浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题（含答案）

这是一份浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
3．提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（    ）
行星
金星
地球
火星
谷神星
木星
土星
天王星
海王星
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
公式推得值
0.7
1
1.6
2.8
5.2
10
19.6
38.8
实测值
0.72
1
1.52
2.9
5.2
9.54
19.18
30.06

A． B． C． D．
4．已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（    ）
A．2 B．3 C． D．
5．数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ）

A． B．
C． D．
6．在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（    ）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．
8．设正数满足，当时，恒有，则乘积的最小值是（    ）
A． B．2 C． D．

二、多选题
9．已知函数为奇函数，则参数的可能值为（    ）
A． B． C． D．
10．某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（    ）

A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B．样本中消费支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间
11．设点在圆上，圆方程为，直线方程为.则（    ）
A．对任意实数和点，直线和圆有公共点
B．对任意点，必存在实数，使得直线与圆相切
C．对任意实数，必存在点，使得直线与圆相切
D．对任意实数和点，圆和圆上到直线距离为1的点的个数相等
12．已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（    ）
A．存在公差为1的等差数列，使得
B．存在公比为2的等比数列，使得
C．若，则
D．若，则

三、填空题
13．展开式中的系数为__________.
14．已知圆所在平面与平面所成的锐二面角为，若圆在平面的正投影为椭圆，则椭圆的离心率为__________.
15．袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则__________.
16．对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.

四、解答题
17．设数列满足：是的等比中项.
(1)求的值；
(2)求数列的前20项的和.
18．在的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)再从条件①､②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.
条件①：的面积取到最大值；
条件②：.
（注：如果选择条件①､②分别解答，那么按照第一个解答计分.）
19．如图，四面体，为上的点，且与平面所成角为，

(1)求三棱锥的体积；
(2)求二面角的余弦值.
20．某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一､二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：
等级
一等
二等
三等
利润（万元/每件）
0.8
0.6
-0.3
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
(2)求该公司每天所获利润（万元）的数学期望；
(3)若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升（万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.（）
21．已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分别与双曲线交于两点（不同于）.
(1)求双曲线的方程；
(2)设的面积分别为，若，求直线方程.（写出一条即可）
22．设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.

参考答案：
1．A
【分析】解对数不等式得集合，由平方的性质得集合，再由交集定义计算．
【详解】由题意，，
所以，
故选：A．
2．B
【分析】根据复数的乘法运算规则计算.
【详解】 ；
故选：B.
3．D
【分析】代入数据计算的值即可.
【详解】由表格可得，
故选：D
4．B
【分析】根据抛物线的定义可得，结合图象分析求解.
【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线，
设动点直线的距离分别为，
点到直线的距离分别为，
则，可得，
当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立，
动点到直线直线的距离之和的最小值是3.
故选：B.

