压轴题秘籍01 反比例函数的综合-备战2023年中考数学抢分秘籍（全国通用）

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反比例函数的综合 题型解读：反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：①求反比例函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题型的考查热度.题型1：反比例函数与一次函数交点问题解题模板：技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：1.（2022秋•西安期末）如图，已知反比例函数y＝﹣与直线y＝﹣2x+2交于A（﹣1，4），B两点．（1）求点B的坐标；（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+2＜﹣的解集．    【变式1-1】（2022•贵阳）一次函数y＝﹣x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣4，m），B（n，﹣4）两点．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．     【变式1-2】（2022秋•绥宁县期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝﹣，的图象都经过点A（3，m）、B（n，﹣3）．（1）求一次函数的表达式；（2）不等式kx+b≥﹣的解集是？    题型2：反比例函数与一次函数图像面积问题解题模板：2.（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．      【变式2-1】（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．     【变式2-2】（2022•鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．（1）根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集；（2）求反比例函数与一次函数的解析式；（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标． 题型3：反比例函数与几何图形结合解题模板：3.（遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．        【变式3-1】（成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．    【变式3-2】（菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为　（，0）　．   一、解答题1．已知函数与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，，求与的函数关系式.       2．（2021九上·吉林期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．     3．（2022·钦州模拟）如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积. 4．（2022九上·莲湖期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，正比例函数图象经过第一、三象限，求k的整数值．       5．（2021九上·秦都期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，求正整数m的值.      二、综合题6．（2022·内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标. 7．（2022·信阳模拟）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点 A，B，以线段 AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB=2（1）求直线 AB的解析式；（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=，说明理由.    8．（2022·广东模拟）如图，直线AB与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，已知A（1，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）直线AB交x轴于点C，连接OA，当△AOC的面积为6时，求直线AB的解析式，     9．（2022·牡丹江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线的解析式为，线段的长是一元二次方程的两个根，且．（1）求点A、点B的坐标；（2）若直线l过点A交线段于点D，且，求经过点D的反比例函数的解析式；（3）平面内满足以A、C、P为顶点的三角形与相似的点P有个．并直接写出满足条件的第一象限内两个点P的坐标．
10．（2022八下·洛江期末）已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．