2023年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学五模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学五模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是把一个正方体切割掉一部分后得到的几何体，则它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在中，，平分交于点，若，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线分别与轴、直线交于点、，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接若，且，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，内接于，点是的中点，是的直径若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  抛物线为常数开口向上，且过点，，下列结论：；若点，都在抛物线上，则；；若方程没有实数根，则，其中正确结论的序号为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  在，，，，中，有理数有______ 个

10.  “动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则的值为______ ．

11.  如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则图中点的坐标为______ ．

12.  如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点、是轴负半轴上的两点，且，，若的面积为，则的值为______ ．

13.  如图，点是正方形的边上一点，点是线段上一点，过点作的垂线交延长线于点，且，连接、，若，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
化简：．

16.  本小题分
解不等式组．

17.  本小题分
尺规作图：已知，在中，，为边中点，在边上找一点，使得不写作法，保留作图痕迹

18.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点的顶点、的坐标分别为、．
请在图中正确画出平面直角坐标系；
请作出关于轴对称的，点，，的对应点分别是，，；
点的坐标为______ ．

19.  本小题分
如图，在▱中，，为对角线所在直线上的两个点，且，连接，求证：．

20.  本小题分
数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动
若转动一次盘，则转出红色的概率是______ ．
若同时转动盘和盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．

21.  本小题分
航空航天技术是一个国家综合国力的反映我国载人航天空间站工程已进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等次重大任务，为了庆祝我国航天事业的莲勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分满分分，评分结果有分，分，分，分，分五种每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题：

补全条形统计图；
所抽取作品成绩的众数为______ ，中位数为______ ，扇形统计图中分所对应的扇形的圆心角为______ ；
已知该校收到书画作品共份，请估计得分为分及分以上的书画作品大约有多少份？

22.  本小题分
为了缓解城市“停车难”问题，我市通过打造“智慧停车平台”，为市民提供便捷的停车服务某停车场收费标准如下：不足小时，按小时计

若张先生某次在该停车场停车小时分钟，共交费元，则 ______ ；
若停车时长为小时取整数且，求该停车场停车费元关于停车计时小时的函数解析式；若李先生也在该停车场停车，并支付了元停车费，则该停车场是按几个小时计时收费的？

23.  本小题分
月日，第届陕西省青少年科技创新大赛在我校隆重开幕，举办青少年科技创新大赛有利于激发青少年的好奇心和探求欲，有利于培养青少年的创新精神和实践能力开幕式会场观众席呈阶梯状，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，请你根据以上信息求出前方屏幕的高度参考数据：，，，，，

24.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是切线；
若直径，，求的长．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：过点和与轴交于点，两点在左侧，与轴交于点．
求抛物线的解析式及，两点的坐标；
将抛物线平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，直线交轴于点，点为抛物线的顶点，在轴下方是否存在点，使得与相似？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

26.  本小题分
问题探究：
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______ ；

如图，菱形中，，，点在上，点在上，若平分菱形的面积，且线段的长度最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时的长度．
问题解决：
合理开发利用土地资源能为人类持续创造更多财富，如图，现有一块四边形空地计划改造利用，经测量，，，，，是边上的一个移动观测点，过边上一点修一条垂直于的笔直小路小路宽度不计，交边于点，在垂足处建一凉亭，在凉亭和顶点之间修一条绿化带宽度不计，请问是否存在平分四边形土地的面积？若存在，求出在平分四边形土地的面积时绿化带长度的最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
化简的结果是，
故选：．
根据平方运算，可得算术平方根．
本题考查了算术平方根，平方运算是求算术平方根的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左面看，是一个长方形，且中间有一条虚线，
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意看得见的部分为实线，看不见的部分为虚线．
本题考查简单几何体的三视图，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C符合题意；

，
选项D不符合题意．
故选：．
根据积的乘方的运算方法，整式加减乘除的运算方法，逐项判断即可，计算时，可以应用完全平方公式．
此题主要考查了积的乘方的运算方法，整式加减乘除的运算方法，注意运算顺序，注意“整体”思想在整式运算中的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：作于，于，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点到的距离为．
故选：．
作于，于，由角平分线的性质得到，由等腰直角三角形的性质求出的长，即可解决问题．
本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，关键是作于，于，由角平分线的性质得到．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，令，得，
解得，
，，
的面积，
故选：．
根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了两直线相交问题，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确地理解题意是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接交于，
，
，
，，
，
四边形是菱形，
，，
的面积，
，
，
，
．
故选：．
连接交于，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长，由菱形的性质即可求出的长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，关键是连接，由菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，求出的长．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
，
是等边三角形，
，
，
是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
故选：．
连接，先根据圆周角定理可得，从而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据已知可得，从而可得，最后根据等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
过点，，
，，
，
，故正确；
抛物线过点，，
，，
，故错误；
根据题意得，
，
当时，有，
，
，故错误；
若方程没有实数根，即抛物线与直线没有交点，
顶点的纵坐标，
，
，
，故正确，
故选：．
根据题意得出时函数值的符号和时函数的值，以及顶点的纵坐标即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，决定抛物线的开口方向和大小，联同决定对称轴的位置，决定图象与轴的交点位置，还有轴上方的点对应的，下方的点对应的．
 

9.【答案】 

【解析】解：是有理数，是有理数，是无理数，是无理数，是有理数，
有理数有，，，共个．
故答案为：．
根据有理数的定义整数和分数统称为有理数解决此题．
本题主要考查有理数，熟练掌握有理数的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正边形的一个内角，
则，
解得．
故答案为：．
根据平面镶嵌的条件，先求出正边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出的值．
本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式．
 

