模拟卷04——备考2023中职高考数学冲刺模拟卷（江苏适用）

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江苏省2023年中职职教高考文化统考仿真模拟（4）
数学试卷

一．选择题（共10小题）
1．如果集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}中只有一个元素，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定
【分析】根据集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}中只有一个元素，分类讨论方程根的情况即可解决．
【解答】解：∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}中只有一个元素，
∴方程ax2+2x+1＝0只有一个根，
当a＝0时，x=-12，此时一元一次方程只有一个根；
当a≠0时，Δ＝22﹣4a＝0，即a＝1，此时一元二次方程只有一个根；
∴a的值是0或1．
故选：C．
【点评】本题考查集合的表示以及方程根的情况，难度不大．
2．已知三维数组a→=（2，﹣1，0），b→=（1，k，7），且a→•b→=0，则实数k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣9 C．27 D．2
【分析】由空间向量的数量积运算即可求解．
【解答】解：依题意，2×1+（﹣1）×k+0×7＝0，解得k＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
3．已知复数z=1-3i3+i，z是z的共轭复数，则z的模等于（　　）
A．4 B．2 C．1 D．14
【分析】先根据z=1-3i3+i求解得到z＝﹣i，再根据共轭复数的定义求解z，再求解其模即可。
【解答】解：∵复数z=1-3i3+i=(1-3i)(3-i)(3+i)(3-i)，
∴z=-4i4=-i，
∵z＝﹣i，
∴z的共轭复数数z=i，
∵z=i，
∴|z|＝1，
故选：C。
【点评】本题考查复数的计算和共轭复数的求解，解题的关键在求解复数z，为基础题。
4．某项工程的横道图如图：

若开工后第7天去检查工程，根据横道图显示，该工程应处于的工序是（　　）
A．A B．D C．E、F D．E
【分析】根据横道图找到第7天的工期，看是哪个工序。
【解答】解：根据横道图，找到第7天的工期，只有D在。
故选：B。
【点评】本题考查工程的横道图，难度简单。
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（　　）

A．22 B．32 C．52 D．72
【分析】易知∠BAE即为所求角，设正方体的棱长为2，求得CE，再在Rt△ABE中求其正切值即可.
【解答】解：易知CD∥AB，则异面直线AE与CD所成角即为AE与AB所成角，即∠BAE，
不妨设正方体的棱长为2，则CE=BC2+CE2=22+12=5，
则在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAB=52.
故选：C。
【点评】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题.
6．若函数f(x)=2sin(2x+π4)在区间(π8，θ)内存在最小值﹣2，则θ的值可以是（　　）
A．π4 B．3π8 C．5π8 D．7π8
【分析】因为当2x+π4=-π2+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值，因此当x=-3π8+kπ，k∈Z时，f（x）取最小值，因此θ＞x=-3π8+kπ＞π8，k∈Z，因此k＝1，θ＞5π8。
【解答】解：当2x+π4=-π2+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值，
∴x=-3π8+kπ，k∈Z，
当k＝1时，x=5π8，
∴θ＞5π8，
故选：D。
【点评】本题主要考查正弦函数的基本性质和最值求解，解题的关键在于当2x+π4=-π2+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值，为基础题。
7．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线M、N两点，且M、N两点的横坐标之和为6，则|MN|＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据抛物线的定义即可求解．
【解答】解：设M、N的横坐标分别为m、n，
∵抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线x＝﹣1，
∴|MN|＝|MF|+|NF|＝m+1+n+1＝m+n+2＝6+2＝8．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质以及定义，难度不大．
8．某医院内科有11名医生，其中男医生6名，现需选3名医生组成一个医疗队，则医疗队中至少有一名男医生的选法种数为（　　）
A．41 B．155 C．165 D．185
