专题11 直线与圆锥曲线的位置关系-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题11 直线与圆锥曲线的位置关系专题点拨1．弦长公式：斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |AB|＝ =eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．2. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解. 涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．3.在直线与圆锥曲线的问题中，若直线的斜率不存在且符合题意时，则需要优先考虑斜率不存在的情况．既克服遗漏，又可获得一般性解答的启示.4.涉及存在性问题:一方面，要结合轨迹定义和曲线性质讨论；另一方面，还要结合问题情境具体分析，并加以推理论证.真题赏析(2018·上海)设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．例题剖析【例1】（2021•浦东新区校级三模）已知椭圆，过动点，的直线交轴于点，交于点、在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点．（1）求椭圆的焦距和短轴长；（2）设直线的斜率为，的斜率为，证明：为定值；（3）求直线倾斜角的最小值．【例2】（2021•嘉定区三模）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线上，设，为双曲线上的动点，直线与轴相交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点．（1）求双曲线的方程；（2）在轴上是否存在一点？使得，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求点的坐标，使得的面积最小．【例3】设直线与抛物线相交于不同的两点，，为线段中点，（1）若，且，求线段的长；（2）若直线与圆相切于点，求直线的方程；（3）若直线与圆相切于点，写出符合条件的直线的条数．（直接写出结论即可）巩固训练填空题1.已知椭圆，与两直线，有不同的交点，这四个点与的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则　　．2．曲线与直线恒有公共点，则的取值范围是　　．3.已知为抛物线的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是，则弦所在直线的方程是　 　．4.曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线到直线的距离等于到直线的距离，则实数　　．二、选择题5.已知椭圆，对于任意实数，下列直线中被椭圆截得的弦长与直线被椭圆截得的玄长一定相等的是　　A． B． C． D．6.（2021•嘉定区三模）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则弦的长为　　A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．与的斜率有关7.设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 三、解答题8.（2021•奉贤区校级二模）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点，为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点．（1）若，，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，，求弦的中点的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，，求面积的最大值．9.（2021•黄浦区二模）椭圆的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为、，，为椭圆上的任一点．（1）试写出向量、的坐标（用含、、的字母表示）；（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数、的值；（3）在满足（2）的条件下，若直线与椭圆交于、两点、与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段为直径的圆经过点，求证：直线必经过定点，并求出定点的坐标．10.（2021•徐汇区二模）已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于、两点，与线段交于点（异于、．（1）当且时，求直线的方程；（2）当时，求四边形面积的取值范围；（3）记直线、、、的斜率依次为、、、当且线段的中点在直线上时，计算的值，并证明：．11.（2021•松江区二模）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的、两点．（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：、、三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．13.（2021•普陀区模拟）已知、为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、．（1）求证：点、、三点共线；（2）当，时，若点、都在第一象限，且直线的斜率为，求的面积；（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值．