5．C
【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得．
【详解】由已知，则，，
又，，，，
因此，
故选：C．
6．C
【分析】将作为基底，用基底表示和 ，根据数量积的规则计算即可.
【详解】
设 ，则有 ，
由余弦定理得 ，
，
其中 ， ，解得 ，
；
故选：C.
7．A
【分析】由余弦定理，则，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法解决线面角问题.
【详解】，由余弦定理，，
则，，，
平面平面，，，
以为原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设平面的一个法向量为，则有，
令，有，，即，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
8．B
【分析】根据题意分析可得，，用表示，可得，构建，利用二次函数可得的最小值为或，分类讨论，结合导数求最小值.
【详解】不妨设，
由，解得，
同理可得，
所以，解得，
又因为，解得，所以.
因为，所以，
构建，.
因为，所以为开口向下的二次函数，
所以的最小值为或，则有：
①若的最小值为，
则，解得，
所以，
构建，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，且，
所以的最小值为2，即的最小值为2；
②若的最小值为，
则，解得，
所以，
构建，则，
则在上单调递减，则，
所以的最小值为，即的最小值为,
综上所述，的最小值为2.
故选：B.
【点睛】方法点睛：1.利用等量关系进行消元，使得未知量减少，方便观察理解；
2.对于多个变量问题，可以固定一个，逐个研究处理问题.
9．AC
【分析】根据奇函数 ，运用排除法，再验算即可.
【详解】 是奇函数，并在 时有意义， ，
对于A， ，
又
；
，是奇函数，正确；
对于B， ，错误；
对于C， ，
又
；
，是奇函数，正确；
对于D， ，错误；
故选：AC.
10．ABC
【分析】根据频率分布直方图面积之和为1计算出空白数据，再根据所得数据和题中对应数据可得样本容量，即可计算出选项对应条件下的数据.
【详解】根据频率分布直方图面积之和为1可得50元到60元之间的频率为：
，A正确；
容量n为，消费支出不少于40元的人数为，B、C正确；
根据频率分布直方图可知消费支出在20元到30元之间的频率为0.1，则2000名参加研学的学生中消费支出在20元到30元之间的约为200人，D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】利用直线与圆的位置关系判断．
【详解】由题意，因此圆一定过原点，而直线总是过原点，A正确；
当圆方程为时，过原点且与圆相切的直线是轴，不存在，B错误；
对任意实数，作直线的平行线与圆相切，切点为，此时到直线的距离为1，即直线与圆相切，C正确；
易知对任意实数，圆上到直线距离为1的点有两个，作与直线平行且距离为1的两条直线和，（注意：和与圆恒相切），
当直线过点时，直线和都与圆相切，两个切点到直线的距离为1，
当直线不过点时，直线和中一条与圆相交，一条相离，两个交点与直线距离为1，即只有2 个点，D正确．

故选：ACD．
12．ABC
【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项.
【详解】对于A，设数列的首项为，则 ，解得 ，
即当等差数列的首项为138，公差为1时， ，正确；
对于B，设首项为 ，则 ，正确；
对于C，欲使得尽可能地大，不妨令 ，则有 ，
又 ，即 ，
，
即 ，正确；
对于D， ， ，即 ，
比如， ，
则 ，D错误；
故选：ABC.
13．9
【分析】利用二项展开式的通项，分别求出，的展开式中的系数，即可得出答案.
【详解】∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式中的系数为，
∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式中的系数为，
故展开式中的系数为．
故答案为：9．
14．
【分析】分别计算平行于两平面交线的直径和垂直于两平面交线的直径在 平面内的投影长度，即为椭圆的长轴和短轴，据此计算离心率.
【详解】
设圆O的半径为R，如图，取垂直于两平面交线MN的直径AB，在 平面的投影长度=，
取平行于MN的直径CD，在平面 内的投影长度不变，即为2R，
则椭圆的长轴 ，短轴 ，即 ；
故答案为： .
15．/2.5
【分析】由题意得出随机变量的分布列，计算其期望即可.
【详解】由题意可得
若两次摸到两种颜色的球，则；
若三次摸到两种颜色的球，则；
若四次摸到两种颜色的球，则；
故.
故答案为：
16．
【分析】由，得，由已知条件可得函数的图像的对称性和周期性，可作出函数的图像，由题意的图像函数在上的图像相切，联立方程组利用判别式求解.
【详解】，，，
令，则有，
任意，恒有，则函数的图像关于对称，函数是以2为周期的周期函数，
在同一直角坐标系下作出函数与的图像，如图所示，

函数的图像与有4个不同的公共点，由图像可知，的图像函数在上的图像相切，
由，消去得，则，解得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
17．(1)1；
(2)6108.

【分析】（1）由已知求得，然后由等比中项定义求解；
（2）由已知式得出奇数项加2后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因此结合分组求和法、等比数列的前项和公式求解．
【详解】（1）由已知，，
又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；
（2）是奇数时，，，
，而，
所以数列是等比数列，


．
18．(1)证明见解析；
(2)选①或②，都有．

【分析】（1）已知式化为，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式，商数关系变形可证；
（2）选①，由面积得取最大值时，求出，利用二倍角公式，再化为关于的二次齐次式，弦化切代入计算；选②，由正弦定理得出，再代入（1）中结论得，由平方关系求得，然后由二倍角公式计算．
【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，
又，所以，
所以，显然，，所以；
（2）选①，的面积取到最大值，
，
所以时，取得最大值，此时，
由（1），
；
选②，，
由正弦定理得，，
由（1），，所以，，
所以，即，，
．
19．(1)答案见解析；
(2)答案见解析．