【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式求解即可。
【解答】解：某医院内科有11名医生，其中男医生6名，现需选3名医生组成一个医疗队，则医疗队中至少有一名男医生的选法种数为C61×C52+C62×C51+C63=60+75+20＝155种，
故选：B。
【点评】本题主要考查排列组合的实际应用，解题的关键在于掌握排列组合的计算公式，为基础题。
9．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f（a）+f（b﹣4）＝0，则1a+1+4b的最小值是（　　）
A．23 B．15 C．95 D．4
【分析】先根据奇函数以及f（a）+f（b﹣4）＝0，求出a，b之间的关系，再根据基本不等式进行求解最小值．
【解答】解：∵f（a）+f（b﹣4）＝0，
∴f（a）＝﹣f（b﹣4），
∵奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，
∴f（a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b），
∴a＝4﹣b，
∴a+b＝4，
∴1a+1+4b=15[(a+1)+b](1a+1+4b)=15[5+ba+1+4(a+1)b]≥15[5+2ba+1⋅4(a+1)b]=95，
当且仅当，ba+1=4(a+1)b且a+b＝4时，等号成立，
∴1a+1+4b的最小值是95．
故选：C．
【点评】本题考查奇函数以及基本不等式，难度中等．
10．已知直线kx﹣y+3﹣3k＝0与曲线y=2+-x2+2x+3有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A．(-34，+∞) B．(-34，14]
C．[14，+∞) D．(-∞，-34)∪[0，14]
【分析】先根据曲线的方程求解得到曲线y=2+-x2+2x+3是以（1，2）为圆心，半径为2的圆的上半部分，再根据直线的方程y﹣3＝k（x﹣3）可得直线过定点（3，3），再求解直线与圆相切时直线的斜率以及直线与半圆有两个交点时的临界k值区间即可。
【解答】解：∵曲线y=2+-x2+2x+3≥2，
∴（y﹣2）2＝﹣x2+2x+3，y≥2，
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，（y≥2），
∴曲线y=2+-x2+2x+3是以（1，2）为圆心，半径为2的圆的上半部分，
直线kx﹣y+3﹣3k＝0即可y﹣3＝k（x﹣3），
∴直线恒过点（3，3），
当圆与直线相切时，圆心到直线的距离d＝r，
圆心到直线的距离d=|k-2+3-3k|12+k2，圆的半径为2，
∴2=|k-2+3-3k|12+k2，
∴1+4k2﹣4k＝4k2+4，
∴k=-34，
此时直线与圆交于上半部分，
∴当k＞-34时，直线与曲线有两个交点，
∵曲线为圆的上半部分，
∴直线交于半圆的左端点（﹣1，2）为临界点，
∵直线过点（﹣1，2），
∴2﹣3＝k（﹣1﹣3），
∴k=14，
∴k≤14，
综上，-34＜k≤14，
故选：B。
【点评】本题主要考查半圆与直线相交的问题，解题的关键在于找到直线与半圆相交的临界点（相切），为中等题。
二．填空题（共5小题）
11．如图所示的流程框图中，当输入x为3时，则输出的y值为 　2　。

【分析】根据框图，代入x＝3直接计算即可.
【解答】解：根据框图，当x＝3时，由于3＞2，则y＝2×3﹣4＝2，故输出的y为2.
故答案为：2.
【点评】本题考查的知识点是程序框图，属于基础题.
12．某项工作的工作明细表如表，则完成该工程的最短总工期为 　29　天.
工作代码
工期（天）
紧前工作
A
12
无
B
5
无
C
7
无
D
13
C
E
9
A、B
F
4
E、D
G
2
E、D
H
4
F、G
【分析】结合表格所给数据分析好可以合并的工序，利用优选法去掉重复的工序及用时较多的工序，然后再求解即可。
【解答】解：由题意可知，紧前任务完成后才能做这个任务，
故A，B，C三个工作全部同时开工，
则A在第12天完工，B在第5天的时候完工，C在第7天的时候完工，
∴D＝13+C＝13+7＝20，D在第20天完工，
∵E在A，B完工后才能开工，
∴E＝9+A＝9+12＝21，E在第21天完工，
∵F在D，E完工后才能开工，
∴F＝4+21＝25，F在第25天完工，
∵G在D，E完工后才开工，
∴G＝2+21＝23，G在第23天完工，
∵H在F，G完工后才开工，
∴H＝4+25＝29，H在第29天完工，
故答案为：29。
【点评】本题主要考查工序流程图的应用，解题时应用优选法、读懂图表，把问题转化为工序流程图。
13．函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像向左平移1个单位后所得新函数的图象恒过定点 　（0，2）　。
【分析】先求出平移后的函数解析式，由此可得定点坐标.
【解答】解：函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像向左平移1个单位后得到y＝ax+1，
则其恒过定点（0，2）.
故答案为：（0，2）.
【点评】本题考查函数的平移以及指数函数的定点坐标，考查运算求解能力，属于基础题.
