2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学等校中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学等校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知一组数据：，，，，，，，这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，，，，以所在直线为轴，把旋转周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何”丈、尺是长度单位，丈尺其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度是多少？则水深为(    )

A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺

7.  王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图、、第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上；第三步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上已知，，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线在中，，若过顶点能画出两条相似线，则的度数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  使在实数范围内有意义的的取值范围是______．

10.  分解因式：______．

11.  已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为______．

12.  已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
 

13.  一副直角三角板，，，，按图中所示位置摆放，点在边上，，则的度数为______ 度

14.  与一边切于点，与另一边交于点，，，，则的长是______ 结果保留

15.  如图，已知中，，．
按下列步骤作图：
步骤：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、；
步骤：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
步骤：作射线交于点．
那么线段的长为        ．

16.  如图，四边形中，，动点，均以的速度同时从点出发，其中点沿折线运动到点停止，点沿运动到点停止，设运动时间为，的面积为，则与的函数图象如图所示，则 ______ ．
 

三、解答题（本大题共11小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
解不等式组．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，点是边的中点，的延长线与的延长线相交于点．
求证：≌；
试连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论．

21.  本小题分
某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是多少请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程
用树状图或列表法表示乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是______ ．

22.  本小题分
加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：
A.小时以下
B.小时不包含小时
C.小时包含小时
D.小时以上
图、图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
填空：本次问卷调查一共调查了______ 名学生；
请将图的条形统计图补充完整，并求出图中部分所对应的圆心角度数；
若该校共有名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在小时以上包含小时？
 

23.  本小题分
某天小明在家锻炼身体第一组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量大卡大卡是热量单位；第二组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量大卡每个动作之间的衔接时间忽略不计．
小明做每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
若小明只做波比跳和深蹲两个动作，每个波比跳耗时秒，每个深蹲也耗时秒，小明想要通过分钟的锻炼，消耗至少大卡，至少要做多少个波比跳？

24.  本小题分
如图，在中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．
若点是边的中点，求直线和反比例函数的表达式．
将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点，交轴于点，若点的纵坐标为，求的值．

25.  本小题分
水巷小桥多，是苏州特色之一古人咏苏州之桥，诗有“东西南北桥相望”，“画桥三百映江城“之句在宋平江图上，可以数到三百五十九座桥梁桥的结构为拱式环洞，也有弧形的桥拱弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形图某校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为，建立了数学模型，得到了多个方案．

如图，从点处测得桥拱上点处的仰角为，，求的值用含的代数式表示
如图，在上任取一点不与、重合，作，若，，，求的值．
如图，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：，，米，求半径结果精确到参考数据：，，，，，

26.  本小题分
已知抛物线，抛物线的顶点的为．
若函数图象经过，对称轴是过且垂直于轴的直线，求、的值和顶点坐标；
若，，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围；
若，直接写出抛物线的顶点与原点的距离的最小值．

27.  本小题分
如图，矩形，是上的一点，连接，过作的垂线交矩形外角的平分线于点，．
若是边中点．
求的值用含的代数式表示．
连接交于点，连接，若，求的值．
若，请直接写出的值用含、的代数式表示．
如图，为边上一点，连接，，，若，，且，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
实数，，，中，．
故个实数中最小的实数是：．
故选：．
直接利用实数比较大小的方法得出答案．
此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：出现的次数最多，
众数为，
将这组数据按照从小到大的顺序排列：、、、、、、，
中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握相关定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，
选项运算不正确，不符合题意；
，
选项运算正确，符合题意；
，
选项运算不正确，不符合题意；
，
选项运算不正确，不符合题意．
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方法则，正确利用上述法则对每个选项进行判断是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键．
先利用勾股定理求解得到母线长为，再运用公式求解即可．
【解答】
解：在中，，，，
，
由已知得，母线长，半径为，
圆锥的侧面积是．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理，得，
解得，
水深为尺，
故选：．
设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理列方程，解出即可．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，，，
，
由第一步折叠可得，，，
由第一步折叠可得，，，
，
四边形为平行四边形，
，，
平行四边形为正方形，
，
，
在中，，
根据第三步折叠可得，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，，以此得出，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得，进而得到，则，于是，即可求解．
本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，当时，

若，则∽，∽，
所以过点存在两条相似线．
故选：．
利用特殊值法解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查了二次根式的意义和性质，二次根式中的被开方数必须是非负数．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
符合完全平方公式的结构特点，利用完全平方公式分解因式即可．
本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过，则，
则，
故，
由图象可知：，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用图象把代入，进而得出，之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象与系数的关系，正确得出与之间的关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，设与交点为，

，，，
，，
，
，
又是的外角，
，
，
故答案为：．
依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：设所在圆的圆心为点，连接、，过点作于点，如图，设的半径为，
与相切，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
在中，，
解得，
，
，
，
，
的长度
故答案为：
设所在圆的圆心为点，连接、，过点作于点，如图，设的半径为，根据切线的性质得到，再证明四边形为矩形的，，，接着在中利用勾股定理得到，解方程求出得，，然后利用正弦的定义求出，所以，最后利用弧长公式计算出的长度．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式和解直角三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，为的平分线，
，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，
，，
∽，
，即，
解得或舍去，
．
故答案为：．
由题意得，为的平分线，可得，进而可得，设，则，结合已知条件证明∽，则，即，求出的值，即可得出答案．
本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图所示：

