专题14 函数与方程思想-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题14 函数与方程思想专题点拨函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．函数的思想是对函数概念的本质认识，就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想动中求静，研究运动中的等量关系．函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0.函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．(1)函数的零点与方程根的关系根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．(2)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．例题剖析一、函数与方程思想在求函数零点中的应用【例1】已知函数，且在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. C. D. 【变式训练1】 若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为 .二、函数与方程思想在求最值或求参数范围中的应用【例2】已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．【变式训练2】已知a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．【例3】已知二次函数（R，0）．(1)当０＜＜时，（Ｒ）的最大值为，求的最小值；(2)如果[0，1]时，总有||．试求的取值范围．【变式训练3】已知函数f(x)＝2cos2x＋cosx－1，g(x)＝cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3.若y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点．试求a的取值范围．三、函数与方程思想在数列、解析几何、立体几何中的应用【例4】设首项为正数的等差数列的前项和为公差为，若.(1)求公差的取值范围；(2)若，求满足的正整数的最大值.【变式训练4】设等比数列满足，，则的最大值为          ．【例5】　若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(FP,\s\up6(→))的最大值为________．【变式训练5】在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．四、函数与方程思想在不等式、方程中的应用【例6】已知f(t)＝log2t，t∈[eq \r(2)，8]，对于f(t)值域内所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．巩固训练一、填空题1．已知定义域为R的函数y＝f(x)的图像关于点(－1，0)对称，y＝g(x)是y＝f(x)的反函数，若x1＋x2＝0，则g(x1)＋g(x2)＝__________．已知x1，x2是函数y＝x2－(k－2)x＋(k2＋3k＋5)(k为实数)的两个零点，则xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)的最大值为________．3.方程在区间上有解，则实数的取值范围为          ．4.若对于任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是________．5．若方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，则a的取值范围是________．二、选择题6．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－2，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．108．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lnx))，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0，01.))) 则方程eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f（x）＋g（x）))＝1实根的个数为(　　) A．1　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　 D．4三、解答题9．设P(x，y)是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1上的动点，定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，求动点P到定点M距离的最大值与最小值．10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3，2)时，其值为正，而当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，其值为负，求a，b的值及f(x)的表达式．11．若数列是等差数列，且，数列满足，为数列的前项和，试问多大时，取得最大值？并证明你的结论.12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．是否存在实数m，n(m