江苏省扬州市梅岭中学九年级下学期3月月考数学试题

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阶段性学科素养体验初三年级数学学科
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置）
1. 2023的____是，则横线上可填写的数学概念名词是（ ）
A. 倒数 B. 平方 C. 绝对值 D. 相反数
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数、平方、绝对值、相反数的概念，逐项判定即可．
【详解】解：A、2023的倒数是，故此选项不符合题意；
B、2023的平方是4092529，故此选项不符合题意；
C、2023的绝对值是2023，故此选项不符合题意；
D、2023的相反数是，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数，绝对值，平方，倒数的概念，熟练掌握这些概念是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项计算，即可解答．
【详解】，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．

3. 下图是小华将两本字典放置而成的几何体，其左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看易得左视图为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4. 小林参加学校举办的“五四最美少年”主题演讲比赛，他的演讲资料、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为85分，70分，80分，80分．若学校将上面的四项依次按照40%，40%，10%，10%的占比计算总成绩（百分制），则小林的总成绩是（ ）
A. 80分 B. 79分 C. 78分 D. 77分
【答案】C
【解析】
【分析】根据计算加权平均数的公式列式计算即可．
【详解】解：她的成绩是85×40%+70×40%+80×10%+80×10%=78（分），
故选：C．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．
5. 如图，直线a，b被直线c，d所截，若，，则∠4的度数是( )

A. 80° B. 85° C. 95° D. 100°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意得出a∥b，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠1=80°，∠2=100°，
∴∠1+∠2=180°，
∴a∥b．
∵∠3=85°，
∴∠4=∠3=85°．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6. 如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投掷镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（　　）

A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：设正六边形的边长为，
则总面积为，其中阴影部分面积为，
∴飞镖落在阴影部分的概率是：，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
7. 如图，点，，，，都是上的点，，，则（　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】解：如图所示，连接、，

∵点、、、都是上的点，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵点、、、都是上的点，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8. 已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（ ）
A. 若有最大值4，则的值为 B. 若有最小值4，则的值为
C. 若有最大值，则的值为4 D. 若有最小值，则的值为4
【答案】D
【解析】
【分析】则点，都在一次函数的图象上，求得，，得到，推出当时，有最小值，当时，有最大值，根据四个选项即可求解．
【详解】解：∵点，都在一次函数的图象上，
∴，，即，
∴
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
A、若有最大值，解得，故本选项不符合题意；
B、若有最小值，解得，故本选项不符合题意；
C、若有最大值，则的值为4，故本选项不符合题意；
D、若有最小值，则，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，得到，根据二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置）
9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数为非负数即可求解．
【详解】解：根据二次根式的非负性可知：，
因此．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的非负性，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
10. 我国每年的碳排放量超过6000000000吨，数据6000000000用科学记数法可表示为________．
【答案】6×109
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：6000000000＝6×109．
故答案为：6×109．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：

．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式法是解答本题的关键．
12. 若一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是______________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据外角和求出边数即可．
【详解】解：多边形外角和为，
边数．
故答案为：
【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是解题关键．
13. 用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为，那么这张扇形纸板的圆心角为 ______°．
【答案】216
【解析】
【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．
【详解】解：∵扇形的半径为，做成的圆锥形帽子的高为，
∴圆锥的底面半径为，
∴底面周长为，即这张扇形纸板的弧长是，
∴，解得．
故答案为：216．
【点睛】本题考查圆锥和扇形的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长．
14. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为`x甲=82分，`x乙=82分，S2甲=245，S2乙=190．那么成绩较为整齐的是__________班
【答案】乙
【解析】
【分析】根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，根据方差越小，波动越小，故可由两班的方差得到结论．
【详解】∵S2甲＞S2乙∴成绩较为稳定的是乙．
故答案为乙．
【点睛】本题考查了方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15. 已知关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围__________．
【答案】且
【解析】
【分析】方程有两个不相等实数根，则根的判别式Δ＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零．
【详解】解：∵方程有两个不相等实数根，，
∴，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
16. 《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常快捷地解决这个问题，如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出相应的方程组，即可得到答案．
【详解】设鸡有只，兔有只，可列方程组为：

故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是明确题意，列出相应的方程组．
17. 若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是__________．
【答案】4或8
【解析】
【分析】化为整式方程2x＝a﹣4，当x＝0或x＝2时，分式方程有增根，分别求出a的值即可．
【详解】解：∵ ，
去分母得，3x﹣a+x＝2x﹣4，
整理得，2x＝a﹣4，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或x＝2，
当x＝0时，a＝4；
当x＝2时，a＝8．
故答案是4或8．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为0是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，然后再通过条件证得，，在中利用等面积法求得，再次根据勾股定理求得，最后参考点所在象限确定坐标即可．
【详解】解：如图，连接，交于点Q，

∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，
∴，，
∵，
∴，
在和中

∴，
∴，即点Q是的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，
过点Q作于点H，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点M是反比例函数上的点，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，
则
解得（负值已舍去），
则，，，
连接，作于G，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点第四象限，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题．
三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置）
19. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值，计算零指数幂，特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别解出每一个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其解集即可．
【详解】解：（1）


；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解一元一次不等式组，还涉及化简绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值．掌握实数的混合运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题关键．
20. 先化简：，然后在，，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出a的值，将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】



∵要使分式有意义，故且，
∴且，
∴时，原式．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
21. 初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、易、中、难；a，b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．
（1）从四份听力材料中，任选一份，其难度是易的概率是_________．
（2）分别从听力、口语材料中随机各选一份组成一套完整的模拟试卷，求两份材料难度都是易的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用列举法求概率即可；
（2）画树状图求出概率即可解题．
【小问1详解】
从四份听力材料中，任选一份，难易程度分别是易、易、中、难共种可能，选中易的有2种，所以难度是易的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图为：

