模拟卷05——备考2023中职高考数学冲刺模拟卷（江苏适用）

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江苏省2023年中职职教高考文化统考仿真模拟（5）
数学试卷

一．选择题（共10小题）
1．下列集合中只有1个元素的是（　　）
A．{x|x2＝1} B．{0，1} C．{x|x2＝﹣1} D．{x|x+2＝1}
【分析】根据A、C、D中的集合的解集即可求解．
【解答】解：∵{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，{x|x2＝﹣1}＝∅，{x|x+2＝1}＝{﹣1}，
∴A、B中有两个元素；C中没有元素；D中只有一个元素．
故选：D．
【点评】本题考查元素与集合的关系、一元一次方程的解法以及一元二次方程的解法，难度不大．
2．已知数组a→=(3，-1，2)，数组a→+2b→=(7，-5，4)，则数组b→=（　　）
A．（17，﹣11，10） B．（2，﹣2，1）
C．（2，2，1） D．（2，﹣2，﹣1）
【分析】根据数组的运算法则得出方程组3+2x=7-1+2y=-52+2z=4，解方程组即可。
【解答】解：设数组b→=（x，y，z），
∵数组a→=(3，-1，2)，数组a→+2b→=(7，-5，4)，
∴3+2x=7-1+2y=-52+2z=4，
∴x=2y=-2z=1，
∴数组b→=（2，﹣2，1），
故选：B。
【点评】本题主要考查数组的运算，熟练掌握数组的加法、减法、乘法、数乘的运算法则是解答此题的关键。
3．已知a+bi（a，b∈R）是(1+i)2+21+i的共轭复数，则2a+b＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【分析】根据复数运算求解(1+i)2+21+i，再求共轭复数，就可以求出a，b．
【解答】解：∵21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=2-2i2=1-i，（1+i）2＝1+2i﹣1＝2i，
∴(1+i)2+21+i=2i+1﹣i＝1+i，
∵a+bi（a，b∈R）是(1+i)2+21+i的共轭复数，
∴a＝1，b＝﹣1，
∴2a+b＝2﹣1＝1．
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算以及共轭复数的定义，难度不大．
4．在k进制中，十进制数119记为315（k），则k等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据十进制与其他进制的转换规律直接求解即可。
【解答】解：∵十进制数119记为315（k），
∴3k2+k+5＝119，即3k2+k﹣114＝0，
解得k＝6或k=-193（舍去），
∴k＝6，
故选：C。
【点评】本题主要考查算法，熟练掌握十进制与其他进制的转换规律是解答此题的关键。
5．一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有（　　）
A．84种 B．48种 C．C84种 D．A84种
【分析】根据8股岔道选4股岔道排列即可求解．
【解答】解：一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，不同的停放方法共有A84种．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的应用，难度不大．
6．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦点为F1和F2，经过左焦点F1的直线分别交双曲线C的左、右两支于A，B两点。若|BF1|＝4|AF1|，且∠ABF2＝90°，则双曲线C的离心率为（　　）
A．5 B．293 C．214 D．375
【分析】令|AF1|＝t，则|AB|＝3t，|AF2|＝2a+t，|BF1|＝4t，|BF2|＝4t﹣2a，在Rt△ABF2和Rt△F1BF2中，分别利用勾股定理可将a，c用t表示，进而得到离心率.
【解答】解：设|AF1|＝t，则|AB|＝3t，|AF2|＝2a+t，|BF1|＝4t，|BF2|＝4t﹣2a，
又∠ABF2＝90°，则在Rt△ABF2中，由勾股定理有，（3t）2+（4t﹣2a）2＝（2a+t）2，解得a=65t，
在Rt△F1BF2中，由勾股定理有，(2c)2=(4t)2+(8t5)2，解得c=2295t，
∴e=ca=293.
故选：B。
【点评】本题考查双曲线的定义及其性质的运用，考查运算求解能力，属于中档题.