当时，到达点，即，此时，
，
，
当时，点到达点，此时点已停止运动，此时，，
，
此时的高也为，
，
，
故答案为：．
结合图象可知当时，点到达点，此时，，从而可求出此时的高，当时，点到达点，点已经停止，此时，由，可知此时的高也为，再根据三角形的面积公式即可求出的长．
本题考查动点问题的函数图象，平行线间的距离，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
 

17.【答案】解：原式 

【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：，
方程两都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是． 

【解析】方程两都乘得出，再求出方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：解不等式，得
，
解不等式，得
，
故不等式组的解集是：． 

【解析】分别将每个一元一次不等式求解，然后求出公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，
是的中点，
．
≌．

解：四边形是平行四边形．
≌，

又
四边形是平行四边形． 

【解析】可用证明≌；
四边形是平行四边形，可用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
此题主要考查平行四边形的判定和全等三角形的判定．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
 

21.【答案】 

【解析】解：甲同学随机选择连续的两天，共有个等可能的结果，即星期一，星期二，星期二，星期三，星期三，星期四，
其中有一天是星期二的结果有个，即星期一，星期二，星期二，星期三，
甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是，
把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：、、、，
画树状图如图所示：

由树状图可知，共有个等可能的结果，乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的结果有个，
乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为．
故答案为：．
甲同学随机选择连续的两天，共有个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有个，再由概率公式即可得出结果；
画树状图，共有种等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有种，再由概率公式即可得出结果．
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是正确画出树状图，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】 

【解析】解：本次问卷调查一共调查的学生数是：名．
故答案为：；

劳动的时间在小时以上的人数有：名，补全统计图如下：

部分所对应的圆心角度数是；

根据题意得：
名，
答：
估计全校可能有名学生每周在家参加家务劳动的时间在小时以上包含小时．
根据选项人数及其占被调查人数的比例计算即可得出答案．
用总人数减去其他选项的人数求出选项的人数，即可补全统计图；用乘以部分所占的百分比即可得出部分所对应的圆心角度数；
用该校的总人数乘以每周在家参加家务劳动的时间在小时以上包含小时的人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，学会用样本估计总体的思想解决问题，属于基础题，中考常考题型．
 

23.【答案】解：设小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡，
根据题意，得，
解得，
答：小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡；
设小明做个波比跳，
根据题意，得，
解得，
取得最小正整数为，
答：至少要做个波比跳． 

【解析】设小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡，根据第一组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量大卡；第二组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量大卡，列二元一次方程组，求解即可；
设小明做个波比跳，根据小明想要通过分钟的锻炼，消耗至少大卡，列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，，，轴，垂足为，
，
点是边的中点，
为的中点，
，，
设直线为，
，
解得，
直线为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
作轴于，
由题意可知，
点的纵坐标为，
，
，
，即，
，
，
设，则，
反比例函数的图象过点、，
，
，
． 

【解析】根据题意求得，，然后利用待定系数法即可求得线和反比例函数的表达式；
作轴于，由题意可知，利用平行线分线段成比例定理得出，即可求得，设，则，代入反比例函数解析式得到，即可求得．
本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得交点坐标是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：如图，设所在的圆为，连接，，
则，
，
是正三角形，
，
即；
如图，设所在的圆为，过点作，交的延长线于点，作于点，
则，
，
，
即，
，
，
，
在中，，
即；
如图，设所在的圆为，作直径，连接，
则，，
在中，，，
，
米，
米，
答：半径约为米． 

【解析】根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可得答案；
根据垂径定理，相似三角形的性质进行计算即可；
根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握垂径定理、直角三角形的边角关系以及圆周角定理是正确解答的前提．
 

26.【答案】解：函数图象经过，对称轴是过且垂直于轴的直线，
，
解得，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
，
抛物线为，
抛物线的顶点的为，
，，
，
，
，
，
，
时，；
时，，
的取值范围是；
，
抛物线为，
，
，
，
，
的最小值为，
顶点与原点的距离的最小值为． 

【解析】利用待定系数法即可求得、，从而求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
由抛物线的顶点的为，即可得到，，从而得到，，由得出，利用二次函数的性质和二次函数的最值即可求得的取值范围；
由抛物线的顶点为，即可得到，，即，利用勾股定理得到，则的最小值为，从而求得顶点与原点的距离的最小值为．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：在上取，连接，

四边形是矩形，
，且，
，则，
是的角平分线，
，则，
，
，
在中，，且，
，
∽，
，
是的中点，
，，
，
，
，
；
，，
即是等腰直角三角形，
，
由可知，∽，，
，
则，
即，
；
解：由可知，在上取，可得∽，
，
，
，
，
；
解：如图所示，延长，交于点，过点作于点，过点作于点，

，，
为等腰直角三角形，
，
，四边形为矩形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，，，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，，
≌，
，
，
，
为的中线，
在中，，，
，
，
即． 

【解析】在上，根据矩形，，可证与相似，根据相似三角形的性质解答即可；
根据中的证明方法解答即可；
延长，交于点，过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的判定得出是等腰直角三角形，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
此题是几何综合题，考查矩形、全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的综合，关键是掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的解答．