【分析】（1）取中点，可证明平面，得平面平面，在平面内的射影就是直线，是与平面所成的角，即，由正弦定理求得，有两个解，在时可证平面，在时，取中点证明平面，然后由棱锥体积公式计算体积；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）取中点，连接，
因为，所以，又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
由已知，，所以，，，
由平面，平面得平面平面，因此在平面内的射影就是直线，
所以是与平面所成的角，即，
，因此，
在中，由正弦定理得，
，为内角，所以或，
，
，
若，则，即，
，平面，所以平面，
；

若，则，，
取中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，而平面，
所以平面，，
所以；

（2）若，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，所以点坐标为，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，即，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，即，
，
所以二面角的余弦值是；

若，以为轴，为轴，过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，，，，
，，所以点坐标为，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，即，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，即，
，
所以二面角的余弦值是．

20．(1)0.75
(2)1.22（万元）
(3)不该增产，理由见解析.

【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算；
（2）先分析 的可取值，再按步骤写出分布列，根据数学期望公式求解；
（3）分析当产品的数量增加n件时的净利润，根据净利润决策.
【详解】（1）设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件 ， ，2件产品至少有1件为一等品事件为 ，
其概率 ；
（2）设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，则 ，
则可取的值为 ，
，
, ，
, ,
其分布列为：

-0.6
0.3
0.5
1.2
1.4
1.6

0.01
0.08
0.1
0.16
0.4
0.25
数学期望 （万元）；
（3）由（2）可知，每件产品的平均利润为 （万元），则增加n件产品，利润增加为万元），
成本也相应提高 （万元），所以净利润 ， ，
设 ，则 ，当 时，，是增函数，
当 时，是减函数 ，在取得最大值，又 ，只能取整数， 或时可能为最大值 ，
  ， ，
即在 取得最大值时也是亏本的，所以不应增加产量；
21．(1)
(2)，或，或，或（写出一条即可）

【分析】(1) 由双曲线的方程求出渐近线方程，再结合题目已知条件即可求出，代入双曲线的方程，即可得到答案.
(2) 先由点的坐标得到，把的坐标代入得到，再结合双曲线的方程，化简得.设直线，与双曲线方程联立，结合，即可化简得到，将韦达定理代入解得，则可知直线恒过定点.把，代入，结合韦达定理化简即可得到，解出，代入直线的方程即可.
【详解】（1）如图，

由题意知双曲线的渐近线方程为即，
所以，所以双曲线的方程.
（2）由(1)得，所以，所以,
设点,即，
由得，所以①
设直线，与双曲线方程联立得：，
因为方程有两个不同的实数根，所以
，
所以由①式代入变形得，
将韦达定理代入消去化简得，即直线恒过定点.
由此可得.
由于图像的对称性，不妨设，
则，
，
所以，
将韦达定理代入后得到，
解得或.
所以，直线方程为，或，
或，或（写出一条即可）
【点睛】难点点睛：求解直线或曲线过定点问题的基本思路：
（1）把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点.
22．(1)
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；
（3）分析出，，对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，可得，结合零点存在定理以及已知条件可得出结论.
【详解】（1）解：当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，.
（2）解：因为，
则，
①当时，恒成立，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
此时函数至多两个零点，不合乎题意；
②当时，由可得或，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
由题意可知，有个不同的零点，则，
又因为，
令，记，
则，其中，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，即，当且仅当时，等号成立，，
故不等式组的解集为.
因为，，
故当时，函数有个不同的零点，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）解：因为，，结合（2）中的结论可知，
①当时，若存在符合题意的实数，则由于，
因此，，，
因此，、、成等差数列可得出，考虑，
即，这等价于，
令，
所以，，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
所以，，故函数单调递增，
因为，，
所以，在上存在唯一零点，记为，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
由于，，，
因此，在上无零点，在上存在唯一的零点，
所以，存在唯一的实数，使得、、成等差数列;
②当时，，不合乎题意.
综上所述，存在唯一的实数使得、、成等差数列.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.