2023年中考考前最后一卷：数学（重庆卷）（全解全析）

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2023年中考考前最后一卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
C
D
A
C
A
D
B
B
一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 下列各数是正数的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正数的意义即可判断．
【详解】解：A、是负数，故本选项错误；
B、2是正数，故本选项正确；
C、0既不是正数，也不是负数，故本选项错误；
D、-0.2是负数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的分类，熟练掌握实数的分类是解决问题的关键．
2. 下列各标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：根据中心对称图形的概念知：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．
故选B．
考点：中心对称图形．
3. 下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则以及去括号法则进行计算即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项以及去括号，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
4. 估计的值在（    ）
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【分析】根据可得从而可得答案．
【详解】解：

故选D
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
5. 如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是(   )

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点可知＝，再由位似图形性质得＝()2，据此可得答案．
【详解】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴＝，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴＝()2，即＝，
解得：S△DEF＝2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
6. 2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络比4G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，依题意，可列方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒列出方程即可．
【详解】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据题意，的．
故选：C
【点睛】此题主要考查列分式方程解应用题，理解题意，找出等量关系是解题关键．
7. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有3个平行四边形，第②个图形中一共有8个平行四边形，第③个图形中一共有15个平行四边形，…，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（    ）

A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】A
【分析】由于图②平行四边形有8个＝3+2+1+2+1﹣1，图③平行四边形有15个＝4+3+2+1+3+2+1﹣1，则第⑥个图有7+6+5+4+3+2+1+6+5+4+3+2+1﹣1个平行四边形，由此即可求出答案．
【详解】解：∵图②平行四边形有8个＝3+2+1+2+1﹣1，
图③平行四边形有15个＝4+3+2+1+3+2+1﹣1，
∴图⑥的平行四边形的个数为7+6+5+4+3+2+1+6+5+4+3+2+1﹣1＝48，
故选：A．
【点睛】本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
8. 如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，由勾股定理可直接求得；过C作，交于点M，由垂径定理可得M为的中点，在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长．
【详解】解：在中，，，；
根据勾股定理，得．
过C作，交于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为的中点，
∵，且，，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9. 如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接，则的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先连接AC，根据菱形的性质与，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，利用30°所对的直角边是斜边的一半得出BE的长，最后利用勾股定理即可得出AE的长．
【详解】连接AC，如图，

∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
又∵点是边的中点，
∴，
∴
∴，
在中，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理．
10. 已知多项式，多项式．
①若，则代数式的值为；
②当，时，代数式的最小值为；
③当时，若，则关于x的方程有两个实数根；
④当时，若，则x的取值范围是．
以上结论正确的个数是（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】①把代入解方程即可求解；②把代入，再配方求最小值即可；③把代入解方程即可求解；④根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：①若，则，解得，或，
∴的值为；故①错误；
②当时，

，∴当时，代数式的最小值为；故②错误；
③由题意得，，
∴或，
解得，或；
解，即，没有实数解，
∴关于x的方程有两个实数根，故③正确；
④当时，



∴，解得；故④错误；
综上，只有③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和一元二次方程的解法是解题的关键．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，直接填写答案．）
11. __________________．
【答案】
【分析】根据实数运算和特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算与特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
12. 分解因式：5x3-10x2y+5xy2=__________．
【答案】5x（x﹣y）2
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【详解】5x3﹣10x2y+5xy2，
＝5x（x2－2xy＋y2），
＝5x（x－y）2.
故答案为5x（x－y）2.
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式是本题解题的关键.
13. 学校新开设了航模、围棋、书法、绘画四个社团，如果小华和小玲两名同学各随机选择参加其中一个社团，那么小华和小玲选到同一个社团的概率为 _____．
【答案】
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：把航模、围棋、书法、绘画四个社团分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，
∴小华和小玲选到同一个社团的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点A都经过反比例函数的图象，且，则k=______．

【答案】
【分析】先设出A点坐标（m，n），再根据矩形ABCD的面积表示出CD的长，即可得到B点坐标，再根据E是BD的中点得出E点坐标，最后将A、E点坐标代入反比例函数解析式即可求出结果．
【详解】如图，过点E作EF⊥AD于点F，作EG⊥CD于点G，

设A点坐标（m，n），
∵S矩形ABCD=5，
∴m×CD=5 即CD=，
∴B点坐标为（m，n+），
又∵E点矩形ABCD对角线的中点，
∴E点坐标（，n+），
又∵反比例函数y=同时经过A、E两点，代入两点坐标
∴，
∴=n
∴k=mn=．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数、矩形的性质和中点坐标的表示．求解的关键在于通过中点关系表示出E点坐标．
15. 如图，在半径为、圆心角为120°的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、、围成的阴影部分的面积为______．

【答案】
【分析】由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，证明，根据计算求解即可．
【详解】解：由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，