7．如图所示，一个圆锥形杯子的高度为8cm，将一个球形的冰淇淋放放该杯.已知球形冰淇淋的直径与圆锥形杯子的底面直径相同，冰淇淋融化后刚好装满圆锥形杯子，那么圆锥形杯子的底面直径是（　　）

A．2cm B．4cm C．3cm D．6cm
【分析】根据题意可得圆锥的体积与球的体积相等，由此可建立方程得解.
【解答】解：设圆锥的底面半径为R，
因为球形冰淇淋的直径与圆锥形杯子的底面直径相同，冰淇淋融化后刚好装满圆锥形杯子，
所以圆锥的体积与球的体积相等，即13πR2×8=4π3R3，解得R＝2，
所以圆锥形杯子的底面直径是4cm.
故选：B。
【点评】本题考查圆锥和球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
8．某程序框图如图所示，若输出的S＝120，则判断框内为（　　）

A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前 1 1
第一圈 2 4 是
第二圈 3 11 是
第三圈 4 26 是
第四圈 5 57 是
第五圈 6 120 否
故退出循环的条件应为k＞5？
故选：B．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
9．如图，图中曲线是函数y＝Asin（ωx+φ）图象的一部分，下列各项不正确的是（　　）

A．最大值为3
B．一条对称轴是直线x=π12
C．最小正周期为2π
D．一个单调递减区间为[π12，7π12]
【分析】结合图象可得函数f（x）的最值，最小正周期，对称轴，单调递减区间.
【解答】解：由图象可得函数f（x）的最大值为3，故A正确；
由图象可得函数f（x）的最小正周期T=5π6-(-π6)=π，故C错误；
由图象可得函数f（x）的对称轴为x=-π6+T4=-π6+π4=π12，故B正确；
由函数图象可得f（x）的单调递减区间为[π12，π12+T2]，即[π12，7π12]，故D正确，
故选：C。
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于基础题.
10．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）＝f（x）+f（y），若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f（Sn+2）﹣f（an）＝f（3）（n∈N*），则an为（　　）
A．2n﹣1 B．n C．2n﹣1 D．（32）n﹣1
【分析】由题意，f（Sn+2）＝f（an）+f（3）＝f（3an），再由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数可得Sn+2＝3an，从而求数列的通项公式．
【解答】解：∵f（Sn+2）﹣f（an）＝f（3），
∴f（Sn+2）＝f（an）+f（3）＝f（3an），
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴Sn+2＝3an，
①当n＝1时，a1+2＝3a1，故a1＝1，
②当n≥2时，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝3an﹣2﹣（3an﹣1﹣2）＝3an﹣3an﹣1，
故an=32an﹣1，
故an＝（32）n﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了抽象函数的应用，同时考查了数列通项公式的求法，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
11．某项工程网络图如图所示（单位：天），若该工程的最短总工期为10天，则E工序最多所需工时为 　3　天.
【分析】根据图中数据作答。
【解答】解：路径：A→B→D→F→G，1+3+3+3+0＝10；
A→B→D→E，1+3+3+X≤10，X≤3。
故答案为：3.
【点评】本题考查关键路径和最短总工期，难度简单。
12．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点（﹣2，y）且tan（π﹣α）＝2，则sinα＝　255　．
【分析】根据已知已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：∵tan（π﹣α）＝2，
∴tanα＝﹣2，
∵角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点（﹣2，y），
∴α为第二象限角，
∵sin2α+cos2α＝1 且sinαcosα=-2，
∴sinα=255．
故答案为：255．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查转化能力，属于基础题．
13．各项不为零的等差数列{an}中，2a3-a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝　16　．
【分析】根据2a3-a72+2a11=0可求出a7，再根据数列{bn}是等比数列，且b7＝a7以及等比数列的性质即可求解．
【解答】解：∵2a3-a72+2a11=0，
∴4a7-a72=0，
∴a7＝4或a7＝0（舍去），
∴b7＝a7＝4，
∴b6b8=b72=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查等差数列的性质以及等比数列的性质，难度不大．
14．已知抛物线方程为y2＝4x，直线1：x+y+2=0，抛物线上一动点P到直线1的距离的最小值为 　2-22　．
【分析】易知，平移直线l与抛物线相切，则切线与直线l的距离即为所求最小值，利用平行关系设出切线方程，利用Δ＝0，求得切线，进而得解.
