重庆市九龙坡区杨家坪中学七年级下学期期中数学试题

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～重庆九龙坡区重庆市杨家坪中学
七年级下学期期中数学试卷
（满分：150分）
一、选择题（共十二题：共48分）
1. 在下列实数中，无理数是（ ）．
A. B. 0 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
【详解】解：A． 是有理数，故不符合题意；
B． 是有理数，故不符合题意；
C． 是无理数，故符合题意；
D． 2是有理数，故不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及0．2020020002…，等有这样规律的数．
2. 下列图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，理解平移的意义可解答问题；
【详解】A：可以通过平移得到；
B：不可以通过一个平行四边形形或两个平行四边形为基本图形平移得到；
C：可以通过一个圆平移得到.
D:可以通过平移得到.
故选:B
【点睛】考查平移的性质，平移前后图形的大小和形状都不发生改变.对应线段相等.
3. 如图，已知，在中，．若，则的度数为（ ）

A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
【答案】B
【解析】
【分析】如图，延长AC交直线b于T．利用平行线的性质，求出∠3，利用三角形的外角的性质求出∠2即可．
【详解】如图，延长AC交直线b于T．

∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝∠A＋∠3＝60°＋50°＝110°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4. 已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是( )
A. (3,4) B. (-3,4) C. (-4,3) D. (4，3)
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标．
【详解】解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方，
∴P点在第一象限，
又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，
∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为（3，4）．
故选A．
【点睛】本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义．
5. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为4时，输出的y是( )

A. 4 B. 2 C. D. －
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用规定的运算顺序计算得出答案．
【详解】解：4的算术平方根为：=2，则2的算术平方根为：，是无理数.
故选C．
【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数定义，正确把握运算顺序是解题关键．
6. 估算的值在（ ）．
A. 1和2之间 B. 2和3之间
C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】估算出的大小，继而得出，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，正确的估算出的大小是解题的关键．
7. 下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等，邻补角互补．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质及基本事实，对顶角及邻补角的性质进行判断．
【详解】两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故①是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
对顶角相等，邻补角互补，故④是真命题．
故选A．
【点睛】本题考查命题的真假判断，熟练掌握平行线的性质，对顶角及邻补角的性质是解题的关键．
8. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“若每人出5钱，还差钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，
依题意得：

故选：B
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9. 关于、的二元一次方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】将已知二元一次方程组相减可得x+2y=2﹣6m，再由已知得到11﹣3m=2﹣6m即可求m的值．
【详解】，
①﹣②，得x+2y=2﹣6m．
∵x+2y=11﹣3m，
∴11﹣3m=2﹣6m，
解得：m=﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解；将二元一次方程组转化为一元一次方程的解是解答本题的关键．
10. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）．

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影面积．
【详解】解：图①中阴影面积，边长为，图②阴影面积是，边长为，设矩形长为，宽为，根据题意得

解得
所以图③阴影面积为
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，确定数量关系是解答的关键．
11. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点的纵坐标是（ ）

A. 1 B. 2 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】观察图象，结合第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，运动后的点的坐标特点，分别得出点运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象，结合第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，运动后的点的坐标特点，
由图象可得纵坐标每6运动组成一个循环：，，，，，
，
经过第2021次运动后，动点的坐标与坐标相同，为，
故经过第2021次运动后，动点的纵坐标是2．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
12. 如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得， 可得答案．
【详解】解：如图，过作，
∴设，

∵，
∴，
∴设，
∵平分，
∴，
设，而平分，
∴，
∵，
∴，
由平角的定义可得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴


．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键．
二、填空题（共六题：共24分）
13. 方程是关于、的二元一次方程，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．
【详解】解：∵方程是关于、的二元一次方程，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
14. 的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为__________.
【答案】7或1.
【解析】
【分析】分别求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】∵，
∴的平方根是±3，
即x=±3，
∵64的立方根是y，
∴y=4，
当x=3时，x+y=7，
当x=−3时，x+y=1.
故答案为7或1.
【点睛】此题考查平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、立方根的基本运算.
15. 如图，已知AB∥ED，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，则∠BCM=_______°．

【答案】30
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCE，再根据角平分线的定义可得∠BCN=∠BCE，根据垂直的定义可得∠MCN=90°，然后求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°．
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN=∠BCE=×120°=60°．
∵CM⊥CN，
∴∠MCN=90°，
∴∠BCM=90°﹣∠BCN=90°﹣60°=30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①△（a，b）=（﹣a，b）；
②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；
③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于_______________．
【答案】（﹣3，4）．
【解析】
【详解】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4
故答案为（﹣3，4）．
17. 如图，图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为__________．

【答案】##度
【解析】
【分析】如图，设，根据折叠的性质得，，则，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，所以．
【详解】解：如图，设，

∵纸条沿折叠，
∴，，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．
18. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案．
【详解】解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总增加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为m，设7月份外卖还需增加的营业额为x．
∵7月份摆摊的营业额是总营业额的，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5，
∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7，
∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a，
由题意可知： ，
解得： ，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目中的等量关系列出方程组是解决本题的关键．
三、解答题（共七题：共70分）
19. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，以及有理数的乘方运算，进行计算即可求解；
（2）根据立方根，算术平方根，以及有理数乘方运算，化简绝对值，进行计算即可求解；
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：


