专题12 高考常见应用题-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题12 高考常见应用题专题点拨求解简单的应用性问题，可直接应用有关知识解题；用数学解决一些复杂的实际问题，除了掌握必要的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的锻炼与培养．1．阅读理解能力．首先能层次分明地阅读并理解数学语言表述的实际问题的详尽含义；其次能用准确的数学语言将题目的已知与求解翻译出来，并注意它的清晰性与完整性．2．数学的迁移能力．即建立数学模型的能力．能从阅读中抽象出解决问题的数或形，并判断用哪些数学知识予以解决，将之转化为纯数学问题．3．解决纯数学问题的能力．能经过综合分析，应用数学的基础知识和基本方法，完整解答所建立的数学模型．4．常识能力．平时应关注生活中的点滴常识，对由数学模型解决的结果，进行检验、判断、修正，得到符合实际的解答．5．表达能力．解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确，论据确凿，论证有力，有始有终，能自圆其说．特别注意在表述过程中，用简明的汉语与数学语言的互补，使语句流畅、自然而清晰．解决复杂的应用题是一件难事，但又无可回避，只有通过不断地体验反思才能达到能力的培养与提高．解答应用题一般分为四个步骤：1．阅读理解：分析背景材料，分清条件结论，把握数量关系；2．建立模型：联想数学问题，运用数学语言，建立数学模型；3．求解模型：运用思想方法，使用知识技能，求得数学结果；4．还原实际：审视实际问题，验证运算结果，表述最后结论．简单归结为：审题、化成数学问题、建立数学模型、进行推理运算、检验、作答．例题剖析一、函数型应用性问题【例1】（2021•黄浦区校级三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中是该地区的最低保障收入系数，是该地区收入中位系数，是该地区收入均值系数，经换算后，、、都是大于1的实数，当时，该地区收入均衡性最为稳定．（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用、表示）．【分析】（1）由对数有意义的条件可得函数的定义域；结合分离常数法、复合函数单调性的判断原则“同增异减”，可知函数的单调性；将，，代入，解之即可得最低保障收入系数；（2）结合对数的运算法则解不等式，即可．【解答】解：（1）由题意知，，所以或，故定义域为，，；函数，因为、、都是大于1的实数，所以函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减，由复合函数的单调性知，在和上单调递减，函数的单调性的实际意义为该地区的收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时，收入均值系数越大，弗格指数越小．将，，代入，有，所以，解得，故该地区的最低保障收入系数为1.04．（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则，所以，即，因为，所以，即，解得，故该地区收入均值系数的取值范围为．二、三角函数型应用性问题【例2】 （2021•浦东新区校级三模）某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图1所示（单位：，将其中一个斜截园柱的侧面沿剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线是函数的图象，其中，，如图2所示．（1）若，，，求的解析式；（2）已知函数的图象与轴围成区域的面积可由公式计算，若制作该种类弯管的一节圆管所用材料面积（即斜截圆柱的侧面积）等于与之底面相同且高为的圆柱的面积，求的值（结果精确到．【分析】（1）利用题中的条件，列出等式，解出参数，，即可解出；（2）将截面画出来，找出等量关系，即可解出．【解答】解：（1）过点，且垂直于底面的平面去截斜截圆柱，截面如图所示：作于点，依题意两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱，，，，，，，底面直径为8，展开后，，，，函数，，，把点代入得：，，．（2）由（1）可知即为底面周长，底面直径为，，；，，斜截圆柱侧面积，圆柱的面积，，，．【变式训练】．（2021•宝山区校级模拟）第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办，其标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米．图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图．如（图是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，，其中米；圆心距米：半径米：椭圆中心与圆心的距离米，、为直线与半圆的交点，．（1）设，并计算的值；（2）计算的大小（精确到．【分析】（1）由为等腰梯形中位线，根据对称性易知，进而可求．（2）结合（1）可得 的大小，由正弦定理有，即可求，在 中即可求．【解答】（1）由为梯形中位线，于是，显然为锐角，所以．（2）因为，结合（1）知，所以．于是在中，利用正弦定理，解得，则，又因为为钝角，所以，于是．三、数列型应用性问题【例3】（2021•浦东新区三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人．（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数．【分析】（1）记11月日新感染者人数为，然后利用数列是等差数列，由等差数列前项求和公式求解即可；（2）由题意，分别求出当，时的，然后利用等差数列前项求和公式，求出的值，即可得到答案．【解答】解：（1）记11月日新感染者人数为，则数列是等差数列，，公差为50，又，则11月1日至11月10日新感染者总人数为人；（2）记11月日新感染者人数为，11月日新感染者人数最多，当时，，当时，，因为这30天内的新感染者总人数为11940人，所以，解得，即，解得或（舍，此时，所以11月13日新感染者人数最多为630人．　　　　　　　　　