14．已知数列{an}满足a1＝0，an+1=an-33an+1，则其前2022项的和S2022＝　0　。
【分析】求出数列的前几项，观察可知数列{an}是以3为周期的周期数列，由此可求得S2022.
【解答】解：当n＝1时，a2=a1-33a1+1=-3；
当n＝2时，a3=a2-33a2+1=-23-3+1=3；
当n＝3时，a4=a3-33a3+1=0；
∴数列{an}是以3为周期的周期数列，
∴S2022＝a1+a2+a3+……+a2020+a2021+a2022=20223×(0-3+3)=0.
故答案为：0.
【点评】本题考查周期数列的运用，属于基础题.
15．已知函数f(x)=|x|，x≤mx2-2mx+4m，x＞m，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的实根，则m的取值范围是 　（3，+∞）　．
【分析】先分别求解分段函数的解析式及值域，再根据关于x的方程f（x）＝b有三个不同的实根建立不等式求解即可。
【解答】解：∵函数f(x)=|x|，x≤mx2-2mx+4m，x＞m，
∴当x≤0时，f（x）＝﹣x，f（x）为单调递减函数，
∴f（x）的值域为[0，+∞），
当0＜x≤m时，f（x）＝x，f（x）为单调递增函数，
∴f（x）的值域为（0，m]，
当x＞m时，f（x）＝x2﹣2mx+4m，f（x）的对称轴为x＝m，
∴f（x）在（m，+∞）上单调递增，
∴f（m）＝﹣m2+4m，
∴f（x）的值域为（﹣m2+4m，+∞），
∴f（x）＝b有三个不同的实根，
∴﹣m2+4m＜m，
∴m＜0或m＞3，
∴m＞3，
故答案为：（3，+∞）。
【点评】本题主要考查分段函数的零点个数和方程根的关系，解题的关键在于求解分段函数各段的值域，为中等题。
三．解答题（共8小题）
16．记关于x的不等式x-ax+1＜0的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若a＞0，且Q⊆P，求实数a的取值范围．
【分析】（1）将a＝3代入，转化为一元二次不等式求解即可；
（2）先解绝对值不等式得到Q，再由Q⊆P容易得解.
【解答】解：（1）当a＝3时，原不等式等价于（x﹣3）（x+1）＜0，
解集为P＝{x|﹣1＜x＜3}；
（2）由a＞0，解得：P＝{x|﹣1＜x＜a}，
解不等式|x﹣1|≤1，得：Q＝{x|0≤x≤2}，
由条件Q⊆P，得a＞2，
所以a的取值范围是（2，+∞）.
【点评】本题考查分式不等式和绝对值不等式的解法，考查集合思想及运算求解能力，属于基础题.
17．已知函数f（x）＝x2+2ax+3，求：
（1）如果函数图像恒在x轴上方，求a的取值范围；
（2）如果函数在区间（4，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
【分析】（1）根据函数f（x）＝x2+2ax+3图像恒在x轴上方得到Δ＝4a²﹣12＜0即可求解；
（2）先根据函数f（x）＝x2+2ax+3的对称轴为x＝﹣a，函数的二次项系数为正求得函数在区间（﹣a，+∞）上是增函数，再根据函数在区间（4，+∞）上是增函数求解即可。
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2+2ax+3图像恒在x轴上方，
∴Δ＝4a²﹣12＜0，
∴a²＜3，
∴-3＜a＜3，
∴a的取值范围为（-3，3）；
（2）∵函数f（x）＝x2+2ax+3的对称轴为x＝﹣a，函数的二次项系数为正，
∴函数在区间（﹣a，+∞）上是增函数，
∵函数在区间（4，+∞）上是增函数，
∴4≥﹣a，
∴a≤﹣4，
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]。
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题以及二次函数的基本性质，解题的关键在于掌握二次函数的基本性质以及对称轴的求解，为基础题。
18．已知m→=(sinx，3cosx)，n→=(sinx，sinx)，f（x）=m→⋅n→+32.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）设a，b，c分别是△ABC中角A、B、C的对边，a=23，c=22，若f（A）为函数f（x）在[0，π2]上的最大值，求角A及△ABC的面积.
【分析】（1）化简函数f(x)=sin(2x-π6)+2，由此容易得到最小正周期，再令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ，k∈Z，可得单调增区间；
（2）由正弦函数的性质结合题意可得A=π3，再由正弦定理可得sinC，由余弦定理可得b的值，进而得到三角形的面积.
