2023年河南省南阳市镇平六校联考中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市镇平六校联考中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四个几何体中，如图主视图和左视图相同的有个．(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，，，垂足为，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  关于的方程有两个不相等的实数根，则整数的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，点为斜边的中点，，垂足为，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  按疫情防控要求，学生居家学习每日需进行体温监测，小泽记录某周周一至周四的体温检测单位：结果分别为：，，，，若添加上周五的体温监测结果，则不发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

8.  年月日时分秒，四川省汶川县境内发生里氏级地震，地震影响波及大半个中国，多省受灾严重，作为中学生的我们要掌握地震知识，提升防震意识，据了解根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为为常数，那么震级为级的地震所释放的能量是震级为级的地震所释放能量的倍．(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在线段上，旋转角记为，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  自然环境中，大气压受到各种因素的影响，其中以海拔的影响最为显著，大气压随着海拔的变化而变化如图，而随着海拔的升高，空气中的含氧量与海拔的关系见图，观察图中数据，下列说法正确的是(    )

A. 海拔越高，大气压越大 B. 海拔为千米时，大气压约为千帕
C. 大气压为千帕时，含氧量属于缺氧 D. 大气压为千帕时，人无法行动

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.  因式分解 ______ ．

13.  年卡塔尔世界杯落下大幕，全球亿万球迷以足球为伴，纵享高水平竞赛的速度与激情，在小组中有阿根延、波兰、墨西哥、沙特阿拉伯四支球队进行比赛，若从中任意挑选两支球队比赛，则抽到的球队是波兰和墨西哥的概率为______ ．

14.  如图，扇形纸片，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，已知，则图中阴影部分的周长为______ ．

15.  如图，已知▱中，，，，、分别是，上的动点，，与关于直线对称，若是直角三角形，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16.  计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：

判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，则找出现先出错的式子：______填序号．
请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．

四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
数据分成组：，，，，，

信息二：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数百万人在这一组的数据是：，，，，，，；
信息三：年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．
下列结论正确的是______只填序号
全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个地区；
相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
年全国大陆人口自然增长率持续降低．
请写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

18.  本小题分
数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯，约把么三等分的操作如下：

判断四边形的形状，并证明；
证明：、、三点共线；
证明：．
 

19.  本小题分
为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：

问题解决：学校要求测温区域的宽度为，师生身高设定为当师生从走到时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度结果精确到；参考数据，

20.  本小题分
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同已知篮球的单价比足球单价的倍少元，用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍．
足球和篮球的单价各是多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？

21.  本小题分
某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，水柱所在的抛物线第一象限部分的函数表达式为．
求喷水管高．
身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？

22.  本小题分
某种在同一平面进行传动的机械装置如图，图是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得，，．
如图，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？并说明理由；
求滑块在平直滑到上可以左右滑动的最大距离．

23.  本小题分
综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱中，点是边上一点．将沿直线折叠，点的对应点为．
“兴趣小组”提出的问题是：如图，若点与点重合，过点作，与交于点，连接，则四边形是菱形．
数学思考：
请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
“智慧小组”提出的问题是：如图，当点为的中点时，延长交于点，连接试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图，当点恰好落在边上时，，，则的长为______直接写出结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：三棱柱的的主视图与左视图都是矩形；
圆锥主视图与左视图都是三角形
圆柱的主视图和左视图都是矩形；
长方体的主视图和左视图都是矩形；
所以主视图和左视图相同的有个．
故选：．
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：不能再合并计算，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
运用合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方进行逐一计算辨别．
此题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方等运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行准确地计算．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质得到，由垂直的定义得到，即可求出的度数．
本题考查平行线的性质，垂线，关键是掌握平行线的性质，垂直的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于，，，
所以，
解得：．
所以的值可以是．
故选：．
关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式即可得到关于的不等式，从而求得的范围．
此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：，点为斜边的中点，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
故选：．
先根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得点是的中点，从而可得是的中位线，最后利用三角形的中位线定理可得，即可解答．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的众数是，添加数字后众数为和，故不符合题意；
C、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是统计量的选择，众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故选：．
由题意列出算式，进行计算即可．
本题考查了一次函数的应用和科学记数法，理解能量与震级的关系，掌握同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，
当时，，
当时，得，
解得，
，，
，，
，
，
由旋转性质得：，，，
是等边三角形，
，
，
又，
，，
，
旋转第次点的坐标为，
旋转第次点的坐标为，
旋转第次点的坐标为，
旋转第次点的坐标为，
旋转第次点的坐标为，
旋转第次点的坐标为，
，次一个循环，
，
旋转第次点的坐标为，
故选：．
先求出点、的坐标，可求得、，进而可求得，利用旋转的性质和等边三角形的判定与性质证明和为等边三角形得到，求出旋转后的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，旋转的性质、等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，海拔越高，大气压越小，故A错误，不符合题意；
由图可知，海拔为千米时，大气压约为千帕，故B错误，不符合题意；
大气压为千帕时，海拔高度约为千米，
此时空气中的含氧量约为，
，
此时含氧量属于缺氧，故C正确，符合题意；
大气压为千帕时，海拔高度约为千米，
此时空气中的含氧量约为，
由于，故D错误，不符合题意．
故选：．
根据图可判断、选项；先根据图确定此时海拔的高度，再利用图中含氧量与海拔的关系算出此时的含氧量，即可判断、选项．
本题主要考查函数的图象，读懂题意，正确理解函数图象，从函数图象中获取相关信息并进行正确地计算是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把阿根延、波兰、墨西哥、沙特阿拉伯四支球队分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到的球队是波兰和墨西哥的结果有种，
抽到的球队是波兰和墨西哥的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的球队是波兰和墨西哥的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，交于，
扇形纸片沿折叠，点落在上的点处，
，，，
，
是等边三角形，
，
同理：，
，
，
，
，
，
，
的长．
图中阴影部分的周长的长．
故答案为：．
由折叠的性质得到，，，推出，是等边三角形，得到，由垂径定理得到的长，由锐角的正弦求出长，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长．
本题考查弧长的计算，垂径定理，解直角三角形，关键是掌握弧长公式；由折叠的性质得到，由垂径定理，锐角的正弦求出的长．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：分三种情况：
当，如图所示：

