江西省2023届高三下学期4月教学质量监测（二模）数学（理）试卷（含答案）

这是一份江西省2023届高三下学期4月教学质量监测（二模）数学（理）试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省2023届高三下学期4月教学质量监测（二模）数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，, 则 (   )A.  B.C.  D.2、已知复数z 满足 ( i为虚数单位), 则复数z的模等于(   )A. B. C. D.3、若, 则 “” 是“” 的(   )A.充要条件  B.充分不必要条件C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件4、在某校随机抽取了 100 名学生, 调查他们课后完成作业的时间, 根据调查结果绘制如下频 率分布直方图. 根据此频率分布直方图, 下列结论中正确的是(   )A.估计该校有 的学生在 2 小时内完成课后作业B.抽取的学生中有 10 人不能在 4 小时内完成课后作业C.抽取学生课后完成作业时间的 100 个数据的中位数在区间 内D.抽取学生课后完成作业时间的 100 个数据的众数一定在区间 内5、已知拋物线 的焦点为F, 点M 在抛物线上, 且, 则点M 到y 轴的距离为(   )A. 4 B. C. D. 36、函数 在区间 内的零点个数是(   )A. 2 B. 3 C. 4 D. 57、在炎热的夏天里, 人们都喜欢在饮品里放冰块. 如图是 一个高脚杯, 它的轴截面是正三角形, 容器内有一定量 的水. 若在高脚杯内放人一个球形冰块后, 冰块没有开 始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心 O (水 没有溢出), 则原来高脚杯内水的体积与球的体积之 比是(  )A. 1 B. C. D.8、已知函数 的大致图象如图所示, 则(   )A. ,, B. ,,C. ,, D. ,,9、已知函数, 则函数 的图 象与两坐标轴围成图形的面积是(   )A. 4 B.  C. 6 D. 10、已知双曲线 的左、右焦点分别是 ,,P是双曲线右支上一 点, 且 ,I和 G分别是 的内心和重心, 若直线IG 与 x轴平行, 则双曲 线的离心率为(   )A. B. 2 C. 3 D. 411、如图, 直三棱柱 中, ,, , 点 E,分别是棱 BC,的中点, 点G 在棱 上, 且, 截面 内的动点 P满足, 则 的最小值是(   )A. B. C. D. 212、若函数 存在单调递减 区间, 则正数 a的取值范围是(   )A.  B.  C.  D. 二、填空题13、已知向量a,b 的夹角为,,, 则 等于_________.14、已知圆C 的方程为, 若直线 与圆 C相交于A,B 两点, 则 的面积为_______.15、已知, 则 等于_______.16、毕达哥拉斯树, 也叫 “勾股树”, 是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复 的树形图形 (如图 1).现由毕达哥拉斯树部分图形作出图 2, 为锐角三角形, 面积为1,, 以 的三边为边长的正方形中心分别为,,, 则 的最小值为___________.三、解答题17、如图数表, 在第 行中, 共有 个数, 第k 个数为.(1)求n第 行所有数的和;(2)求前 10 行所有数的和.18、某集市上有摸彩蛋的游戏, 在不透明的盒中装有 9 个大小、形状相同的彩蛋, 其中黄色、红 色、蓝色各 3 个. 游戏规则如下: 玩游戏者先交 10 元游戏费, 然后随机依次不放回地摸 3 个彩蛋, 根据彩蛋的颜色决定是否得到奖励, 若摸到的 3 个彩蛋颜色都相同, 获得奖金 100 元, 若摸到 3 个彩蛋颜色各不相同, 获得奖金 10 元, 其他情况没有奖励.(1)记某游戏者第一次摸到黄色彩蛋为事件A, 该游戏者这次游戏获奖 100 元为事件B, 求，, 并判断事件A,B 是否相互独立;(2) 判断是否应该玩这个游戏, 并说明理由.19、如图, 已知菱形ABCD 中, ，, 点 E为边CD 的中点, 沿 BE将 折起, 得到 且二面角 的大小为, 点F 在棱PA 上, 平面BDF.(1)求 的值;(2)求二面角的余弦值.20、已知函数 ，e是自然对数的底数 .(1)讨论函数 的极值点的个数;(2)证明: 函数 在区间 内有且只有一个零点.21、已知椭圆 的左顶点, 点 P,Q是椭圆 C上关于原点对称 的两个动点 (点P,Q 不与点A 重合), 面积的最大值是 2 .(1)求椭圆C 的方程.(2) 若直线AP,AQ 与y 轴分别相交于点D,E, 是否存在定点R, 总有 ? 若存 在,求出定点R 的坐标; 若不存在,说明理由.22、在直角坐标系xOy 中, 直线 l的参数方程为 (t为参数), 以坐标原点O 为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为.(1)求直线l 和曲线 C的直角坐标方程;(2)点 P,Q分别是直线 l、曲线C 上的动点, 求 的最小值.23、已知函数 的最小值为m.(1)求m的值;(2)若，，, 求的最大值.
