专题02 函数的性质及其应用-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题02 函数的性质及其应用专题点拨1．建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，要避免因忽略函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域.2．关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，以及图像的对称性，简化研究的范围,事半功倍.3．处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分离变量遇到困难时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决.4．涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加以推敲掌.5．利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不重不漏，分段分析，整体把握；6．掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换.真题赏析1.(2020·上海)若函数为偶函数，则__________.【答案】1【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则，即，变形可得：，必有；故答案为：  2.(2020·上海)如图，已知正方形OABC，其中，函数交BC于点P，函数交AB于点Q，当最小时，则a的值为__________.【答案】【分析】本题考查幂函数的性质，基本不等式的应用．由已知可得P，Q坐标，进而可得，由基本不等式可得答案．【解答】解：由题意得：P点坐标为，Q点坐标为，，当且仅当时，取最小值，故答案为：3．(2018·上海)设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）.A. 　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 【答案】B 【解析】 由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转后与下一个点会重合，我们可以通过代入和赋值的方法当时，此时得到的圆心角为，，，然而此时或者时，都有个与之对应，而函数的定义就是要求一个只能对应一个因此只有当，此时旋转，此时满足一个只会对应一个，因此选B．4.(2021·上海市)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A. B. C. D. 【答案】A【分析】本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用.根据函数单调性与奇偶性判断即可.【解答】解：幂函数在R上单调递增，对数函数与指数函数，既不是奇函数也不是偶函数，所以选项 B，C，D 都不符合题意，只有既是奇函数，又是减函数.故选：  5.(2021·上海市)已知、、、、、为6 个不同的实数，满足①，，，②，③，以下选项值恒成立的是A. B. C. D. 【答案】A【分析】本题考查函数图象的实际应用，考查特殊值比较大小，属于拔高题.方法1：构造函数，利用函数图象判断即可.方法2：利用特殊值排除法即可.【解答】解：方法1：构造函数，由题设，并令，则，同理，，条件③转化为，考虑到函数为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，由条件①可得，，且函数在上单调递增，因此，即恒成立，故选：方法2：特殊值排除法，由题意，设，并令，，，满足条件，显然选项 B，C，D 均错误，故选： 例题剖析【例1】 （2021·上海金山·一模）已知定义域为的函数.（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【分析】（1）由单调性的定义证明（可根据复合函数的单调性判断）；（2）再确定函数的奇函数，然后由奇函数性质变形不等式，由单调性化简转化为一元二次不等式恒成立，从而易得参数范围．【详解】（1）函数在上单调递减.证明如下：任取，且，，因为，所以，，，即，故函数在上单调递减.（2）因为，故为奇函数，所以，由（1）知，函数在上单调递减，故，即对于任意恒成立，所以，令，则，因为，所以，所以，即实数的取值范围是.【变式训练1】（2021·上海黄浦·三模）已知函数为实常数.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数；（2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．【详解】解：（1）当时，即；故此时函数是奇函数；因当时，，故，且于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；由不等式，得，令因，故由于函数在单调递增，所以；因此，当不等式在上恒成立时，【例2】（2021·上海嘉定·二模）设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；（2）将问题转化为在上有实数解，令，可将问题进一步转化为在有实数解，通过分离变量法可得，由的值域可构造不等式求得的范围.【详解】（1）由题意知：函数的定义域为，是奇函数，，即，即，整理可得：，对任意都成立，，解得：．（2）将问题转化为在区间上有实数解，即关于的方程在区间上有实数解．设，，，则原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．当时，方程（*）不成立，，则方程（*）可化为：，即函数与函数的图象有公共点．函数为增函数，则该函数的值域为，，解得：，即实数取值范围为.【变式训练2】 （2021·上海普陀·模拟预测）若函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)，则称函数f(x)具有性质P.（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由；①y=3x；②y=x3；（2）若函数g(x)=，试判断g(x)是否具有性质P，并说明理由；（3）若函数f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n>2，n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0.【分析】（1）根据新定义验证f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)即可判断具有性质P；（2）根据新定义，举反例，当x=﹣1时不满足f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)即可判断不具有性质P；（3）由于直接证明比较麻烦，所以从反面出发，即采用反证法结合新定义即可得到结论.【详解】解：（1）①f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=3x﹣1+3x+1﹣2×3x=3x()>0，故①具有性质P；②不具有性质P，如x=﹣1时，f(x﹣1)+f(x+1)=f(﹣2)+f(0)=﹣8，而2f(﹣1)=﹣2，不满足不等式，（2）1°当x为有理数时，具有性质P，理由如下：f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2﹣n(x﹣1+x+1﹣2x)=2≥0，2°当x为无理数时，具有性质P，理由如下：f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2=2>0，综上可知g(x)具有性质P.（3）证明：假设f(x)为f（1），f（2），…，f(n﹣1)中第一个大于0的值，则f(k)﹣f(k﹣1)>0，因为函数f(x)具有性质P，所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)，所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)≥…≥f(k)﹣f(k﹣1)>0，所以f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+…+f（1）>0，与f(n)=0矛盾，所以假设错误，原命题正确，即对于任意的1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0.【例3】已知函数f(x)=x4x2+16,x≥2(12)|x-a|,x116=(12)4，∴a-2