分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷，可能出现的结果有8种，并且它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足两份材料难度都是易（记为事件A）的结果有2种，．所以．
【点睛】本题考查概率的计算，掌握列举法和树状图求概率是解题的关键．
22. 国家航天局消息：北京时间2021年5月15日，我国首次火星着陆任务宣告成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：

（1）此次调查中接受调查的人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 ；
（4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）43.2°；（4）该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人
【解析】
【分析】（1）从统计图中可以得到不关注、关注、比较关注的共有34人，占调查人数的68%，可求出调查人数；
（2）接受调查的人数乘以非常关注的百分比即可得到非常关注的人数，即可补全统计图；
（3）360°乘以关注”的比例即可得到“关注”对应扇形的圆心角度数；
（4）样本估计总体，样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”的占比68%，乘以该校人数900人即可求解．
【详解】解：（1）不关注、关注、比较关注的共有4+6+24＝34（人），占调查人数的1﹣32%＝68%，
∴此次调查中接受调查的人数为34÷68%＝50（人），
故答案为：50；
（2）50×32%＝16（人），
补全统计图如图所示：

（3）360°43.2°，
故答案为：43.2°；
（4）900828（人），
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人．
【点睛】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
23. 列方程解决实际问题：
某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
【答案】A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元
【解析】
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
24. 如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AC，若AC恰好平分∠EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得：AD＝BC，∠B＝∠D，AB＝DC，又由再CE＝AF可得DE＝BF，再根据SAS可得△ADE≌△CBF；
（2）先证明四边形AECF为平行四边形和AE＝EC，从而得出结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D．
∵CE＝AF，
∴DC―CE＝AB―AF，即DE＝BF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF．
（2）四边形AECF是菱形．理由如下：
如图所示：

□ABCD中，AB∥DC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
∵AB∥DC，CE＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵AE＝EC，
∴四边形AECF为菱形．
【点晴】考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定，解题关键是熟记其性质和判定．
25. 如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）是的切线，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，可根据角平分线的定义和等腰三角形综合得到，再根据平行线的性质可得，即可证出是的切线；
（2）根据勾股定理可求得，可得，，三角形为等腰三角形，，最后在三角形中根据“所对的直角边等于斜边的一半”即可求得答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设，在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是学会添加辅助线，灵活运用所学知识．
26. 阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．

（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是，则这个平行四边形的变形度是____；
猜想证明：
（2）若矩形的面积为，其变形后的平行四边形面积为，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图，在矩形中，是边上的一点，且，这个矩形发生变形后为平行四边形，为的对应点，连接，，若矩形的面积为，平行四边形的面积为，试求的度数．
【答案】（1）2 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到α=30°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；
（3）由已知条件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性质得到∠A1B1E1=∠A1D1B1，根据平行线的性质得到∠A1E1B1=∠C1B1E1，求得∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1E1B1+∠A1B1E1=∠A1B1C1，证得∠A1B1C1=45°，于是得到结论．
【小问1详解】
解：∵平行四边形有一个内角是150°，
∴α=30°，
∴ ；
故答案为： 2 ；
【小问2详解】
，理由如下：
如图，设矩形的长和宽分别为，，变形后的平行四边形的高为，

，，，

，
；
【小问3详解】
如图，，

，即，
，
∽，
，
，
，
，
由（2）知，，
可知，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似综合题，需要掌握平行四边形性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的理解“变形度”的定义是解题的关键．
27. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、周销售量y（件）、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400

（1）求y关于x的函数解析式；
（2）该商品的进价是______元/件，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【答案】（1）y关于x的函数解析式为
（2）40，该商品周销售利润的最大值2450
（3）m的值为5
【解析】
【分析】（1）根据题意设，将，分别代入即可解答；
（2）根据单件利润×数量=总利润列方程求出进价，根据总利润=数量乘以单件利润列出函数解析式，根据二次函数的性质即可求出最大利润；
（3）同（2）的方法列出函数解析式，再利用二次函数的的性质求出最大值，列出关于m的方程求解．
【小问1详解】
解：设，将，分别代入得

解得：，
∴y关于x的函数解析式为．
【小问2详解】
设进价为z元，则，
解得，
故进价为40元/件．
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，
w有最大值为元；
【小问3详解】
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大．
又∵，
∴当时，
w有最大值：．
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
28. 如图，已知中，，，，E是上的一点，，点D是线段上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接．

（1）求证：；
（2）若点F是上的一点，且，
①若与的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的（保留作图痕迹，不写作法）；
②求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②．
【解析】
【分析】（1）由线段的数量关系可得，可得结论；
（2）①由题意可得点是的角平分线与的交点，作的角平分线交于点D，则为所求图形；
②由相似三角形的性质可得，则当点E，点，点F三点共线时，有最小值，即有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵,,
∴，
∵沿折叠，点C与重合，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：①设点到的距离为x，点到的距离为y，
∵与的面积比是，
∴，
∴，
∴点在角平分线上，
∵沿折叠，
∴，
∴点在以点A为圆心，为半径的圆上，
∴则点是的角平分线与⊙A的交点，
如图所示：作的角平分线交于点D，则为所求图形；

②∵，
∴
∴，
∴
∴当点E，点，点F三点共线时，最小值，即有最小值，
如图，过点E作于H，

∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值．
【点睛】本题是相似三角形的判定和性质，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．