2023年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷

2022-2023年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列说法正确的是

A. 最小的整数是0

B. 互为相反数的两个数的绝对值相等

C. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

D. 有理数分为正数和负数

2. 下列说法的正确是

A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行

B. 如果两条直线被第三条直线所载，那么内错角必相等

C. 如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等

D. 如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直

3. 是大气中直径小于或等于的颗粒物，它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，就代表空气污染越严重．请将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 正确反映龟兔赛跑的图象是

A.  B.

C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.

C.  D.

6. 菱形和矩形都具有的性质是

A. 对角线互相垂直

B. 对角线相等

C. 对角线平分一组对角

D. 对角线互相平分并且是中心对称图形

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA：：3，若，则DE的长为

A. 5

B. 6

C. 9

D. 12

8. 如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么k、b应满足的条件是

A. ，且 B. ，且

C. ，且 D. ，且

9. 下列语句中正确的是

A. 长度相等的两条弧是等弧

B. 圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半

C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线

D. 三角形有且只有一个外接圆

10. 二次函数的图象开口方向是

A. 向下 B. 向左 C. 向上 D. 向右

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 分解因式：______

12. 若一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形有______条边．

13. 直线 y与反比例函数 的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若，则k的值为_________。

         第13题图 

14. 如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方形连续翻折2014次，依次得到点、、、、，则点的坐标是______．

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）

15. 计算：．

16. 已知关于x、y的二元一次方程组，它的解是正数．

求m的取值范围；

化简：．

17. 如图，把一张长方形的纸片按如图所示样子折叠，则重合部分的是什么形状，并说明理由．

18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，，求证：四边形EBFD是平行四边形．

19. 某校开展对学生“劳动习惯”情况的调查，为了解全校500名学生“主动做家务事”的情况，随机抽查了该校部分学生一周“主动做家务事”的次数，制成了如下的统计表和统计图．

根据以上信息，求在被抽查学生中，一周“主动做家务事”3次的人数；

若在被抽查学生中随机抽取1名，则抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是多少？

根据样本数据，估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数．

20. 如图，一艘海警船在A处发现北偏东方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？

21. A，B两地相距200千米，一辆汽车匀速从A地驶往B地，速度为单位：千米小时，驶完全程的时间为单位：小时．

关于t的函数表达式，并写出自变量t取值范围．

若速度每小时不超过60千米，那么从A地行驶到B地至少要行驶多少小时？

22. 香港的“公屋制度”解决了以上，约200万人口的居住问题．内地对公租房建设也多有讨论，但尚未有一个城市真正大规模尝试．重庆市建设公共租赁住房，意在重点解决“夹心层”的住房问题，力争城市保障性住房的“全覆盖”某班对学生以“公租房知识知多少”为主题进行了调查，该班的数学兴趣小组将本组的调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图：其中“A”表示“非常了解”，“B”表示“了解”，“C”表示“比较了解”，“D”表示“不了解”

根据上图，计算出该组的总人数，并将该条形统计图补充完整；

若该班共有50人，试估计该班对公租房非常了解的人数；

该数学兴趣小组决定从本组“非常了解”的同学中任选两名代表本班参加学校的公租房知识抢答竞赛．若该组“非常了解”的同学中有1名女生，请用画树状图的方法，求出所选两名同学恰好是一男一女的概率．

23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，、，以AB为直径画圆，点C为上一动点，

判断坐标原点O是否在上，并说明理由；

若点C在第一象限，过点C作轴，垂足为D，连接BC、AC，且，求证：CD与相切；当时，求线段BC的长；

若点C是的中点，试问随着m的变化点C的坐标是否发生变化，若不变，求出点C的坐标；若变化，请说明理由．

24. 如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以BC为斜边的等腰直角三角形．

填空：______；

求点A的坐标；

若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标．

25. 已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将沿直线AE翻折，点B落在点处．

当时， ______ cm，

当时，求的值；

当时点C与点E不重合，请写出翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，只要写出结论，不要解题过程．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：A、没有最小的整数，故选项错误，

