专题16 分类讨论思想-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题16 分类讨论思想专题点拨(1)分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．分类讨论思想的特点是：①分类讨论思想具有明显的逻辑特点；②分类讨论问题一般覆盖的知识点较多，有利于考查知识掌握的熟练程度和解决问题的能力；③解答分类讨论问题需要一定的分析技巧和分析问题的能力；④分类讨论思想在生活、工作实践中应用广泛，与高等数学紧密相关．(2)与分类讨论有关的知识点是：①由数学概念引起的分类讨论：a．绝对值的意义：|a|分a≥0和a＜0两种情况讨论可以去掉绝对值号；b．直线的斜率：分为存在和不存在两种情形；c．指数函数与对数函数的底数a分为0＜a＜1和a＞1两种情形；d．多项式ax2＋bx＋c分为a≠0(二次函数)和a＝0(不是二次函数)两种情形；e．三角函数：按角所在的不同的区域进行分类，如按象限分类；f．平面向量的有关概念，如共线分为同向和反向；g．等比数列的公比q：例如q分为q＝1和q≠1.②由数学运算引起的讨论：a．分母不为0；b．开偶次方根时，被开方式为非负值；c．不等式性质：两边乘以或除以一个正数或一个负数的不同；d．各类函数的定义域，如正切函数的定义域．③由函数、方程的性质、定理、公式的限制引起的讨论：如二次函数的对称轴与区间的位置关系不同，则函数的单调性不同，直线方程的不同形式的要求不同，如点斜式方程的直线的斜率必须是存在的，截距式方程的直线不能与坐标轴平行；等比数列的前n项和公式．④由图形的不确定性引起的分类讨论．⑤由参数的变化引起的分类讨论．⑥由排列组合引起的分类讨论．(3)分类的原则：①分类的对象确定，标准统一；②不重复，不遗漏，即对分类对象分类后交集为空集，并集为全集；③分层次，不越级讨论．(4)分类讨论思想所解决的问题类型：①问题中的变量或含有的参数需要进行分类讨论；②问题中的条件和结论不唯一确定，而是有多种可能，要按出现的情况一一分类加以讨论；③由变形引起的讨论，或解题过程遇到无法统一叙述的情形，必须分类讨论；④有关几何问题中，几何元素(如点、线段、直线、平面、几何体等)的形状、位置的不确定引起讨论．(5)分类讨论的一般流程：eq \x(明确讨论的对象　确定讨论的全体)↓eq \x(选择分类的标准)↓eq \x(逐类进行讨论　获得初步结果)↓eq \x(归纳整合　写出结论)例题剖析一、由数学概念引起的分类讨论【例1】　已知集合A＝{1，3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________. 【例2】 已知函数有四个不同零点，求实数m的取值范围.二、由数学运算引起的分类讨论【例3】　已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝eq \f(mx,x－1)，试比较f(a)与f(b)的大小． 三、由公式、性质、定理等引起的分类讨论【例4】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，3…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－eq \f(3,2)an＋1，{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．四、由参数变化引起的分类讨论【例5】　设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对一切实数x，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．五、由图形引起的分类讨论【例6】　已知方程mx2＋2y2＝m＋1(m∈R)，对于不同范围的m值，请分别指出方程所表示的图形．六、由排列组合引起的分类讨论【例7】　 如图所示，一个地区有5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，若有4种颜色可供选用，则不同的着色方法共有多少种？巩固训练已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．2.函数，满足的的取值范围是          ．3.若直线l过点(1, 2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______________．4.已知函数，则该函数的零点是           ．5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{an}的公比q的值等于____________．6．已知a∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－a))＋a在区间上的最大值是5，则a的取值范围是____________．二、选择题 7．若函数f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期(　　). A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x＋3，x≤1，,x＋\f(2,x)，x>1.))设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥|eq \f(x,2)＋a|在R上恒成立，则a的取值范围是(　　). A. B. C. D. 三、解答题9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小．10.已知无穷数列{an}，满足an＋2＝|an＋1－an|，n∈N*；(1)若a1＝1，a2＝2，求数列前10项和；(2)若a1＝1，a2＝x，x∈Z，且数列{an}前2017项中有100项是0，求x的可能值；(3)求证：在数列{an}中，存在k∈N*，使得0≤ak＜1.11.解关于的不等式．