专题17 等价转化思想-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题17 等价转化思想专题点拨1.等价转化思想的原则：①熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．②简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．③具体原则：转化方向应由抽象到具体．④和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．⑤正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．2.等价转化思想常用到的方法：①直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．②换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．③数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．④构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．⑤坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．⑥类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．⑦特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．⑧等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．⑨加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．⑩补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA使原问题得以解决．例题剖析【例1】已知函数，求证中至少有一个数不小于．【解析】假设均小于，则　　　．由(1)+(2)化简，得．(4)由(1)×2+(2)化简，得．(5)结合(4)和(5)可知，这是一个矛盾．因此，假设不成立，即中至少有一个数不小于．【变式训练1】若关于的不等式的解集是非空集合，求实数的取值范围．【解析】若的解集为空集，则 解得 .于是，满足条件的的取值范围是或.【例2】已知f(x)为定义在实数集R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．当0≤θ≤eq \f(π,2)时，是否存在这样的实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞f(0)对所有的θ∈[0，eq \f(π,2)]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．【解析】假设存在适合条件的m，由f(x)是R上的奇函数可得f(0)＝0.又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数．由题设条件可得f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos2θ－3)＞f(2mcosθ－4m)．∵f(x)是R上的增函数，∴cos2θ－3＞2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－2＞0.令cosθ＝t，∵0≤θ≤eq \f(π,2)，∴0≤t≤1，于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－mt＋2m－2＞0恒成立．∴t2－2＞m(t－2)，即m＞eq \f(t2－2,t－2)恒成立．又∵eq \f(t2－2,t－2)＝(t－2)＋eq \f(2,t－2)＋4≤4－2eq \r(2)，当且仅当t＝2－eq \r(2)时，等号成立，∴m＞4－2eq \r(2).∴存在实数m满足题设的条件，m＞4－2eq \r(2).【例3】 已知函数对任意的，恒有.(1)证明：当时，；(2)若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求实数的最小值.【解析】证明(1)由恒成立，则.于是， . 当时，. .若，则.若，则是单调增加的函数，且，即. 综上，有即成立.(2)若，则. 若，.此时，则.时，.又，即.故. 综上，所求取值范围是.巩固训练一、填空题1．已知函数，则不等式的解集为          ．【答案】【解答】解：由题意得，故为奇函数，当时，，故在上是增函数，故它在上也是增函数．又，故是上的增函数．由不等式，可得，，解得，故原不等式的解集为，故答案为：．若关于x、y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4,3x＋ay＝6))无解，则实数a＝________．【答案】6　【解析】　(代入法)若关于x、y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4,3x＋ay＝6)))无解，则两直线x＋2y－4＝0与3x＋ay－6＝0无交点．则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1×a－3×2＝0,1×（－6）－3×（－4）≠0)))，解得a＝6.函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cosx－eq \f(3,4)(x∈[0，eq \f(π,2)])的最大值是________．【答案】1　【解析】　化简三角函数的解析式，则f(x)＝1－cos2x＋eq \r(3)cosx－eq \f(3,4)＝－cos2x＋eq \r(3)cosx＋eq \f(1,4)＝－(cosx－eq \f(\r(3),2))2＋1，令cosx＝t，则f(x)＝ －(t－eq \f(\r(3),2))2＋1，转化为一元二次方程求最值问题．由x∈[0，eq \f(π,2)]可得cosx∈[0，1]，即t∈[0，1]，当t＝eq \f(\r(3),2)时，函数f(x)取得最大值1.4．在平面直角坐标系xOy中，若△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，则eq \f(sinA＋sinC,sinB)＝________.【答案】eq \f(5,4)　【解析】　顶点B取椭圆短轴端点，即B(0，3)，得eq \f(sinA＋sinC,sinB)＝eq \f(5,4).5.若等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则eq \f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝________.【答案】eq \f(13,16)　【解析】　由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列转化为具体数列．比如，可选取数列an＝n(n∈N*)，则eq \f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝eq \f(1＋3＋9,2＋4＋10)＝eq \f(13,16).6．若函数f(x)＝logm(x＋1)，且m＞1，a＞b＞c＞0，则eq \f(f（a）,a)、eq \f(f（b）,b)、eq \f(f（c）,c)的大小关系是__________________．【答案】eq \f(f（a）,a)