B、互为相反数的两个数的绝对值相等，故选项正确；

C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故选项错误；

D、有理数分为正数、0和负数，故选项错误．

故选：B．

根据有理数的定义、相反数的定义和绝对值的性质即可作出判断．

本题主要考查了有理数的分类等相关知识，关键是要记住一些特殊的数字，如：0等．

2.答案：D

解析：解：如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行；不符合题意；理由如下：

如图1所示：直线AB和CD被直线EF所截，，

平分，HN平分，

，

与HN不平行；

B.如果两条直线被第三条直线所载，那么内错角必相等；不符合题意；理由如下：

如图1所示：直线AB和CD被直线EF所截，；

C.如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等；不符合题意；理由如下：

如图2所示：

在平行四边形ABCD中，，，，

D.如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直；符合题意；理由如下：

如图3所示：

，PG平分，PH平分，

，

，

；

故选：D．

由平行线的判定与性质得出选项A、选项B、选项C不符合题意，选项D符合题意，即可得出结论．

本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

3.答案：C

解析：解：．

故选：C．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4.答案：C

解析：解：A、这个图象可以得到兔子先到，过错误；

B、根据图象得到：兔子跑了一段路程以后就再没跑，与故事不符，故错误；

C、正确；

D、通过图象可以得到：兔子第二次跑的速度小于开始跑的速度，与故事不符，故错误．

故选C．

根据图象可以得到表示乌龟的路程与时间的关系，表示兔子的路程与时间的关系，根据图象判断运动情况，与故事内容比较，进行排除答案即可．

分清每个图象各自代表的意义，根据图象的倾斜度判断运动的速度快慢是解决本题的关键．

5.答案：B

解析：解：A、，错误；

B、，正确；

C、，错误；

D、，错误；

故选B

根据单项式的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法计算判断即可．

此题考查了单项式的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6.答案：D

解析：解：菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分并且是中心对称图形，

故选：D．

根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案．

此题主要考查了菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

7.答案：C

解析：解：与是位似图形，

，

∽，

，即，

解得，，

故选：C．

根据位似图形的概念得到，进而得到与，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．

本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．

8.答案：B

解析：解：由一次函数的图象经过第一、三、四象限，得，．

故选：B．

经过第一、三象限，说明x的系数大于0，得，又经过第四象限，说明常数项小于0，即，即可确定k的取值范围．

本题考查的知识点为：一次函数图象经过第一、三、四象限，说明x的系数大于0，常数项小于0．

9.答案：D

解析：解：A、长度相等的弧叫做等弧，错误，应该是完全重合的两条弧叫做等弧；故不符合题意；

B、圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半，错误，应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；故不符合题意；

C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线；错误，应该是垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线；故不符合题意；

D、三角形有且只有一个外接圆正确；故符合题意；

故选：D．

根据等弧、垂径定理、切线的性质、圆周角定理即可一一判断．

本题考查等弧、垂径定理、切线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10.答案：A

解析：解：二次函数的，

开口向下，

故选：A．

根据二次函数二次项的系数的符号确定开口方向即可．

考查了二次函数的性质，二次函数的二次项的系数决定了开口的方向，难度较小．

11.答案：

解析：解：

．

故答案为：．

首先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式得出答案．

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

12.答案：10

解析：解：一个多边形的每个外角都等于，

多边形的边数为．

即该多边形由10条边．

故答案是：10．

多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数．

本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是．

13.答案：

解析：

14.答案：

解析：解：等边三角形的边长为2，

点的坐标为，

点的横坐标为，

纵坐标为，

点的坐标为

故答案为：

根据等边三角形的性质求出点的坐标，再根据翻折一次相应的点的横坐标增加2，纵坐标不变求解即可．

本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，观察图形发现每翻折一次相应的点的横坐标增加2是解题的关键．

15.答案：解：原式

．

解析：原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．

此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16.答案：解：解关于x、y的二元一次方程组，得，

方程组的解是一对正数，

，

解得；

，

当时，

，，，

；

当时，

，，，

．

解析：先解方程组，用含m的式子表示出x、y，再根据方程组的解是一对正数列出关于m的不等式组，解之可得；

根据m的取值范围判断出，与的范围，再根据绝对值的性质化简即可．

本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．解题的关键是根据题意列出关于m的不等式组及绝对值的性质．

17.答案：解：重合部分是等腰三角形．

由折叠可知，，

又，

，

，

．

是等腰三角形．

解析：欲证是等腰三角形，又已知，由折叠可知，，可利用三角形中两内角相等来证等腰．

本题考查了图形的折叠，解题过程中注意以下三点：折叠时重合的图形全等；两直线平行的性质；等腰三角形的判定．

18.答案：证明：连接BD，交AC于点O，

四边形ABCD是平行四边形，

，，

，

，

即，

四边形EBFD是平行四边形．

解析：首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得，，又由，可得，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．