【解答】解：设与直线1：x+y+2=0平行的直线为x+y+m＝0（m≠±2），
联立x+y+m=0y2=4x，消去x并整理可得，y2+4y+4m＝0，
令Δ＝16﹣16m2＝0，解得m＝±1，
则P到直线1的距离的最小值即为直线x+y+2=0与直线x+y+1＝0的距离，即|2-1|1+1=2-22.
故答案为：2-22.
【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.
15．函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x）（x∈i），且在区间（﹣2，2]上，f(x)=cosπx2，0＜x≤2，|x+12|，-2＜x≤0，则f（f（15））的值为 　22　．
【分析】先根据f（x+2）＝﹣f（x）求出函数的周期为4，从而得到f（15）＝f（﹣1），求出f（﹣1）＝|﹣1+12|=12再求解f（12）即可。
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+2+2）＝﹣f（x+2），即f（x+4）＝﹣f（x+2），
∴f（x）＝f（x+4），∴函数f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（15）＝f（﹣1+4×4）＝f（﹣1），
则由f(x)=cosπx2，0＜x≤2，|x+12|，-2＜x≤0，可知，f（﹣1）＝|﹣1+12|=12，
∴f（f（15））＝f（12）＝cos（π2×12）＝cosπ4=22，
故答案为：22。
【点评】本题考查了函数的周期性，考查了分段函数的值，特殊角的三角函数值，属于中档题。
三．解答题（共8小题）
16．已知二次函数y＝f（x）的图象过点（4，2），（0，2），且函数的最大值为4。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≥﹣4。
【分析】（1）先根据二次函数y＝f（x）的图象过点（4，2），（0，2），且函数的最大值为4得到函数的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，4），再根据函数经过（0，2）即可求解函数解析式；
（2）将f（x）=-12x2+2x+2代入求解不等式即可。
【解答】解：（1）∵二次函数y＝f（x）的图象过点（4，2），（0，2），且函数的最大值为4，
∴函数的对称轴为x=4+02=2，
设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x﹣2）2+4，
∵函数y＝f（x）的图象过点（4，2），（0，2），
∴2＝4a+4，
∴a=-12，
∴f（x）=-12x2+2x+2；
（2）∵f（x）≥﹣4，
∴-12x2+2x+2≥﹣4，
∴﹣x2+4x+4≥﹣8，
∴﹣（x﹣6）（x+2）≥0，
∴﹣2≤x≤6，
∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤6}。
【点评】本题主要考查二次函数解析式的求解和不等式方程的求解，解题的关键在于求解函数的对称轴，为中等题。
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象过点（4，﹣8），当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝x2+mx．
（1）求m的值；
（2）求x∈（0，4]时，函数f（x）的解析式；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣1]上是单调函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据函数解析式和奇函数代入求值；
（2）根据奇函数的定义求函数解析式；
（3）根据函数单调性求a的取值范围。
【解答】解：（1）f（4）＝﹣8，∴f（﹣4）＝﹣8，∴f（﹣4）＝16﹣4m＝﹣8，m＝6；
