专题04 勾股定理应用的四种题型全攻略-初中数学8年级下册同步压轴题（教师版含解析）

专题04 勾股定理应用的四种题型全攻略

类型一、最短距离问题

例．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要(       )

A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm

【变式训练1】如图，有一个棱柱，底面是边长为2.5厘米的正方形，侧面都是长为12厘米的长方形．在棱柱一底面的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃B点的食物，那它需要爬行的最短路程是______厘米．

【变式训练2】如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是__________cm．(取3)

【变式训练3】如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是______m．

类型二、水杯中的筷子问题

例．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

【变式训练1】如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则吸管露出杯口外的长度至少为(        )cm

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式训练2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是(　　)尺

A．8 B．10 C．13 D．12

【变式训练3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为(　　)

A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米

类型三、网格问题

例．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为(　　)

A． B．2 C． D．3

【变式训练1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．

【变式训练2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．

【变式训练3】如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC是格点三角形，点D为AC的中点，则线段BD的长为 _____．

类型四、勾股弦图问题

例．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．

其中说法正确的是(　　　)

A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④

【变式训练1】如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则阴影部分的面积是(       )

A．169 B．25 C．49 D．64

【变式训练2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是(       )

A．20 B．27 C．25 D．49

【变式训练3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图①)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：

(1)大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________；

(2)四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为_______________；

(3)如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是_________________；

(4)如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案(阴影部分)的面积和为_______________．

课后训练

1．已知圆柱形茶杯的高为12厘米，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在杯子口外的长度是x厘米，则x的取值范围是(       )厘米．

A．无法确定 B． C． D．

2．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是______m．

3．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(尺)，将它往前推进两步(尺)，此时踏板升高离地五尺(尺)，则秋千绳索(OA或OB)的长度为______尺．

4.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是______尺．

5．如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．

6．将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 _____．

7．如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是多少？

8．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少?

9．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A、B､E都在网格的格点上，求∠ABE的度数．

10．(1)阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

(2)问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．