湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题及答案

湖北省重点高中智学联盟2023年春季高二年级5月联考

数学试题

命题学校：黄石二中

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从1，2，3，4，5，6，7这七个数中任取两个数相加，可得不同和的个数为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．21

2．等比数列前项和为，若，，则（    ）

A．5 B．10 C．15 D．

3．若函数，且，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

4．圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为（    ）

A． B． C． D．

5．的展开式中常数项为（    ）

A．120 B．160 C．200 D．240

6．数列满足，且对恒有，则（    ）

A．2021 B．2023 C．2035 D．2037

7．函数在处取得极小值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（    ）

A． B． C．10 D．15

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法不正确的是（    ）

A．若等比数列的通项公式为，则的前项和为

B．等差数列1，3，5，…，各项的和为

C．已知双曲线：图象上一点到左焦点的距离，那么到右焦点的距离

D．函数在处取得极值

10．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（    ）

A．存在四条直线，使

B．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为

C．若、都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是

D．存在直线，使弦的中点为

11下列说法正确的是（    ）

A．从1~9这9个数中任取三个，这三个数的和是3的倍数时，不同的取法有30种

B．从1~9这9个数中任取三个组成三位数，则所有这样的三位数之和为279720

C将1~9这9个数填入一行标号为1~9的方格中，恰有6个方格标号与填入的数字相一致的方法有种

D．将1~9这9个数排成一行，任意两个奇数或者偶数不排在一起的排法有

12．各项为正的等差数列的前项和满足：对于，，，构成等差数列；公比大于1的等比数列满足，；若数列满足，则（    ）

A．，

B．数列的前项和为

C．数列的前项称为

D．数列的前7项和为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为________．

14．若，则________．

15．甲新入职某公司，已知该公司对新入职人员约定：第一年收入为5万元，以后每年收入都是上一年的1.02倍，则依此约定，甲工作10年的总收入约为________万元．（精确到1万元）

16．、分别是曲线和上任意两点，则]最小为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）写出下列问题的算式，并用数字作答．

（1）五家单位各有一个由4人组成的技术顾问小组，现从中任选3人去支援一个项目建设，求这3人中任意两人都不来自同一小组的不同选法种数；

（2）含甲、乙、丙的六个人参加一个竞标答辩会，由于某种特殊原因，丙不能第一个答辩，甲、乙两人至少要等三个人答辩完以后才能进行答辩，现在安排甲乙两人连续进行答辩，求所有不同的安排方案的种数．

18．（12分）（1）计算的值，并求除以8的余数；

（2）以（1）为条件，若等差数列的首项为，公差是的常数项，求数列前项和的最小值．

19．（12分）已知函数的图象与直线相切．

（1）求的值；

（2）求函数在区间上的最大值．

20．（12分）数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求使成立的最小正整数．

21．（12分）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切．

（1）求动圆的圆心的轨迹方程；

（2）过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，．求四边形的面积．

22．（12分）已知函数，、是函数图象上任意不同的两点，设直线的斜率为．若对于任意两点、，恒有．

（1）求的取值范围；

（2）当是（1）中的最小正整数时，直线与的图象交于不同的两点．求证：两个交点的横坐标不小于．

湖北省重点高中智学联盟2023年春季高二5月联考数学试题答案解析

7．，

显然时在处不可能取得极小值，所以，由得或1，若在处取得极小值，则，故

8．显然，且两直线同时过定点，点在圆内，设点到弦、的距离分别为、，则，，

四边形面积

12．ABD  对A依题意①；②

得

由于每项为正，所以，得数列为等差数列，公差为1，

所以；由公式易得

对于B，错位相减法易知正确；

对于，则所求数列前项和为

，所以C错误

对于D，由于

13．1    14．    15．55    16．

16．设点，分别是两曲线上的动点

由于；；则有

17．（1）          5分

（2）          10分

18．（1）∵，∴，∴

则除以8的余数7，则          6分

（2）的常数项为          8分

∴，又，∴

∴时，，；时，

∴前项和在或时最小，且最小值为

          12分

19．（1）依题意设与相切于点

又，∴①

②

将①代入②得，又

∴代入①得          6分

（2）∵，且，又在上单调递增

∴，，则单调递减

∴时，，则单调递增

而

∴          12分

20．（1）∵

∴

∴是以为首项，2为公比的等比数列

∴即          4分

（2）∵

为偶数时，为偶数

为奇数时，为奇数

∴

∴前项的和          8分

∴

∴，又，，∴使的最小值为12          12分

21．（1）设动圆的半径为，，∴，，∴

∴是以，为焦点，以为长轴长的椭圆

∴的轨迹方程是          4分

（2）设，，

联立与椭圆的方程，得

∴          6分

同理设，可得

∴

∴，不妨取，          8分

此时，∴

而

同理，∴          12分

22．（1）依题意

不妨令，∴

∴，∴在递增，

又，∴恒成立

∴          6分

（2），，∴在递增，递减，

记与交于点，，∴，，

下面证明．

在处的切线为，

记，，∴在递增，

在递减，∴，即恒有

与直线在交于处

∴，∴，而，

又在递增，，∴，即