四、解析几何型应用性问题【例4】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为52km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【解析】（1）∵线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，∴线路AB的轨迹为以MN为焦点的双曲线的一部分，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，则2a=102c=102，∴a＝5，b＝5．∴线路AB的方程是：x225−y225=1（x≤﹣5，y≥0），同理可得线路CD的方程为：y225−x225=1（x≥0，y≤﹣5）．故而B（﹣5，0），∵线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，∴线路BC的方程为：x2+y2＝25（﹣5≤x≤0，﹣5≤y≤0）．（2）Q（0，52），设G（x，y），则x2﹣y2＝25，∴GQ2＝x2+（y﹣52）2＝2y2﹣102y+75＝2（y−522）2﹣25，∴当y=522时，GQ最小，代入双曲线方程可得x=−562，∴G（−562，522）．五、立体几何型应用性问题【例5】某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l＝2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．【解析】（1）半球的表面积S1=2πr2，圆柱的表面积S2＝2πr•l．于是y=3×2S1+1×S2=3×4πr2+1×2πr⋅(2r+1)=16πr2+2πr．定义域为[12，+∞)．（2）16πr2+2πr≤80，即r2+18r−5π≤0，解得r≤−18+164+20π2≈1.2．V=43πr3+πr2⋅(2r+1)=103πr3+πr2，经计算得V≈22.7（立方米）．故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．【变式训练】某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【解析】（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr＝24π，解得r＝12cm．h1=202−122=16cm．∴笼具的体积V＝πr2h−13πr2ℎ1=π×（122×30−13×122×16）＝3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720cm2，圆柱的底面积S2＝πr2＝144πcm2，圆锥的侧面积为πrl＝240πcm2．故笼具的表面积S＝S1+S2+S3＝1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：1104π×50×8104=1104π25元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要1104π25元．巩固训练1.（2021•金山区二模）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道，在两侧），其中，为线段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？（精确到【分析】（1）由已知结合余弦定理先求，然后结合弧长公式可求；（2）结合余弦定理及基本不等式即可直接求解．【解答】解：（1）连接，中，由余弦定理得，，即；（2）设，，中，由余弦定理得，所以，解得，当且仅当时取得等号，新建健康步道的最长路程，，故新建健康步道的路程最多可比原来有健康步道的路程增加．2.利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米（1）求抛物线的焦点到准线的距离（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）【解析】（1）在图2中，以O为原点，以OC为y轴负半轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），由题意可知B（32，−92），∴94=−2p•（−92），解得p=14．∴抛物线的焦点到准线的距离为14．（2）在图3中，∵OC∥SD，∴OCSD=CEDE=12，∴SD＝2OC＝9，又DC=12AB=32，∴sin∠CSD=CDSD=16．∴圆锥的母线与轴的夹角为arcsin16≈9.59°．3.（2021•徐汇区二模）元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于、两点距离）的绳子两头分别拴住、；、，再用一根绳子与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设，所有绳子总长为米．（打结处的绳长忽略不计）（1）将表示成的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）【分析】（1）根据题中的条件，列出等式关系，即可解出．（2）利用题中的条件，表示出绳长，再利用辅助角公式即可解出．【解答】解：（1）设上底中心为，则，，，故，．（2）记，则，即，由，得，等号成立时，从而（米，此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．4.（2021•浦东新区二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求的值；（2）求年利润的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．【分析】（1）直接由基地产出该中药材40吨时的利润列式求解值；（2）分段写出年利润函数，然后分别利用函数的单调性与基本不等式求最值，取最大值中的最大值得答案．【解答】解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，利润为，解得；（2）当，时，，对称轴方程为，则函数在，上为增函数，当时，万元；当，时，．当且仅当，即时取等号．即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．5.（2021•嘉定区三模）数学建模小组检测到相距3米的，两光源的强度分别为，，异于，的线段上任意一点处的光强度等于两光源到该处的强度之和，设米．