（2）当x∈（0，4]时，﹣x∈[﹣4，0），f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣6x）＝﹣x2+6x；
（3）∵f（x）在[﹣4，﹣3]，[3，4]是减函数，在[﹣3，3]是增函数。
∴﹣1＜a﹣1≤3，0＜a≤4，a的取值范围是（0，4]。
【点评】本题考查函数的解析式和性质，掌握奇函数的性质是答题的关键，难度简单。
18．求下列各题的概率：
（1）已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：2x+by+3＝0，求直线l1∥l2的概率；
（2）记函数f(x)=4-3x-x2的定义域为D，若在[﹣5，3]上随机取一个数x，求x∈D的概率．
【分析】（1）利用两直线平行时斜率相等建立等式求解即可；
（2）先求解出D的范围，再求解出[﹣5，3]与D的重合部分，再列式计算即可。
【解答】解：（1）k1＝﹣a，k2=-2b，
∵直线l1∥l2，
∴﹣a=-2b，
∴2＝ab，
当a＝1，b＝2或a＝2，b＝1时2＝ab，
∴P=26×6=118；
（2）∵f（x）有意义，
∴4﹣3x﹣x2≥0，
∴﹣4≤x≤1，
∴D∈[﹣4，1]，
∵x∈[﹣5，3]，
∴P（x∈D）=1-(-4)3-(-5)=58。
【点评】本题主要考查线线平行的判定以及古典概型概率的计算，解题的关键在于掌握线线平行的判定定理，为中等题。
19．已知函数f(x)=12+3sinxcosx-cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若a，b，c为△ABC内角A，B，C的对边，且f(A)=1，c=4，S△ABC=23，求a，b的值．
【分析】（1）化简可得f（x）=sin(2x-π6)，进而得到周期；
（2）由f（A）＝1，容易求得A，再结合三角形的面积可求得b，最后由余弦定理求得a.
【解答】解：（1）f(x)=12+3sinxcosx-cos2x=12+32sin2x-1+cos2x2=32sin2x-12cos2x=sin(2x-π6)，
∴函数f（x）的最小正周期T=2π2=π；
（2）由于f（A）＝1，则sin(2A-π6)=1，
又A为三角形内角，解得A=π3，
又因为S△ABC=23，
∴23=12bcsinA=12b×4sinπ3=3b，
∴b＝2，
∴a2=b2+c2-2bccosA=4+16-2×2×4×12=12，
∴a=23.
【点评】本题考查利用三角恒等变换求值，考查余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题.
20．由浙江省文化与旅游厅、浙江省援疆指挥部等部门主办的“我有一棵树，长在阿克苏”——“我为汽车种棵树”大型公益活动，自启动以来，得到社会各界爱心人士广泛响应.经调查发现，某水果树的单株产量G（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：G(x)=x2+3，0≤x≤210-101+x，2＜x≤5，单株发酵有机肥及其它成本总投入为30x+100元.已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f（x）（单位：元）.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？（注：利润＝收入﹣成本）
【分析】（1）根据题目利用收入＝单价×销量写出函数解析式；
（2）根据解析式求最值。
【解答】解：（1）f（x）＝75G（x）﹣（30x+100），
即f(x)=75x2-30x+125，0≤x≤2750-7501+x-30x-100，2＜x≤5，
化简得f（x）=75x2-30x+125，0≤x≤2650-7501+x-30x，2＜x≤5.
（2）当0≤x≤2时，f（x）＝75x2﹣30x+125，f（x）max＝f（2）＝365，
当2＜x≤5时，f(x)=680-30(251+x+1+x)≤380（x＝4取等号），
综上所述，当x＝4时，单株利润最大，为380元.
