2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区五校联盟八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区五校联盟八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较小的内角是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列叙述错误的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形

7.  如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，点，，分别在边，，上，，，则四边形的周长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，平行四边形，对角线、交于点，过点的直线与、交于点、，若的面积是，的面积是，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  观察下列各方格图中阴影部分所示的图形每一小方格的边长为，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  已知某种新型感冒病毒的直径为米，将用科学记数法表示为______ ．

12.  计算的结果是______．

13.  因式分解：______．

14.  数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为如图，则，两点的距离是          
 

15.  如图，在中，是斜边上的中线，度，则______度．
 

16.  一个圆锥的高，底面半径，则的长是______ ．

17.  在中，，高，则 ______ 用含的式子表示．

18.  如图，有一张长方形纸片，，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为______．

19.  如图，平行四边形的对角线、交于点，，且，，则线段的长为______ ．

20.  平行四边形，，连接，点在上，，连接，是以为腰的等腰三角形，则的度数为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

21.  为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少元，且元购买绳子的数量与元购买实心球的数量相同．
绳子和实心球的单价各是多少元？
如果本次购买的总费用为元，且购买绳子的数量是实心球数量的倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

23.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出，使，点在小正方形的顶点上；
在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形点，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为．
连接，请直接写出线段的长．

24.  本小题分
在中，，．

如图，当时，求；
如图，当时，求．

25.  本小题分
如图，平行四边形，连接，过点作于，点在上且，连接，过点作交的延长线于点．

求证：四边形是矩形；
如图，连接、、，当时，在不添加辅助线和字母的情况下，直接写出图中的所有等腰三角形．

26.  本小题分
如图，四边形，连接，．

求证：；
如图，作的平分线交的延长线于点，交于点，连接，当时，求证：；
如图，在的条件下，过点作于，连接，若，的面积是，求线段的长．

27.  本小题分
如图，平面直角坐标中，为坐标原点，点、都在坐标轴上，，连接，，矩形的面积是．

求点坐标；
如图，点、分别在线段、上，，连接，当四边形是平行四边形时，求点坐标；
如图，在的条件下，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接、、，点在上，连接，，连接并延长交轴于点，连接，当时，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】A.，正确，符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故不正确，不符合题意；
C.，故不正确，不符合题意；
D.，故不正确，不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则和完全平方公式逐项分析即可．
本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则和完全平方公式是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据分式有意义的条件：分母不为，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合条件；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，要求学生熟练掌握这个逆定理．
根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】
解：、，不能构成直角三角形，故A错误；
B、，能构成直角三角形，故B正确；
C、，不能构成直角三角形，故C错误；
D、，不能构成直角三角形，故D错误．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
：：，
，
故选C．
根据平行四边形的性质得出，推出，根据：：，求出即可．
本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：、平行四边形的对角线互相平分，
选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等，
选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，
选项C不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出的度数．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【解答】
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，，，
，
，
，，
，，
四边形的周长是，
四边形的周长是，
，
四边形的周长是，
故选：．
根据，，可以得到四边形是平行四边形，，，再根据和等量代换，即可求得四边形的周长．
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为和的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
同理可求，
．
故选：．
先根据证明≌，得，则，再由，得，进而可求四边形的面积．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为，选项B、、阴影部分的面积均为，
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、、拼接成的正方形的边长为，
观察图形可知，选项B、、阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图所示的个图形，由此可拼接成如图所示的边长为的正方形，

而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形．
故选：．
先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．
本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．
此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
利用三角形中位线定理解决问题即可．
本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，
是斜边上的中线，
，
，
，
故答案为：．
在中，根据是斜边上的中线，得，可求出，再根据角的和差即可解决问题．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，
，底面半径，
，
故答案为：．
根据母线、底面半径和高构成直角三角形利用勾股定理求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解母线、底面半径和高构成直角三角形．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
为等边三角形，
，
是的高，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意可得为等边三角形，由，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为．
由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：设，则，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
线段的长为，
故答案为：．
设，则，由平行四边形的性质得到，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键．
 