∴，
∴，
由题意知，，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积等知识．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．
16. 从，，，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的值的和为
【答案】-4
【分析】根据不等式组的解集为，求得，根据分式方程有非负整数解，求得取值范围，即可求解．
【详解】解：解不等式组可得
∵不等式组的解集为，
∴，
由可得：，
解得
由题意可得，，且
可得：，且
此时的取值为，，
又∵为整数，
∴的取值为，，和为-4
【点睛】此题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为____．

【答案】或
【分析】分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，②当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可．
【详解】解：∵BC＝1，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC＝1，
∵△CDE是等边三角形，CD＝2，
∴CE＝CD＝2，
①当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BG⊥AC于G，则∠CBG＝∠ABC＝30°，

在Rt△CBG中，∠CBG＝30°，BC＝1，
∴CG＝BC＝，
根据勾股定理得，BG＝，
∴EG＝CE−CG＝2−＝，
在Rt△BGE中，
根据勾股定理得，BE＝；
②当点E在AC的延长线上时，如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠CBH＝∠ABC＝30°，

在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝1，
∴CH＝BC＝，
根据勾股定理得，BH＝，
∴EH＝CE＋CH＝2＋＝，
在Rt△BHE中，
根据勾股定理得，BE=．
∴BE=或．
故答案是：或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．
18. 对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称 m为“一致数”．设一个“一致数”满足且，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将N 的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为______
【答案】
【分析】设一个“一致数”满足且，得出，然后分类讨论即可求解．
【详解】解：设一个“一致数”满足且，
则，
∴，
一个两位数，将N 的各个数位数字之和记为，
则，
∵
即
∴
∴，
∵满足为偶数时，为偶数，
∵，
∴且为偶数，
当时，则，
当，时，（，舍去）
当，时，（，舍去）
当，时，，则
故答案为：
【点睛】本题考查了整除，整式的加减，求不等式组的整数解，理解题意解题的关键．
三、 解答题（本大题共个8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. (本题8分)计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式法则，平方差公式计算即可；
（2）根据分式混合运算顺序、运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式



．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键．
20. (本题8分)我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小明在探究这个结论时，他的思路是：如图，在中，点D是的中点．过点D作的垂线，然后证明该垂线是的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为E（只保留作图痕迹）．
∵，
∴①__________
∵在中，，
∴②__________
∴③__________．
又∵，
∴④__________．
∴．

【答案】①；②；③；④
【分析】先根据题中步骤作图，再根据三角形中位线的性质和判定证明．
【详解】作图如下：

证明：过点D作的垂线，垂足为E，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案是①；②；③；④．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形中位线的判定和性质，掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．
21. (本题10分)3月14日是国际数学日，为了提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞賽（百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图，如图所示，从左到右依次为第一组到第五组．

信息二：第三组的成绩（单位：分）
74  71  73  74  79  76  77  76  76  73  72  75
根据信息解答下列问题：
(1)补全第二组频数分布直方图；
(2)抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；
(3)若该校共有1500名学生参赛，估计参赛学生成绩不低于80分约为多少人．
【答案】(1)补全统计图见解析
(2)78
(3)成绩不低于80分约为720人

【分析】（1）用总人数减去第二组以外各组的人数得到第二组人数，补全频数分布直方图即可；
（2）50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，是第三组中的数据：77分和79分，即可求出答案；
（3）用1500乘以不低于80分人数的百分比即可得到答案．
【详解】（1）
第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：

（2）
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，是第三组中的数据，第三组数据从小到大排列为：71,72,73，73，74,74,75，76，76，76,77,79 ，
∵第一组和第二组共4＋10＝14（人），
∴第25个和26个数据对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；
故答案为：78；
（3）
1500×=720（人），
答：成绩不低于80分约为720人．
【点睛】此题考查频数分布直方图、中位数、用样本估计总体等知识，数形结合是解题的关键．
22. (本题10分)某商场在“六一”儿童节来临之际用3000元购进A、B两种玩具1100个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．
(1)求A、B两种玩具的单价各是多少？
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共2600个，已知A、B两种玩具的进价不变，求A种玩具最多能购进多少个？
【答案】(1)A种玩具的单价是3元，B种玩具的单价是2.5元
(2)1000个

【分析】（1）设B种玩具的单价为x元，则A种玩具的单价为元，根据两种玩具1100个列出方程即可；
（2）设购进A种玩具m个，则购进B种玩具个，根据用不超过7000元的资金列出不等式并解出即可；
【详解】（1）解:设B种玩具的单价为x元，则A种玩具的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A种玩具的单价是3元，B种玩具的单价是2.5元；
（2）解：设购进A种玩具m个，则购进B种玩具个，
由题意得：，
解得：，
∴A种玩具最多能购进1000个，
答：A种玩具最多能购进1000个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出方程与不等式是解题关键．
23. (本题10分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了26米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得古树顶端点的仰角为（点、、、在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）．
（1）求斜坡的高；
（2）求古树的高？（已知，，）

