专题03 实数的四种压轴题全攻略-初中数学7年级下册同步压轴题（教师版含解析）

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专题03 实数的四种压轴题全攻略 类型一、利用数轴化简根式例、实数，在数轴上的位置如图所示，则(       )A． B． C． D．【答案】B【详解】解：观察数轴可得，，，∴，，故选B．【变式训练1】实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______．【答案】【详解】解：根据题意得： ，∴ ，∴，∴．故答案为：【变式训练2】如图，点C所表示的数是(　　)A． B．﹣ C．1﹣ D．﹣【答案】C【详解】解：根据勾股定理得：，∴AC＝AB＝，∴点C表示的数是1﹣．故选：C．【变式训练3】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________．【答案】1【详解】解：由数轴可知：，∴；故答案为1．【变式训练4】在数轴上找表示的点：要在数轴上画出表示的点，只要画出长为的线段即可．利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数_____的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝_____，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝_____，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点_____即为表示的点．【答案】    2和3；3；2；C【详解】解：利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数2和3的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．故答案为：2和3；3；2；C．类型二、比较大小与实数估算例．比较大小：﹣2___﹣3(填上＞、＜或＝)．【答案】【详解】解：，，，．故答案为：．【变式训练1】比较大小：____＋1．(填“＞”、“＜”或“＝”)．【答案】＜【详解】解：∵1＜＜2，1＜＜2，∴2＜+1＜3，∴＜+1，故答案为：＜．【变式训练2】比较大小：___．(用“＞”，“＜”或“＝”填空)【答案】>【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：＞．【变式训练3】利用计算器，比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，．【答案】(1)；(2)【详解】解：(1)按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，按键顺序为：“SHIFT”、“”、“11”、“=”，显示结果为：2.22398009，∴＜；(2)按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，∴=0.61803399，∵=0.625，∴．类型三、新定义问题例．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，例如：min{5，3，1}＝1，min{8，5，5}＝5．如果min{4，x2﹣4x，﹣3}＝﹣3，那么x的取值范围是(　　)A．1≤x≤3 B．x≤1或x≥3 C．1＜x＜3 D．x＜1或x＞3【答案】B【详解】解：由题意得4，x24x，3中最小值为3，∴x24x≥3，即x24x+3≥0，解得：x≤1或x≥3，故选：B．【变式训练1】．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为_________，点的“横负纵变点”为________；(2)化简：；(3)已知 为常数，点，且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是_________．【答案】(1)；；(2)；(3)【解析】(1)解：∵， ∴点的“横负纵变点”为； ∵，∴点的“横负纵变点”为；故答案为：；．(2)(3)∵，∴，∴，∴∴，∴∵，∴，故答案为：【变式训练2】老师在学习了本章的内容后设计了如下问题：定义：把形如与，为有理数，且，为正整数，且开方开不尽)的两个数，称为共轭实数．(1)请你列举一对共轭实数：　　．(2)与是共轭实数吗？　　；与是共轭实数吗？　　；(填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？(4)若有理数，满足，求的值．【答案】(1)与；(2)不是，是；(3)共轭实数， 是无理数，见解析(4)【解析】(1)解：与 是一对共轭实数，故答案为：与；(2)解：与 不是共轭实数， 与 是共轭实数，故答案为：不是，是；(3)解：共轭实数， 是无理数，∵a是开方开不尽的数，∴无理数，而是不等于0的有理数，∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数；(4)解：由得，∵a、为有理数，∴为有理数，∴必为有理数方能与相等，而为有理数，∴b-1=0，，∴a+b=4．【变式训练3】材料1：对于正数a，我们规定：，其中表示不大于a的最大整效，b表示a的小数部分，()．例：若，则；；若，则，．材料2：若a与b满足材料1，即，且a与b满足(，且n为正整数)，则称a和b是一对“四慧数”．例：若，，，16是4的倍数，所以4和0是一对“四慧数”；若，，，不能被4整除，所以与不能是一对“四慧数”．根据以上材料计算：(1)6与        是一对“四慧数”，与        是一对“四慧数”；(2)有一对“四慧数”a与b，请计算当时这对“四慧数”a，b的和．