本题考查了平行四边的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

19.答案：解：人，

人．

答：一周“主动做家务事”3次的人数是16人；

．

答：抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是；

人．

答：估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数是160人．

解析：本题考查了利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

先用一周“主动做家务事”0次的人数除以所占的百分比求出被抽查学生人数，再分别减去“主动做家务事”0、1、2、4次的人数即可求解；

让一周“主动做家务事”不多于2次的人数除以被抽查学生人数即为所求的概率；

用样本估计总体可求全校学生一周“主动做家务事”3次的人数．

20.答案：解：如图，设t小时追上了货船，则，，

由题意，，，

，，，

在中，，

解得或舍弃，

答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间2小时．

解析：如图，设t小时追上了货船，则，，在中，根据勾股定理可得，解方程即可解决问题．

本题考查解直角三角形的应用方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．

21.答案：解：由题意，可得；

，

，

解得．

即从A地行驶到B地至少要行驶小时．

解析：根据速度路程时间即可得出v关于t的函数表达式，进而写出自变量t取值范围；

根据速度每小时不超过60千米列出不等式，即可求解．

本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．

22.答案：解：该组的总人数人，

A的人数：人，

D的人数为：，

补图如下：

人，

答：估计该班对公租房非常了解的人数约为15人；

画树状图如下：

共有6种情况，每种情况可能性相等，所选两名同学恰好是一男一女有4种情况，

所以，所选两名同学恰好是一男一女．

解析：根据B的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出总人数，然后根据A所占的百分比求出A的人数，再求出D的人数，补全统计图即可；

用总人数乘以“非常了解”的A所占的百分比，计算即可得解；

画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．

23.答案：解：坐标原点O在上，

理由：、，

点A，点B分别在x轴和y轴上，

以AB为直径画圆，，

坐标原点O在上；

连接CP并延长交x轴于E，过P作于F，如图1，

是的直径，

，

，

，

，

，

，

与相切；

，

，，

，

轴，轴，

，，

，，

四边形OECD及四边形OEPF是矩形，

点P是AB的中点，

，，

，

，

；

不变，

理由：过点C作轴于点M，轴于点N，如图2，

则四边形ONCM是矩形，

，

，

，

点C是的中点，

，

，

在与中，

≌，

，，

四边形ONCM为正方形，

设，

，

，

得，

．

解析：本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

根据圆周角定理即可得到结论；

连接CP并延长交x轴于E，过P作于F，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；

根据勾股定理得到，进而得到，，于是得到结论；

过点C作轴于点M，轴于点N，由点C是的中点，得到，推出，证明≌，推出四边形ONCM为正方形，再根据等量关系即可得到结论．

24.答案：解：；

分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，

则，

三角形ABC是等腰直角三角形，

，，

，，

．

，

，

设，，

在上，

，即．

在和中，

，

≌，

，，

，即，

，

，

，

，

即点A的坐标是；

设，则，

由可知，

，，

为等腰三角形，

有、和三种情况，

当时，则，解得舍去或，此时D点坐标为；

当时，则，解得或，此时D点坐标为或；

当时，则，解得，此时D点坐标为；

综上可知D点坐标为或或或．

解析：

本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在中注意函数图象上点的坐标满足函数解析式，在中构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键，在中设出D点坐标，表示出OD、CD和OC的长，得到关于D点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

把B点代入双曲线，可求得k的值；

过C作轴，过B作轴，可证明≌，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得OA的长，可求得A点坐标；

设，由C点坐标，则可分别表示出CO、CD和OD，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标．

解：点在双曲线上，

，

故答案为9；

见答案；

见答案．

25.答案：

如图当点E在BC上时，延长交DC于点M．

，∽，，；

，；又，，令，则，在

中，由勾股定理得：，解得，

．

如图当点E在BC延长线上时，延长AD交于点N，

同可得设，则，

在中，由勾股定理，得，解得，

，．

当点E在BC上时，

当点E在BC延长线上时，

解析：解：当时，，

．

，

．

见答案

当时，正方形ABCD的边长为6cm，翻折后与正方形ABCD公共部分的面积分两种情况：

当点E在BC上时．

，

，，

，即．

当点E在BC延长线上时，的面积为所求．

，，

又，

，；

，

．

当时，由，得，由，CF可求．

当时，点E在线段AB上时，延长交DC于点M，求的值，即求的值，由，可得∽，即得，又，可得；由，又，可得，即设，则，在中，由勾股定理得：，解得得，即的值可求．点E在不在线段AB上时，如图2所示，求的值，即是求的值，同理可求．

当时，求翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，同理需分两种情况，动点的位置在线段BC上，所求的面积即为的面积；动点的位置不在线段BC上，的面积为所求．

此题综合考查函数、正方形，平行线分线段成比例定理、图形的旋转、等知识点．分类讨论的思想，综合性强．