20.【答案】或 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
当时，
，
，
，，
，
，
，
，

当时，
，
，
平行四边形为菱形，
平分，

综上所述的度数为或．
故答案为：或．
根据平行四边形的性质得到，，，根据等腰三角的性质，分当和两种情况进行讨论即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的分类讨论是解题的关键．
 

21.【答案】解：设绳子的单价为元，则实心球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验可知是所列分式方程的解，且满足实际意义，
，
答：绳子的单价为元，实心球的单价为元．
设购买实心球的数量为个，则购买绳子的数量为条，
根据题意，得，
解得，
，
答：购买绳子的数量为条，购买实心球的数量为个． 

【解析】设绳子的单价为元，则实心球的单价为元，根据数量总价单价且元购买绳子的数量与元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
设购买实心球的数量为个，则购买绳子的数量为条，根据费用等于单价数量列出方程解答即可．
本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程．
 

22.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
 

23.【答案】解：如图所示．即为所求作的三角形；
如图所示；

由勾股定理可得：． 

【解析】取格点，满足，，从而可得答案；
取格点，，满足，，此时平行四边形的面积为，从而可得答案；
直接利用勾股定理进行计算即可．
本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行四边形的判定，熟练的利用勾股定理及其逆定理，平行四边形的性质进行作图是解本题的关键．
 

24.【答案】解：，，设，则，
，
，
，
，
．
作于，

，
，，
，
在中，
，，
，
，
，
． 

【解析】由，，可设，则，由勾股定理得到，由，求得，即可得到的长度；
作于，则，得到，，即可得到，在中，由，得到，由，得到，勾股定理即可得到的长度．
此题考查了勾股定理、含角的直角三角形性质、等角对等边等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
 

25.【答案】证明：平行四边形，
，，
．
又，
≌，
．
，
，
．
，
．

四边形是矩形．


解：四边形是矩形，
，
．
又≌，
，
四边形是平行四边形．
，
，，是等腰三角形，
，，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
图中的等腰三角形有：，，，． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，进而得出≌，最后利用得出结论；
先利用四边形是矩形，得出，再得出四边形是平行四边形，最后利用等腰三角形的判断得出结果．
本题考查了矩形和平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质及判定是解题的关键．
 

26.【答案】证明：设，，

则，
，
，
，，
，
；
证明：由得，
，
平分，，
垂直平分，
，
，
，
．
过点作交的延长线于点，

，
，
，
，
．
，
≌，
，．
在中，，
．
，
；
解：由知．
，
，
，
．
作于点，

，
四边形是矩形，

，
，
，
，
，
设，则，
．
在中，
，
，
，
，
．
在中，． 

【解析】设，，可得，由等腰三角形的性质表示出、，然后根据整理即可；
由的结论可求，进而可证垂直平分，求出，过点作交的延长线于点，根据证明≌，得出，，由勾股定理可求，进而可证结论成立；
由知，结合可证，作，证明四边形是矩形，可得，由，可求，设，可得，求出，根据求出，然后在中可求出的长．
本题考查了四边形的综合应用，掌握等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：，
，
，，
，
，
，
，，
矩形，
，
轴，轴，
．
，
设，则，
又，
，，
，
平行四边形，
，
，
，
，
．
延长交于，
，，
，
又，
≌，
，
连接，
，
，
，
取中点，连接，
且，
平行四边形，
，，
．
，
．
是中点，是的中点，
，，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
是中位线，
轴，
，
，
连接，为斜边中线，
，

又是中点，
，
在轴负半轴上取，连接，
，
．
在和中，，，

设，则，，，
，
，
，
，
．
 

【解析】由勾股定理求出，由矩形面积公式求出，进而可求出点坐标；
设，则，表示出，，根据列方程求出的值即可求解；
延长交于，证明≌得，连接，可证取中点，连接，可证，由三角形中位线的性质可证，，进而证明，连接，为斜边中线，可证，在轴负半轴上取，连接，得出，然后利用勾股定理求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线等知识，难度较大，属中考压轴题．