11.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
矩形与矩形的相似比为：：，
矩形与矩形的位似比为：，
：：，
即：：，
解得，
点．
故答案为：．
利用点和点的坐标得到，，则可得到矩形与矩形的相似比为：，所以矩形与矩形的位似比为：，即：：，然后求出的长，从而得到点的坐标．
本题考查了位似变换：两个位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点，位似比等于相似比．也考查了坐标与图形性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，
，的面积为，
．
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：．
过点作于点，连接，根据可知，再由可知，故可得出，进而可得出的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作延长线于点，

，，
是等腰直角三角形，
，，
在正方形中，，，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
过点作延长线于点，根据题意可得是等腰直角三角形，根据正方形的性质证明≌，可以证明，然后利用勾股定理得，再证明是等腰直角三角形，利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解决本题的关键是准确作出辅助线构造等腰直角三角形．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先通分，再根据分式加法法则计算，再分解因式，最后约分．
本题主要考查分式的混合运算，把分式化到最简是解答的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
故原不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，线段即为所求．
 

【解析】作于点即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，直角坐标系即为所求作：
如图，即为所求作；

点的坐标为，
故答案为：．
根据点、的坐标作出直角坐标系；
分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接；
根据写出的坐标即可．
本题考查了作图轴对称变换，掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，由证明≌，得出对应边相等即可．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等和平行四边形是解决问题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：转动一次盘，则转出红色的概率是，
故答案为：；
根据题意列表如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中配成紫色的的情况有种，
配成紫色的概率是 ．
直接由概率公式求解即可；
根据题意列表，共有种等可能的结果，其中配成紫色的的情况有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】     

【解析】解：随机抽取的总作品数是：份，
分的作品数是：份，
补全统计图如下：

所抽取作品成绩出现次数最多的是分，
所抽取作品成绩的众数是；
把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则中位数是，
扇形统计图中分所对应的扇形的圆心角为：，
故答案为：，，；
份，
估计得分为分及分以上的书画作品大约有份．
根据分的份数和所占的百分比，求出抽取的总作品数，再用总数减去其它份数，求出分的作品数，从而补全统计图；
根据众数、众数的计算公式分别进行计算，扇形统计图中分所对应的扇形的圆心角为乘以分所占总份数的比值；
用该校的总作品数乘以得分为分及分以上的书画作品所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：张先生某次在该停车场停车小时分钟，共交费元，
，
，
故答案为：．
停车费元关于停车计时小时的函数解析式为：，
即，
令，有，
，
答：该停车场是按个小时计时收费的．
根据张先生某次在该停车场停车小时分钟，共交费元，列出方程即可求解．
根据题意得出：停车费元关于停车计时小时的函数解析式，令，求出的值即可．
本题考查了一次函数的实际应用，解决本题的关键是理解停车场收费标准分为规定时间的费用超过规定时间的费用．
 

23.【答案】解：如图：延长交于点，延长交于点，

由题意得：，，，，，
设，则，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
前方屏幕的高度约为． 

【解析】延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，然后设，则，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

25.【答案】解：把和代入得：
，
解得，
，
在中，令得：
，
解得或，
，；
抛物线的解析式为，的坐标为，的坐标为；
在轴下方存在点，使得与相似，理由如下：
在中，令得，
，
将抛物线：平移后得到抛物线，抛物线的对称轴为直线，直线交轴于点，
，
，
设抛物线的解析式为，则，
当∽时，如图：

，即，
，
抛物线的解析式为；
当∽时，如图：

，即，
，
抛物线的解析式为；
综上所述，抛物线的解析式为或． 

【解析】用待定系数法可得，令即可得，；
由得，根据将抛物线：平移后得到抛物线，抛物线的对称轴为直线，直线交轴于点，可得，，设抛物线的解析式为，则，分两种情况：当∽时，可得，解方程可求得抛物线的解析式为；当∽时，同理可得抛物线的解析式为．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，设以为直径的半圆的圆心为，连接交于点，此时有最小值，

则，
，
，
，
，
，
故答案为：；
连接，交于，过作于，交于，过点作于，

四边形是菱形，点在线段上，
线段平分菱形的的面积，
，
线段有最小值，
，，
是等边三角形，
，
，
，
；
取的中点，过作于，交的延长线于，连接，取的中点，连接并延长交于，过作于，交于，取的中点，过作于，作以为直径的，
，，
，
四边形是矩形，
．
，
点是线段的中点，平分矩形的面积，
过的中点，
为的中点，，
，
，
，，
，，，
≌，
平分平行四边形的面积，
，
，，
，
，
，

，
，
，
，
为等边三角形，，
，
点在以为直径的圆上，
点是以为直径的圆的圆心，，
当，，三点共线时，有最小值，
，
，
，
，
，
，
的最小值．
设一为直径的半圆的圆心为，连接交于点，根据勾股定理求出的值即可；
连接，交于点，过点作于，交于，过点作于，根据菱形的性质得到直线平分菱形的面积，当时，有最小值，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求出，于是得到结论；
取的中点，过作于，交的延长线于，连接，取的中点，连接并延长交于，过作于，交于，取的中点，过作于，作以为直径的，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到直线平分矩形的面积，证得≌，可知平分平行四边形的面积，再证点在以为直径的圆上，解直角三角形分别取出，，，，和的长，当，，三点共线时，有最小值，求出即可．
本题是圆是综合题，考查了圆的性质，平行四边形的判定和性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．