陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学2022-2023学年高三下学期三模理科数学试题（含答案）

陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学2022-2023学年高三下学期三模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．是虚数单位，若复数，则的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．若、是非零向量，且，，则函数是

A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数

C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数

4．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知等比数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

6．若二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（    ）

A．10 B．15 C．25 D．30

7．设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则．下列命题中为真命题的是（    ）．

A． B． C． D．

8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且当时，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

10．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是

A． B． C． D．

11．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．设向量，且,则_________．

14．写出一个离心率与双曲线的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______．

15．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____．

16．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．

三、解答题

17．已知的三个内角的对边分别为，内角成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，.

(1)求证：平面平面ABC；

(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.

19．某大型企业生产的产品细分为个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀，检测到级到6级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:

(1)从这件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；

(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品，设这件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列及期望.

20． 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.

21．已知函数

(1)求f（x）的单调区间；

(2)若当x> -1时f（x）≤ax2 ，求实数a的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程是.

(1)求曲线的直角坐标方程与参数方程;

(2)设点为直线上个不同的动点，且，点为曲线上的任意一点，求面积的取值范围.

23．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

参考答案：

1．A

【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数定义可得结果.

【详解】，.

故选：A.

2．C

【解析】逐一验证集合中的元素是否也属于集合即可.

【详解】因为集合，

可得时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

综上，集合的公共元素为1,3,5，

所以，

故选：C.

3．A

【详解】∵ ，∴.

∴

∴f(x)为一次函数,且是奇函数.故选A.

4．A

【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.

【详解】设“甲、乙在同一组”为事件，

教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，

而甲、乙在同一组的分法有，故，

故选：A.

5．C

【分析】设等比数列的公比为，由可得，再由可得，从而利用可求.

【详解】设等比数列的公比为，

若，则，所以，

又由，即，则，

故 .

故选：C

6．B

【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.

【详解】令，则所有的项的系数和为，由于，所以，

展开式的通项为，故当时，即，此时展开式中的常数项为,

故选：B

7．C

【分析】根据零点存在性定理判断命题p真假，由恒成立求出a的取值范围判断q,再由复合命题的真值表判断即可求解.

【详解】令，则在为连续函数，且，，

故在上存在零点，

故方程在上有解，故命题p为真命题，

对任意恒成立，则，解得，

故命题q为假命题，

所以为真命题，，，为假命题．

故选：C．

8．C

【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．

【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为，圆台的下底面半径为，所以该几何体的体积．

故选：C．

9．B

【分析】先求得的解析式，再得到的解析式，并求得在上的最小值，进而构造关于的不等式，解之即可求得的取值范围.

【详解】

又图象的相邻两对称轴间的距离为，则的周期为，

则，则

将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则

当时，，

当时，不等式恒成立，

则恒成立，解之得

故选：B

10．B

【详解】由，，所以

，故；同理，

，故.因为，故.故最低费用为.故选B.

11．D

【分析】先利用求得点的坐标，代入抛物线的方程求得p的值，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.

【详解】抛物线焦点，

则直线的方程可设为，

设点关于直线对称点，

则，解之得

则，又点在抛物线上，

则，整理得，

解之得或（舍），则物线的焦点到准线的距离为6.

故选：D

12．C

【分析】由恒成立，可得.

注意到，则的零点为.函数零点为.后分四种情况讨论即可.

【详解】因恒成立，则，

则，又，

则的零点为，1.又函数零点为.

①当时，在上无零点，在上有零点，则符合题意；

②当时，在上有零点，在上有零点，则不合题意；

③当时，在上有零点，在上无零点，则符合题意；

④当时，在上有零点，1，在上无零点，则不合题意.

综上：.

故选：C

13．

【分析】根据向量模长的坐标公式即可代入求解.

【详解】由得，根据得，解得 ，

故答案为：

14．（答案不唯一）

【分析】求出双曲线的离心率，进而求出椭圆的离心率，写出符合要求的椭圆方程.

【详解】双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，所以椭圆的标准方程可以为．

故答案为：

15．

【分析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.

【详解】正方形的面积为，如下图所示：

阴影部分的面积为: ，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.

【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.

16．/

【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．

【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，

的最小值即为的最小值减去半径．

因为，，

设，

，由于恒成立，

所以函数在上递减，在上递增，即，

所以，即的最小值为．

故答案为：．

17．（1）；（2）.

【解析】（1）由已知内角成等差数列求得，可得，利用通项公式即可得出结果；

（2）由（1）可得，利用错位相减法可求前项和．

【详解】解：（1）成等差数列

又．

．

∴数列首项为，公比为的等比数列．

（2）

整理得

故

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先利用直径所对圆周角为直角和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明；

（2）建立空间坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量法进行求解.

【详解】（1）证明：由题意知，

则，所以.

又，所以，所以，

又，所以平面PAC，

又平面ABC，所以平面平面ABC.

（2）解：以C为坐标原点，CA，CB在直线分别为x轴，y轴，

过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以.

设平面AEF的法向量为，则

则，取，得.

设直线AB与平面AEF所成的角为，则，

所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为.

19．(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）先求得样本优良的频率，进而得到这件产品产品评分为优良的概率；

（2）先求得的每个取值对应的概率，进而得到的分布列及期望.

【详解】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件：产品的评分为良好.

根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得，   .

因为互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为.

（2）由(1)知，评分为优秀的概率为，由题意得，

则

当时，；

当时，；

当时， ；

当时，；

当时，.

所以的分布列为

数学期望.

20．(1)

(2)

【分析】（1）由通径长、离心率列方程组求得得双曲线方程；

（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围各结论．

【详解】（1）由题可知，，解得，所以双曲线的标准方程为；

（2）由题可知，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，

联立消去，得，

所以，解得，

且，

所以

    .

联立可得，同理可得，

所以，

所以，

其中，则，所以.

【点睛】方法点睛：直线与双曲线相交弦长问题，一般由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，再由弦长公式得弦长，不需要求得两交点的具体坐标．

21．(1)单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）

(2)

【分析】(1)求导，根据导函数的符号即可判断；

(2)构造函数 ，对a分类讨论，求的最大值即可.

【详解】（1） ，     

令，得，

当 时，，当时， ，

所以的单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）；

（2）令 ，由条件知，

，

设

，

当 时， ， 有2个零点；

∴当，由韦达定理知 有一正一负两个零点，不妨设 ，

则当时，，，所以h（x）在（0，x2）上单调递增，

所以当时，，不符合条件，

若，因为x> -1，

所以，

则当时，，当时，，

所以在（ -1，0）上单调递增，在（0， +∞）上单调递减，.

所以，符合条件，

综上可得，的单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）；实数a的取值范围是.

22．(1)，为参数

(2)

【分析】（1）根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出其参数方程；

（2）将直线的参数方程化为普通方程，再的坐标为，求出到直线的距离的取值范围，即可得解.

【详解】（1）曲线的极坐标方程是，整理得，

由，可得曲线的直角坐标方程为，

化参数方程为为参数.

（2）将直线的参数方程(为参数化为普通方程为，

设的坐标为，所以到直线的距离为

.

因为，

所以，

所以面积为.

23．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.

【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有，

所以，当且仅当时，取等号，所以.

[方法二]：基本不等式

由，，， ，

当且仅当时，取等号，所以.

（2）证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．