【点评】本题考查函数解析式和函数的值，难度简单。
21．已知数列{an}满足：4Sn+2an＝1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足anbn+1﹣an+1bn﹣2anan+1＝0，且b1=16，设cn=bnan。
①求数列{cn}的通项公式；
②求数列{1cncn+1}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据an与Sn的关系可求出{an}为等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）①根据anbn+1﹣an+1bn﹣2anan+1＝0可求出{cn}为等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求解；
②根据裂项相消法求和即可求解．
【解答】解：（1）∵4Sn+2an＝1，
∴当n＝1时，4a1+2a1＝1，
∴a1=16，
当n≥2时，4Sn﹣1+2an﹣1＝1，
∴（4Sn+2an）﹣（4Sn﹣1+2an﹣1）＝4an+2an﹣2an﹣1＝0，
∴6an＝2an﹣1
∴anan-1=13，
∴数列{an}是以16为首项，13为公比的等比数列，
∴an=a1qn-1=16×(13)n-1=12×(13)n；
（2）①∵anbn+1﹣an+1bn﹣2anan+1＝0，
∴bn+1an+1-bnan=2，
即cn+1﹣cn＝2，
∵c1＝1，
∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴cn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
②∵1cncn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
∴Tn=12（1-13+13-15+...+12n-1-12n+1）=12×（1-12n+1）=12×2n2n+1=n2n+1．
【点评】本题考查an与Sn的关系、等比数列的通项公式、等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，难度中等．
22．某单位租用车辆送180名员工去单位上班。若租车公司有6辆中巴车和8辆大巴车，每辆中巴车能载15人、大巴车能载30人，租用一辆车的费用为中巴车300元、大巴车500元，且租用的大巴车不多于中巴车3辆，则该单位应租用中巴车、大巴车各多少辆时，租车总费用最小？并求租车总费用的最小值。
【分析】设该单位租用中巴车x辆，大巴车y辆，依题意，列出变量x，y满足的约束条件，然后作出可行域即可得解.
【解答】解：设该单位租用中巴车x辆，大巴车y辆，
依题意，变量x，y满足的线性约束条件为15x+30y≥180y-x≤30≤x≤60≤y≤8，租车总费用为z＝300x+500y，
作出可行域如下图阴影部分所示，

由图象可知，当（x，y）取点（2，5）时，目标函数取得最小值，且最小值为300×2+500×5＝3100.
故当该单位租用中巴车2辆，大巴车5辆时，租车总费用最小，且最小为3100元.
【点评】本题考查简单线性规划的运用，考查数形结合思想，属于中档题.
23．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，且经过点（1，-32），点F1，F2为椭圆C的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x＝1交于点P．若AF1→=λF1B→，且点Q满足QA→=λQB→，求△PQF1面积的最小值．

【分析】（1）根据题意可得a2=b2+c2e=ca=121a2+94b2=1，解得a2，b2，即可得出答案.
（2）分情况：直线l1的斜率为0和直线l1的斜率不为0，两种情况讨论S△PDF1最小值.
【解答】解：（1）根据题意可得a2=b2+c2e=ca=121a2+94b2=1，
解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的方程为x24+y23=1.
（2）由（1）可得F1（﹣1，0），
若直线l1的斜率为0，则直线l2的方程为x＝﹣1，与直线x＝1无交点，不满足条件，
设直线l1的方程为x＝my﹣1，
若m＝0，则λ＝1不满足QA→=λQB→，
所以m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
由3x2+4y2=12x=my-1，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
因为AF1→=λF1B→QA→=λQB→，即(-1-x1，-y1)=λ(x2+1，y2)(x1-x0，y1-y0)=λ(x2-x0，y2-y0)，
则﹣y1＝λy2，y1﹣y0＝λ（y2﹣y0），
所以λ=-y1y2=y1-y0y2-y0，
解得y0=2y1y2y1+y2=-3m，
所以|F1Q|=1+m2•3|m|，
直线l2的方程为x=-1my﹣1，
联立x=-1my-1x=1，解得x＝1，y＝﹣2m，
所以P（1，﹣2m），
所以|PF1|＝21+m2，
所以S△PDF1=12|F1Q|•|F1P|=3(m2+1)|m|=3（|m|+1|m|）≥6，（当且仅当|m|=1|m|，即m＝±1时，取等号），
所以（S△PDF1）min＝6.
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，共线向量的坐标表示，属于中档题.
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