．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根，算术平方根，以及有理数的乘方是解题的关键．
20. 解下列方程组
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．
【详解】解：（1）
整理得
两式相减得：
把 代入中，
得
所以原方程组解为：
（2）原方程组变式为
两式相减得：
将代入中，
得
解得：
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，解题的关键是通过变形选择合适的方法求解．
21. 已知：甲、乙两人同解方程组 时,甲看错了方程(1)中的a,解得,乙看错了(2)中的b,解得，试求a+b的平方根．
【答案】1和-1
【解析】
【详解】分析：根据甲看错了方程（1）中的a，解得，将代入4x=by-2，以及把，代入ax+5y=15，即可得出a，b的值，求出即可.
详解：把 代入（2）得-8=b-2；
所以b=-6
把代入（1）得5a-20=15
所以a=7
a+b的平方根等于1和-1
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的解以及幂的乘方运算，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
22. 如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系，试解答下列问题：

（1）写出三个顶点的坐标．
（2）画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形．
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2）画图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）观察图象，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；
（2）将按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形
（3）利用三角形的面积=直角梯形的面积-两个直角三角形的面积即可求出答案．
【小问1详解】
根据坐标系可得
【小问2详解】
如图：
【小问3详解】
的面积=．
【点睛】本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键．
23. 如图,AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A.
(1)求证：FE∥OC；
(2)若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数.

【答案】（1）证明见解析（2）100°
【解析】
分析】（1）由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由EF与OC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，利用等角的补角相等得到∠BOC+∠DFE=180°，结合∠BOC+∠DFE=180°，求出∠OFE的度数即可．
【详解】（1）∵AB∥DC，
∴∠C=∠A．
∵∠1=∠A，
∴∠1=∠C，
∴FE∥OC；
（2）∵FE∥OC，
∴∠FOC+∠OFE=180°．
∵∠FOC+∠BOC=180°，∠DFE+∠OFE=180°，
∴∠BOC+∠DFE=180°．
∵∠BOC﹣∠DFE=20°，
∴∠BOC+∠DFE=180°，
解得：∠DFE=80°，
∴∠OFE=100°．
24. 定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“协调数”．例如：3245，x=3＋4，y=2+5，因为x=y，所以3245是“协调数”．
（1）直接写出：最小的“协调数”是_____，最大的“协调数”是_____；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍数的所有“协调数”．
【答案】（1）1001；9999；（2）1342、2684、3256、4598．
【解析】
【分析】（1）根据最小的四位数千位上最小的数字为1和最大的四位数千位上最大的数字为9，即可求解；
（2）设这四位数为，即可得出，，，分类讨论运算即可．
【详解】解：（1）由题意得：最小的“协调数”是1001，最大的“协调数”是9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设这个“协调数”是1000a+100b+10c+d，
则d=2a，a+c=b+d，b+c=7k，
即a=1，2，3，4，d=2，4，6，8，
①当a=1，d=2时，b+c=7k，1+c=b+2，又∵k的值只为1，
∴c=4，b=3；
②当a=2，d=4时，b+c=7k，2+c=b+4，又∵k的值只为2，
∴c=8，b=6；
③当a=3，d=6时，b+c=7k，3+c=b+6，又∵k的值只为1，
∴c=5，b=2；
④当a=4，d=8时，b+c=7k，4+c=b+8，又∵k的值只为2；
∴c=9，b=5；
综上所述，这个数为1342、2684、3256、4598．
【点睛】本题主要考查了代数的分类讨论运算，通过已知条件建立式子分类讨论是解题的关键．
25. 2019年是中华人民共和国成立70周年，全国多地用灯光秀为祖国庆祝生日．据悉，四川省内某城市灯光秀共使用照明灯和投射灯共50万个，共花费1005万元．已知照明灯的售价为每个9元，投射灯的售价为每个120元，请用方程或方程组的相关知识解决下列问题：
（1）该城市灯光秀使用照明灯和投射灯各多少个？
（2）某栋楼宇原计划安装照明灯1000个，投射灯50个．后因楼宇本身的设计，实际安装时投射灯比计划多安装了20%，照明灯的数量不变．卖灯的商家为祖国70华诞而让利，把照明灯和投射灯售价分别降低了m%，，实际上这栋楼宇照明灯和投射灯的总价为13536元，请求出m的值．
【答案】（1）照明灯45万个，投射灯5万个；（2）m＝20．
【解析】
【分析】（1）设该城市灯光秀使用照明灯x万个，投射灯y万个，根据“该城市灯光秀共使用照明灯和投射灯共50万个，共花费1005万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设该城市灯光秀使用照明灯x万个，投射灯y万个，
依题意，得：，
解得：．
答：该城市灯光秀使用照明灯45万个，投射灯5万个．
（2）依题意，得：9（1﹣m%）×1000+120（1m%）×50×（1+20%）＝13536，
解得：m＝20．
答：m的值为20．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找准题目中等量关系列出方程是解题关键．
四、解答题（共一题：共8分）
26. 已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l//PQ，点D在点C的左边且CD=3．
（1）直接写出△BCD的面积．
（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．
（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

【答案】（1）3；（2）见解析；（3）不变，值为．
【解析】
【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等，得到底边上的高为2，从而求得的面积；
（2）利用，，求出；
（3）由，，，求出，即可得答案．
【详解】解：（1）根据平行线间的距离处处相等，得到底边上的高为2，
∴．
（2）如图②，

∵，∴
∴
∵直线直线
∴
∵
∴
∵是的平分线，
∴
∴；
（3）不变，值为
如图③

∵直线，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂线，角平分线，平行线的性质，解题的关键是角之间的关系．