（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数，测得数据：当时，；当时，，求，两处的光强度，并写出函数的解析式；（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数，测得数据：当时，；当时，，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度．【分析】（1）利用题中的条件列出函数关系式，利用题中的数据数量即可解出；（2）利用题中的条件列出等式关系，再利用题中的数据即可解出．【解答】解：（1）由已知，得，所以，故．（2）由已知，得，所以，故．因为，当且仅当，所以当时的处，光强度最弱为．6.（2021•青浦区三模）某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度（单位：摄氏度）与时间（单位：小时），近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量．（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到；（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值．【分析】（1）由已知求出函数的关系式，利用导数求出函数的单调性，进而可以求解；（2）分类讨论，分别求出的关系式，利用函数的性质以及恒成立思想即可求解．【解答】解：（1）当时，，因为，所以函数在，上单调递减，当时，，综上，大棚一天中保温时段的最低温度约为；（2）令，在，恒成立，①当，时，，可得，因为函数在，上单调递增，所以当时，，所以，②当，时，，可得，当时，函数取得最大值为256，则，综上，，所以大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．7.（2021•青浦区二模）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服：公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增如到（万件），其中为工厂工人的复工率；公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；（2）对任意的，（万元），当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到【分析】（1）根据已知条件列出关系式即可；（2）将问题转化为不等式恒成立问题，然后利用参变量分离，转化为求解函数的最值问题，即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可得，，所以公司生产防护服的利润（万元）与补贴（万元）的函数关系为：，，，；（2）由题意可知，问题可转化为对所有的，恒成立，即在，恒成立，即，令，则，，此时，因为函数在，上单调递增，所以的最大值为，故，所以复工率达到0.65时，对任意的，，公司才能不产生亏损．8.某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）＝Acos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．【解析】（1）根据题意知，T＝12，∴ω=2π12=π6；又A+k=500k−A=100，解得A=200k=300，由π6×2+θ＝﹣π+2kπ，k∈Z；解得θ=−4π3+2kπ，k∈Z；又θ∈（0，π），∴θ=2π3；∴函数f（n）＝200cos（π6n+2π3）+300；（2）令f（n）＝200cos（π6n+2π3）+300≥400，化简得cos（π6n+2π3）≥12，即−π3+2kπ≤π6n+2π3≤π3+2kπ，k∈Z，解得n∈[12k﹣6，12k﹣2]，k∈Z；又n∈[1，12]，∴n∈[6，10]，∴取n＝6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．9.（2021•徐汇区校级三模）如图，某机械厂要将长，宽的长方形铁皮进行剪裁，已知点为的中点，点在边上，剪裁时先将四边形沿直线翻折到处（点、分别落在直线下方点、处，交边于点再沿直线剪裁，若设．（1）试用表示的长，并求出的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由．【分析】（1）过作的垂线，垂足为，构造三角形，即可用表示的长，再结合点在边上，点、分别落在直线下方点、处，求出的取值范围；（2）先把边，都用表示，然后把四边形的面积也用表示，再结合基本不等式可以求最大值．【解答】解：（1）如图，过点 作 的垂线，垂足为，若，则，，所以，所以，当， 两点重合时，此时，所以，又因为点， 分别落在直线 下方点， 处，要使得 点落在直线 的下方，只需 即可，要使得 点落在直线 的下方，此时要满足，即，又即，解得，所以，综上所述， 的取值范围为．于是．（2），所以四边形 的面积为，当且仅当，即 时取“ “，此时，答：当 时，沿直线，四边形 面积最大，最大值为．10.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）f(x)≤x5恒成立．）（1）判断函数f(x)=x30+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数g(x)=ax−5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．【解析】（1）对于函数模型f（x）=x30+10，当x∈[25，1600]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≤f（1600）=160310≤75，显然恒成立，若函数f（x）=x30+10−x5≤0恒成立，即x≥60∴f（x）=x30+10不恒成立，综上所述，函数模型f（x）=x30+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f（x）=x30+10，不符合公司要求；（2）x∈[25，1600]时，g（x）＝ax−5有意义，∴g（x）max＝a1600−5≤75，∴a≤2， 设ax−5≤x5恒成立，∴ax≤（5+x5）2恒成立，即a≤25x+2+x25，∵25x+x25≥225x⋅x25=2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1，2]