【解答】解：（1）f(x)=sin2x+3sinxcosx+32=12-12cos2x+32sin2x+32=sin(2x-π6)+2，
∴f（x）的最小正周期为2π2=π，
令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[0，π2]时，(2x-π6)∈[-π6，5π6]，则f(x)=sin(2x-π6)+2≤3，当且仅当2x-π6=π2，即x=π3时取等号，
依题意，A=π3，
又a=23，c=22，由正弦定理可得，2332=22sinC，解得sinC=22，
由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即12=b2+8-2b×22×12，解得b=2+6，
∴S△ABC=12bcsinA=12×(2+6)×22×32=3+3.
【点评】本题考查数量积公式的运用以及三角恒等变换，三角函数的图象及性质，考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，属于中档题.
19．已知正方形OABC（如图）的边长为4.
（1）在其四边或内部任取一点P（x，y），若x，y均为整数，求3≤|OP|≤4的概率；
（2）在其四边或内部任取一点P（x，y），求点P恰好落在不等式组y≥x，(x-2)2+y2≤4所表示的平面区域内部的概率.

【分析】（1）先绘制出3≤|OP|≤4的可行域，再根据x，y均为整数求解即可；
（2）先绘制出P点的可行域与正方形OABC围成的新的可行域，再求解其面积占总面积的比例即可。
【解答】解：（1）若在其四边或内部任取一点P（x，y），3≤|OP|≤4的可行域如图所示，

∵x，y均为整数，
∴P点共有5×5＝25种可能，
其中满足要求的点有（0，3），（0，4），（1，3），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0）共8个点，
∴P=825；
（2）P点的可行域如图所示，

∴S阴影=14×π×22-12×2×2＝π﹣2，
∴P=S阴影S总=π-242=π-216。
【点评】本题主要考查基础的几何概型，解题的关键在于求解可行域，为基础题。
20．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造1kg甲产品需用煤8t、电力4kW•h、劳力（按工作日计算）3个；制造1kg乙产品需用煤4t、电力5kW•h、劳力（按工作日计算）10个.又已知制成1kg甲产品获利7万元，制成1kg乙产品获利10万元.现在此工厂有煤320t、电力200kW•h、劳力300个，在这种条件下，应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济利益？最大经济利益是多少？
【分析】设应生产甲产品x千克、乙产品y千克，根据题意列出不等式组及目标函数，作出可行域，结合图象即可得解.
【解答】解：设应生产甲产品x千克、乙产品y千克，总获利为z万元，则z＝7x+10y，（1分）
则依题意x，y应满足8x+4y≤3204x+5y≤2003x+10y≤300x≥0y≥0，（4分）
作出可行域如下图所示，
（7分）
让直线z＝7x+10y，即y=-710x+z10平移，分析知当直线经过点P时，z取得最大值.
由方程组4x+5y=2003x+10y=300得点P坐标为（20，24），
5zmax（9分）
答：应生产甲产品20千克、乙产品24千克，总获利最大为380万元.（10分）
【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题.
21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且an+1＝2Sn+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）先根据an+1＝2Sn+1得出an＝2Sn﹣1+1，再根据an+1﹣an＝（2Sn+1）﹣（2Sn﹣1+1）＝2an求出an+1＝3an，再将a1＝1代入即可求解数列的通项公式；
（2）分别求解数列{an}和{2n﹣1}的前n项和再求和即可。
【解答】解：（1）∵an+1＝2Sn+1，n∈N+，a1＝1，
∴当n＝2时，a2＝2S1+1＝3，
∵an+1＝2Sn+1，
∴an＝2Sn﹣1+1，当n≥2时，an+1﹣an＝（2Sn+1）﹣（2Sn﹣1+1）＝2an，
∴an+1＝3an，
∴an+1an=3.
