专题03 函数模型-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题03 函数模型专题点拨 随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中6大学科素养中，其中2个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外就是构造函数的能力。真题赏析1.(2020·上海)已知，其反函数为，若有实数根，则a的取值范围为______.2.(2020·上海)设，若存在定义域为R的函数同时满足下列两个条件：对任意的，的值为或；关于x的方程无实数解，则a的取值范围是_________.3． (2020·上海)在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度．，若交通流量，求道路密度x的取值范围；已知道路密度时，交通流量，求车辆密度q的最大值.例题剖析【例1】（2021·上海徐汇·二模）已知函数．（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．【变式训练1】（2021·上海·格致中学三模）已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____.【例2】已知函数（）(1) 判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； (3)设，函数，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【变式训练2】 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.(1) 若且，证明：函数必有局部对称点；(2) 若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；(3) 若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.【例3】（2021·上海黄浦·二模）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围.【变式训练3】某企业生产某种商品x吨，此时所需生产费用为(x2-100x+10000)万元，当出售这种商品时，每吨价格为p万元，这里p=ax+b(a,b为常数，x>0)(1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？(2)如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求a，b的值．巩固训练一、填空题1.（2021·上海普陀·二模）函数的零点为___________．2. （2021·上海浦东新·三模）设函数的零点为､､，若､､成等比数列，则实数的值为___________.3. （2021·上海浦东新·二模）已知、、为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为___________.4.2021·上海市七宝中学高三月考）函数，记集合，集．若，且A、B都不是空集，则的取值范围是________．5. 函数且方程恰有两解，则实数的取值范围是 .二、选择题6. （2021·上海市控江中学三模）方程在区间上的解的个数是（ ）A．4 B．6 C．8 D．97. （2021·上海市大同中学三模）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着己初步遏制疫情，则约为（ ）A．59 B．61 C．63 D．658. 若关于的不等式至少有一个负解，则参数的取值范围为 （ ）A． B． C． D． 三、解答题9.（2021·上海市七宝中学一模）对核污染水的处理是当今全球环境治理的热点问题之一，某环保企业准备研发一款设备用于处理核污染水中的放射性碘，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为.经计算发现当时，近似地满足，其中，p，q为常数，.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.10. （2021·上海嘉定·二模）设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．11. 对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”．设函数的定义域为，且．(1) 若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；(2) 若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较与+2的大小，并说明理由．