【答案】(1)0，；(2)【解析】(1)解：∵62+02=36,36能被4整除，∴6与0是一对“四慧数”；∵()2+()2=8,8能被4整除∴与是一对“四慧数”．故答案是0，．(2)解：当时，∵，∴，∵∴∵，，∴，，∵∴，∵，，∴．类型四、实数综合应用例．(1)表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．【答案】(1)；(2)【详解】解：(1)由数轴知a-1＞0，a-2＜0，b＜0，∴；(2)∵，，∴，，∴．【变式训练1】(1)设5﹣的整数部分为a，小数部分为b求的值．(2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数．【答案】(1)；(2)【详解】解：(1)∵，∴，∴，∴的整数部分为3，即，∴，∴；(2)由数轴上点的位置可知，∴，，∴．【变式训练2】已知某正数的两个不同的平方根分别是2a-17和a+8，b-10的立方根是﹣2，c是的整数部分．(1)求a-b+c的值．(2)求a+ba+3c的平方根．【答案】(1)3；(2)【解析】(1)∵某正数的两个不同的平方根分别是和，∴，解得： ．∵的立方根是，即，∴，解得：；∵c是的整数部分，且，∴．∴．(2)∵，.∴的平方根是．【变式训练3】如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．(1)这个魔方的棱长为　 　cm；(2)图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；(3)把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　　．【答案】解：(1)设魔方的棱长为acm，根据题意得  a3＝64  ∴a＝4       故答案为4．(2)设小正方体的棱长为bcm，根据题意得 8b3＝64  ∴b＝2∴所以根据勾股定理得  CD2＝22+22∴CD＝答：这个正方形的边长是cm．(3)由(2)知，AD＝  ∴点D对应的数的绝对值是-1，∵点D对应的数是负数  ∴点D对应的数是1﹣    故答案为1﹣．课后练习1.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|a－b|－＋()2＋2.【答案】0【解析】解：由图知，a>0，b<0，a－b>0，∴原式＝a－b－a－b＋2b＝0．2．比较大小：_______，________(填“＜”或“＝”或“＞”)【答案】     ＜     ＜【详解】解：∵，∴18＞12，∴＜；-=，∵，∴-<0，故答案为：<，<．3．已知面积为10的正方形的边长为，那么的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由面积为10的正方形的边长为x，得，∴∵9<10<16，∴，故选：C．4．已知的立方根是-3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根．【答案】±4【详解】∵的立方根是-3，∴，∴∵的算术平方根是4，∴，即，∴∵c是的整数部分，且，∴，∴∵，∴的平方根为±45.(1)已知两个连续正整数a、b，，求ab的值．(2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值．(3)已知的小数部分为m，的小数部分为n，求m+n的值．【答案】(1)30；(2)8；(3)1【解析】解：(1)∵a、b是两个连续的正整数，且，又∵，即，∴a=5，b=6，∴；(2)∵a是的整数部分，b是的小数部分，∴a=2，b=，∴；(3)∵，m是的小数部分，n是的小数部分，又∵，，∴，，∴．6.如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．(1)拼成的正方形的边长为　　．(2)如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是　　．(3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．【答案】解：(1)设拼成的正方形的边长为a，则a2＝5，a，即拼成的正方形的边长为，故答案为：；(2)由(1)得点A表示的数为1，故答案为：1；(3)根据图形得：S阴影＝2×2×22×24+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为．7．若一个含根号的式子可以写成的平方(其中a，b，m，n都是整数，x是正整数)，即，则称为完美根式，为的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根．(1)已知是的完美平方根，求a的值．(2)若是的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．(3)已知是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．【答案】(1)；(2)，；(3)或是的完美平方根【详解】(1)∵是的完美平方根，∴，∴．(2)∵是的完美平方根，∴，∴，．(3)∵，∴或是的完美平方根．8．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大算术平方根是6.(1)请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．(2)已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；(2)81【详解】解：(1)证明：∵，，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；(2)分三种情况：①当时，得：(舍去)②当时，，得：(舍去)③当时，．得：综上所述，a的值为81．