【答案】（1）10米；（2）24.3米．
【分析】（1）过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；
（2）由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，

∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝26米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋（2.4x）2＝262，解得x＝10，
∴DG＝10米，即：斜坡的高为10米；
（2）∵DG＝10米，
∴CG＝24米，
∴EG＝10＋0.8＝10.8米，BG＝26＋24＝50米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝50米，BM＝EG＝10.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝15°，
∴AM＝EM•tan15°≈50×0.27＝13.5米，
∴AB＝AM＋BM＝13.5＋10.8≈24.3（米）．
答：建筑物AB的高度约为24.3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24. (本题10分)在中，，点P，Q分别从点A，点B同时出发，点P沿以每秒1个单位长度速度运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿运动，点P到达点B时点Q同时停止运动．点P的运动时间为t秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题：

(1)求出与t之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)当时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)图见解析，性质见解析
(3)或

【分析】（1）分两种情形：当时，当时，求出，再求出边上的高，求出即可；
（2）画出函数图象，可得结论；
（3）构建方程组求出交点坐标，可得结论．
【详解】（1）当时，；
当时，，
综上所述．，
过点作于点．

，，，
，
，
，
．
（2）函数图象如图所示：

函数的性质：函数有最大值，最大值为6．
（3）由，解得，
由，解得，
观察图象可知，当或时，．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
25. (本题10分)二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(−1，0)、B(4，0)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F(，0)，动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
(3)如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标．

【答案】（1）．
（2）N或N．
（3）P．
【分析】（1）直接把A(−1，0)、B(4，0)坐标代入函数解析式求得的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求得抛物线的对称轴，然后求得CD，EF的长，设点N的坐标为（）则ND＝，NE＝，然后依据相似三角形的性质列出关于的方程，然后可求得的值；
（3）过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．则△AME为等腰直角三角形，然后再求得点M的坐标，从而可得到MD＝2，AD＝6，然后证明∴△ADM≌△AFE，于是可得到点E的坐标，然后求得EM的解析式为，最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可．
【详解】解：(1)把A(−1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+4
解得：
所以二次函数为：．
(2)因为CD⊥m，FE⊥m，
所以
①当时，则
因为抛物线的对称轴为，C（0,4）F(，0)
所以CD＝，EF＝，设N（，）
所以NE＝，DN＝4－，
所以 ，即，
解得：，所以N（，2）．
②当时，则，
所以，解得： ，
所以N（， ），
综上可知N（，2）或N（， ）．
(3) 如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥ 轴，交点为D，
过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．
∵AM＝AE，∠MAE＝90°，
∴∠AMP＝45°．
将代入抛物线的解析式得：，
∴点M的坐标为（1，6）． ∴MD＝2，AD＝6．
∵∠DAM+∠MAF＝90°，∠MAF+∠FAE＝90°，
∴∠DAM＝∠FAE．
在△ADM和△AFE中

∴△ADM≌△AFE． ∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6．
∴E（5，-2）．
设EM的解析式为． 将点M和点E的坐标代入得：

解得
∴直线EM的解析式为．
所以
解得： 或 , ∴点P的坐标为（4，0）．

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E的坐标是解题的关键．
26. (本题12分)在中，，点D是边上一点，过点D作于点E，，．

(1)如图1，将绕点B旋转至，使得落在上，连接，求线段的长；
(2)如图2，将绕点B旋转至，连接，H为中点，连接，，求证：；
(3)如图3，在第（2）问的条件下，将沿翻折至，当H在线段下方，且，直接写出点B到的距离．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)

【分析】(1)过点M作于点F，根据，得到，从而得到，继而得到，，
，根据勾股定理，得．
(2) 连接，延长到点P，使得，连接，证明，结合三角形中位线定理，证明是等边三角形即可．
（3）设与交于点K，连接，过点K作，垂足为O，
根据，过点B作，垂足为P，得到，过点H作，垂足为M，交于点N，求得的长即可．
【详解】（1）过点M作于点F，
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，

所以，，
所以，
所以．
（2）连接，延长到点P，使得，连接，
因为，
所以直线是线段的垂直平分线，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
因为，

所以，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以是等边三角形，
所以．
（3）设与交于点K，连接，根据折叠的性质，得到；
因为，，
所以，
所以是等边三角形，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以三点共线；
延长交于点Q，
因为，，
所以是等边三角形，
所以，
所以，
所以点Q与点S重合，
因为，
所以，
过点K作，垂足为O，
则，
所以，
，
所以
过点B作，垂足为P，
所以即，
过点H作，垂足为M，交于点N，
因为，
所以，
因为，
所以是等边三角形，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
所以，

所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，勾股定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．