当时，递减；

当时，递增．

所以时取得极小值，也即是最小值．              

，

所以，故．

21．(1)；

(2).

【分析】（1）求导得切线斜率，进而由点斜式写出切线方程，将代入得，进而联立与抛物线方程可得方程的根，或者韦达定理，由点点距离即可求解，

（2）根据三角形面积公式以及重心满足的坐标关系，化简，即可利用二次函数的性质求解最值.

【详解】（1）解法一：设，，，

由，可得，当 ，

当，所以，直线的斜率，

直线：，又∵在上，

，

所以，又，所以，

同理可得，

∴，

∴；

解法二：设，，，由，可得，

所以，直线的斜率，直线：，又∵在上，

故，即，

因为，所以，同理可得，

故直线的方程为，

联立消去，得，故，

故

（2）设，由条件知，

∴

，

∵   ∴，

∴当时，取得最大值.

【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

22．(1)，

(2).

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，准确运算，即可求解；

（2）将代入圆和直线的方程，求得，，化简得到，根据，求得的最大值为，进而求得有最小值.

【详解】（1）解：因为，，

由，可得，

所以圆的直角坐标方程为，即.

又由由，可得，

根据，，可得直线的直角坐标方程为.

（2）解：将代入圆和直线的极坐标方程，

可得，，所以，

则，，

所以，

因为，所以，

当，即时，有最大值为，

此时有最小值.

23．(1)；

(2)

【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；

（2）根据题意，化简得到，结合基本不等式求得的最大值，再由绝对值的三角不等式求得，列出不等式，即可求解.

【详解】（1）解：当时，不等式，即为不等式为，

当时，可得，解得，所以；

当时，可得成立，所以；

当时，可得的，解得，所以．

综上得不等式的解集为．

（2）解：因为为正实数，且，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值，

又因为，当时取到等号，

要使恒成立，只需，解得或，

即实数的取值范围为