四边形是平行四边形，
，，，
，
，，，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，与关于直线对称，
；
当点与重合时，如图所示：

，
，
，与关于直线对称，
；
当点与不重合时，，如图所示：

作于，则与重合，；
综上所述，若是直角三角形，则的长为，或或；
故答案为：或或．
分三种情况：当，由平行四边形的性质得出，，，证明∽，得出，求出，由轴对称的性质即可得出结果；
当点与重合时，；
当点与不重合时，，作于，则与重合，．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：中应为：，
故选．
选第一种解法，
．
逐步分析两位同学的做法，找出出错的式子．
任选其一，利用通分，化简即可解出答案．
本题考查了分式的加减法运算规则，关键在于对于能判断并正确运算．
 

17.【答案】   

【解析】解：将这个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是百万人，因此中位数是百万人，
故答案为：；

全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个地区，故原结论错误，不符合题意；
相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
年全国大陆人口自然增长率的情况是：，，年增长率持续上升；，，年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是．
故答案为：；

年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负答案不唯一．
根据已知发现中位数在第二组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数；
从频数分布直方图可知，比亿元多的省份有个，因此处在第六名；
根据频数分布直方图进行判断即可；
根据条形图与折线图即可判断；
根据折线图即可判断；
根据条形图与折线图可写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

18.【答案】证明：轴，轴，轴，轴，
，，
四边形是平行四边形，
轴轴，轴，轴，
，
四边形是矩形；
设点，点，
点，点，
直线的解析式为：，
当时，，
点在直线上，
即、、三点共线；
、、三点共线，
四边形是矩形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】通过矩形的判定可证四边形是矩形；
根据函数的解析式得出直线的解析式，进而解答即可；
由矩形的性质可得，可得，由，可求，可得结论．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明四边形是矩形是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点作交于点，
设．

，，
，
在中，，
在中，，
，
解方程得，
安装高度，
该设备的安装高度为． 

【解析】过点作交于点，解和，进行求解即可．
本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
 

20.【答案】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是元，篮球的单价是元．
设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取的最大值为．
答：学校最多可以购买个篮球． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据数量总价单价，结合用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，利用总价单价数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
 

21.【答案】解：当时，，
点的坐标为，
喷水管高高
解法一：对于，
令，则，
小明不会被水喷到；
解法二：令，
则，
解得：，，
，，
小明不会被水喷到；
设喷水管的高度要升高，
则抛物线的表达式为．
把代入得：，
解得：，
喷水管的高度要升高 

【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的值；
解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论；解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论；
设改建后抛物线的解析式为，然后根据抛物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解．
本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
 

22.【答案】解：小明的判断正确，理由如下：
，，，
，
，
，
，即，
为的半径，
与是相切，
点与点重合，
与是相切的；
由题意知，当点、、三点共线时，点离点的距离最远，
如图，当点在点右边时，则，

，
故当点在点右边时，点离点的最大距离为，
同理，当点在点左边时，点离的最大距离也为，
滑块在平直滑到上可以左右滑动的最大距离． 

【解析】根据勾股定理的逆定理证明，再根据切线的判定定理得出结论便可；
当点、、三点共线时，点离点的距离最远，由此根据勾股定理便可求得滑块在平直滑到上可以左右滑动的最大距离．
本题考查了切线的判定，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】数学思考：
证明：如图中，由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；

解：结论：．
理由：连接由折叠的性质可知，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
；

问题解决：
解：延长交的延长线于点设．

由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
数学思考：根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
证明≌，推出，可得结论；
问题解决：延长交的延长线于点设首先证明，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解．
本题属于三角形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．