∴数列{an}是以3为公比的等比数列，
∴an=a2⋅qn-2=3×3n-2=3n-1，n∈N+，
当n＝1时，a1＝1满足an=3n-1，
∴数列{an}的通项公式为an=3n-1，n∈N+，
（2）bn=an+2n-1=3n-1+2n-1，n∈N+，
∴Tn=(1+3+32+⋯+3n-1)+(1+3+5+⋯+2n-1)=1×(1-3n)1-3+(1+2n-1)×n2=3n+2n2-12，n∈N+。
【点评】本题主要考查等比数列通项公式的求解，解题的关键在于利用递推公式求解数列的公比，为中等题。
22．我市有一种可食用的食品，上市时，外商王经理按市场价格20元/千克收购了这种食品1000千克放入冷库中，据预测，该食品市场价格将以每天每千克1元上涨；但冷冻存放这些食品时每天需支出各种费用合计310元，而且这类食品在冷库中最多保存160天，同时每天有3千克的食品损坏不能出售．
（1）设x天后每千克该食品的市场价格为y元，试写出y与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将这批食品一次性出售，设这批食品的销售总额为P元，试写出P与x的函数关系式；
（3）王经理将这批食品存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额﹣收购成本﹣各种费用）
【分析】（1）根据题意直接写出y与x的关系即可得到答案；
（2）根据题意直接写出P与x的关系即可；
（3）表示出W，再由二次函数的性质即可得到答案.
【解答】解：（1）由题意得：y＝x+20，（1≤x≤160，x∈Z）；………………（3分）
（2）由题意得：P＝（x+20）（1000﹣3x）＝﹣3x2+940x+20000，（1≤x≤160，x∈Z）；………………（6分）
（3）由题意得：W＝（﹣3x2+940x+20000）﹣20×1000﹣310x＝﹣3（x﹣105）2+33075
当x＝105时，Wmax＝33075，
存放105天出售可获得最大利润，为33075元.………………（10分）
【点评】本题考查函数的实际运用举例，考查运算求解能力，属于基础题.
23．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为55，直线l：y=x+22与以原点O为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A（0，﹣3）作斜率为k的直线m交椭圆C于不同的两点M、N，
①若以MN为直径的圆过原点O，求斜率k的值；
②若点B为椭圆C的下顶点，直线MB、NB交y＝﹣3于点D、E，当|AD|+|AE|＜15时，求斜率k的取值范围．
【分析】解：（1）由于椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，解得b，又e=ca=1-b2a2=55，解得a，由c2＝a2﹣b2，解得c，即可得出答案.
（2）①由题意可知，直线l的方程为y＝kx﹣3，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，由判别式Δ＞0，解得|k|的范围，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，y1y2，y1+y2，由以MN为直径的圆过原点O，可得OM→•ON→=0，解得k.
②写出直线MB的方程，即可得D，E的坐标，再计算|AD|+|AE|＜15，即可得出答案.
【解答】解：（1）根据题意可得b=|0-0-22|12+12=2，
又e=ca=1-b2a2=55，
所以a=5，c2＝a2﹣b2＝1，
所以椭圆C的方程为：x25+y24=1.
（2）①由题意可知，直线l的方程为y＝kx﹣3，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立y=kx-3x25+y24=1，得（4+5k2）x2﹣30kx+25＝0，
则Δ＝（﹣30k）2﹣4×25（4+5k2）＞0，解得|k|＞1，
所以x1+x2=30k4+5k2，x1x2=254+5k2，
y1y2＝（kx1﹣3）（kx2﹣3）＝k2x1x2﹣3k（x1+x2）+9=-20k2+364+5k2，
y1+y2＝（kx1﹣3）+（kx2﹣3）＝k2x1x2﹣3k（x1+x2）﹣6=-244+5k2，
由以MN为直径的圆过原点O，
所以OM→•ON→=x1x2+y1y2=254+5k2+-20k2+364+5k2=0，
所以25﹣20k2+36＝0，即k2=6120，
所以直线m的斜率k＝±30510.
②由B（0，﹣2），可得直线MB的方程为y=y1+2x1x﹣2，
所以D（-x1y1+2，﹣3），E（-x2y2+2，﹣3），
因为x1，x2同号，y1+2＞0，y2+2＞0，
所以D，E在y轴同侧，
所以|AD|+|AE|＝|x1y1+2|+|x2y2+2|＝|x1y1+2+x2y2+2|＝|x1kx1-1+x2kx2-1|
＝|x1(kx2-1)+x2(kx1-1)(kx1-1)(kx2-1)|＝|2kx1x2-(x1+x2)k2x1x2-k(x1+x2)+1|＝|50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1|＝5|k|，
所以5|k|＜15，
所以|k|＜3，
所以﹣3＜k＜3，
所以k的取值范围为（﹣3，﹣1）∪（1，3）.
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.
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