2023年四川省泸州市龙马潭区中考一模数学试题（含答案）

2023年春期龙马潭区九年级第一次质量监测试题

数学

【注意事项】：1．全套试题共六个大题，满分120分；

2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、姓名、考号；

3．请将正确答案填写在答题卡上；考试结束后，只交答题卡不交试题卷．

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上．

1．下列各数中，比-1小的数是（    ）

A．   B．   C．0   D．

2．据新京报讯，为满足节能低碳要求，石景山区总长9.6公里的“冬奥大道”照明工程全部安装LED新型高效节能电光源53000套．数字53000用科学记数法可表示为（    ）

A．   B．   C．   D．

3．下列运算正确的是（    ）

A．  B．  C．  D．

4．下列图形中，不是如图的视图的是（    ）

A．B．C．D．

5．中国队在2002年至2022年间的六届冬奥会中获得的金牌数分别是2，2，5，3，1，9枚，则中国队在这六届冬奥会中所获得的金牌数的众数和中位数分别是（    ）

A．2，2.5   B．2，3   C．3，3   D．4，2

6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A．B．C．D．

7．在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ）

A．   B．   C．   D．

8．如图，在中，于E，于F，若，，，则的面积为（    ）

A．24   B．36   C．40   D．48

9．关于x的方程，无解，则m的值为（    ）

A．-5   B．-8   C．-2    D．5

10．数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在上截得的线段（DE）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则的半径为（    ）

A．3厘米   B．厘米   C．厘米   D．厘米

11．如图，在矩形ABCD中，，E是BC的中点，AE与BD交于点F，连接CF．若，则CF的长为（    ）

A．5.5  B．6   C．6.5  D．7

12．抛物线经过，对称轴为直线，关于x的方程在的范围内有实数根，则n的取值范围为（    ）

A．  B．   C．   D．

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13．分解因式：______．

14．函数中自变量x的取值范围______．

15．已知是一元二次方程的两根，则的值是______．

16．如图，在中，，，，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC（包括端点）和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是______．

三、计算题（本大题共6小题，共18分）

17．计算：．

18．化简：．

19．如图，已知，．求证：．

四、解答题（本大题共2小题，共14分）

20．根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有______人；

（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；

（3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人?

（4）学校从“A”层级的学生中选3名女生和2名男生．再随机抽取2人去参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少?

21．某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的函数关系（一次函数）如图所示：

（1）求出y与x之间的函数关系；

（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（单位：元）与销售单价x（单位：元/个）之间的函数关系式；

（3）在（2）同的条件下，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润

五、解答题（本大题共2小题，共16分）

22．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高AB．（结果保留根号）

23．如图在平面直角坐标系xOy中反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，B两点；

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）如图，过点A作直线AC，交反比例函数图象另一支于点C，直线AC与y轴的交点为点D．当时，求的面积．

六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

24．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BC延长线一点，且，于点E．

（1）求证：直线EC为的切线；

（2）设BE与交于点F，AF的延长线与CE交于点P，

①求证：；

②若，，求PE和的值

25．如图1，物线的图象经过点，交x轴于点和B，连接BC，直线与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．

（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；

（2）求的最大值及此时点E的坐标，并在图2上作出此时的直线DE；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年春期龙马潭区九年级第一次数学质量监测试题

参考答案及评分说明

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A

7．C 8．D 9．A 10．A 11．B 12．C

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13．  14．且．  15．  16．10.5

三、计算题（本大题共6小题，共18分）

17．解：原式（4分）

（6分）

18．解：原式（1分）

（6分）

19．证明：∵，

∵

即∵．（2分）

又∵，  ∴（5分）

∴（6分）

四、解答题（本大题共2小题，共14分）

20．解：（1）接受问卷调查的学生共有：（人），（1分）

故答案为：40．

（2）扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：，

“B”层级的人数为：（人），（2分）

补全条形统计图如下：

（3）估计“A”层级的学生约有：（人）．（4分）

（4）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，

∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为（7分）

21．解：（1）将和代入

可得：（2分）

解得：，∴（3分）

（2）由题意可知：销售单价为：元，

∴（5分）

（3）（6分）

当时，y的最大值为1470，

∴销售单价定为每个13元时，利润最大为1470元（7分）

五、解答题（本大题共2小题，共16分）

22．解：过点C作于点F，设（米）．

则有：，（米），（2分）

在中，，得（3分）

∴

在中，，

得，（4分）

∴（6分）

解得：（7分）

∴（米）

∴树高米（8分）

23．解：（1）把点A的坐标代入，得，解得，（1分）

故点A的坐标为，把点A的坐标代入，得，

故反比例函数的表达式为，（2分）

，得，解得，，

故点A的坐标为，点B的坐标为；（3分）

（2）解：设直线AC的解析式为，点C的坐标为（4分）

过点A，C分别作轴、轴．

∴

∴

又A的坐标为，∴，．

故此时点C的坐标为，（5分）

可得直线BC的解析式为：（6分）

过点A作轴交直线BC于点E，则点E坐标为，（7分）

则的面积：（8分）

六、解答题（本大题共2小题，共28分）

24．证明：（1）连接OC．∵于点E，∴，

∵，∴C是BD的中点，

又∵O是AB的中点，∴OC是的中位线，（2分）

∴，∴，∴，（3分）

又∵点C在圆上，∴CE是圆O的切线；（4分）

（2）①连接AC，∵，

∴，∵AB是直径，∴，

∴，（5分）

∵，∴，

∵，∴，

∴，且，

∴，且，（7分）

∴，∴，

∴；（8分）

②∵AB是直径，点F在圆上，

∴，

∵，∴，（9分）

∴，∴（10分）

又由（2）的①知：，∴（11分）

∴在直角中，．（12分）

25．解：（1）∵抛物线的图象经过点，点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为，2分

∵抛物线交x轴于点A和点B，

∴当时，，

解得或，∴；3分

（2）存在最大值，

由题知，点E位于y轴右侧，作轴交BC于点G，

∴，∴，

∵直线与y轴交于点D，∴，

∴，∴，

设直线BC的解析式为，

将代入，得，解得，

∴直线BC得解析式为，4分

设点，则，且，

∴，5分

∴，∵，

∴当时，有最大值为2，此时E点的坐标为；6分

（3）存在点M和点N使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：

设直线DE的解析式为，将代入，得，解得，

∴直线DE的解析式为，7分

设，

∵，，

∴，，，

∵以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，

故分以下两种情况：

①当BD为边时，（如下右图）

或（如下左图），

∴或，

即或，

解得或（舍去）或，

∴或或；10分

②如下图，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则，

∵四边形BMDN是菱形，∴，，

∴，

∴，

解得，∴

综上，符合条件的M点的坐标为或或或12分