参考答案1、答案：C解析：，, ，, 故选: C.2、答案：A解析：由条件.3、答案： C解析：因为, 所以 等价于, 等价于,因此 “”是“”的必要不充分条件.4、答案： B解析：估计该校在 2 小时内完成作业的学生占比是 ，A错误;抽取的学生不能在 4 小时内完成课后作业的人数是 (人), B正确; 抽取学生课后完成作业时间的 100 个数据的中位数在区间 内, C 错误; 抽取学生课后完成作业时间的 100 个数据的众数不能由直方图确定, D 错误.5、答案：C解析：因为, 点M 到y 轴的距离为.6、答案：A解析：，令问题转化为求方程 的解, 解得 或, 即解有两个, 选 A.7、答案：D解析：设球的半径为r, 则，, 因此水的体积, 所以水的体积与球的体积之比是.8、答案：B解析：由图可以得到,且方 程 的 两 根 ， 满 足，, 即，,因此，，.9、答案：A解析：因此函数 的图象关于点 成中心对称, ，, 函数 在区间 上单调递减, 因此与坐标轴围成图形的面积是.10、答案： B解析：设 的内切圆半径为r, 因为圆 I与x 轴切于, 所以.故, 所以, 即, 故双曲线的离心率为 2 .11、答案： C解析：由题意得 平面, 设点G 在平面 内的投影为, 则点 在 线段 上, 且, 设点H 在线段AE 上, 且,则 是一个正方形, 点P 的轨迹是其对角线 . 将  与 展开到一个面内, 得到如图图形, 因此 的最小值是,，最小值为.12、答案：B解析：依题意 有解, 即, 即, 即 有解, 构造函数, 单调递增, 因此不等式转化为, 即 有解, 记，, 从而求得, 因此.13、答案：19解析：14、答案：12解析：，, 圆心到直线的距离, 因此，.15、答案： 810解析：因此.16、答案： 解析：,在中, ，，,由余弦定理可得同理，,故.因为, 故.17、答案： (1)(2)解析：(1) 第n 行所有数的和为(2) 前 10 行所有数的和为即 18、答案： (1)(2) 不应该参与该游戏解析：(1)，,因此, 所以事件A,B 相互独立.(2)设一次游戏获利X 元, 则 X的可能取值有90,0,-10, ,,因此 (元), 不应该参与该游戏19、答案： (1)2(2) 解析：(1) 连接AE, 设, 连接FH.因为 平面BDF, 所以, 故, 又在菱形 ABCD中, , 所以, 所以 (2) 因为，,所以，, 因此 是二面角 的平面角, , 如图, 以点E 为原点, ED,EB 所在直线为x 轴, y轴, 建立空间直角坐标系.依据题意,，，从而 ，，设平面AFD 的法向量,由 得到,由 得到.令，，.设平面BFD的法向量,由得到,由得到 .令，，.因此,所以, 所求二面角的余弦值是 20、答案： (1) 在R 上有且仅有 3 个极值点(2) 时, 在区间 内有且仅有一个零点解析：(1), 令 或.设, 则,令 ，且 时, ，单调递减; 时, ，单调递增,所以,因为，, 此时 在R 上有且仅有两个零点, 记为，,因为 ，，时, 所以,所以 在R 上有且仅有 3 个极值点.(2), 当 ，时,在R 上有 3 个极值点:0，，, 其中,且,当 时, , 则 ， 单调递增;当 时, , 则 ， 单调递减;当 时, , 则 ， 单调递增.所以 在区间 内的极大值为, 极小值为,且，，所以 同理, 而当 时, 因此函数 在区间 内无零点, 在区间 上有且只有一个零点.综上所述, 时, 在区间 内有且仅有一个零点. 21、答案： (1)(2) 存在点 或 使得 恒成立解析：(1) 由题意, 设椭圆 C的右顶点为B, , 因此, 所以椭圆C 的方程为.( 2 ) 设，，, 由 得到:, 即 设, 直线AP,AQ 的方程分别是，,联立 解得，, 即点P 的坐标为, 因为点P 在椭圆上, 所以, 化简得,同理, , 因此，,  得到 ，当 时恒成立, 即，. 因此, 存在点 或 使得 恒成立.22、答案： (1) (2)解析: (1) 直线 的参数方程为 (t为参数), 直线l 的直角方程为;曲线C 的极坐标方程 可以化为,直角坐标方程为, 即.(2) 由曲线C 的参数方程, 可设,则 当 时, 取得最小值 23、答案： (1)4(2) 解析:(1), 上式能取到等号, 因此.(2) 当 即 ,时, 上式取等号,所以 的最大值是.