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6.2 反比例函数的图象和性质 浙教版数学八年级下册同步课件教学课件
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第6章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象和性质（1）1. 反比例函数的定义：3. 反比例函数的确定：4.它的三种常见的表示形式：2. 反比例函数的特征：k ≠0, x ≠0. x的指数是-1待定系数法.xy = k（k ≠ 0）y=kx-1（k≠0）复习回顾,引入新课１.下列函数，哪些是y关于x的反比例函数？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ y = 3x-1 y = 2x2 2.已知△ABC的面积为12，则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为3.已知y是x的反比例函数,下表给出了x和y的一些值:(1)求出这个反比例函数的表达式;思考:表中能否增加x=0或y=0的值,为什么?(2)根据函数表达式完成上表.１-２２ 函数图象的画法列表描点连线 描点法反比例函数的图象又会是什么样子呢?你还记得作函数图象的一般步骤吗?用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来). 回忆：函数关系有哪些表示方法？ 一次函数的图象是什么样子呢?（表达式法、列表法、图象法）合作交流,探究新知123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1…… 反比例函数图象的画法步骤：列表描点连线 描点法注意：①列 x与y的对应值表时，x的值不能为0，但仍可以在0的左右均匀、对称地取值。注意：②描点时自左往右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。注意： ③两个分支合起来才是反比例函数图象。 讨 论反比例函数的性质1.当k>0时,图象的两个分支分 别在第一、三象限内；2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内。3.图象的两个分支关于直角 坐标系的原点成中心对称。xO如果知道双曲线的一支，利用对称性，如何画另一支？4.双曲线无限接近于x轴、y轴,但永远不会与坐标轴相交 练习 1二,四m < 2三例2 已知反比例函数 的图象的一 支如图.(1)判断k是正数还是负数;(2)求这个反比例函数的表达式;(3)补画这个反比例函数图象的另一支.A .想一想:从反比例函数图象的一个分支分到另一个分支,可以看作是怎样的图形变换?B(-4,2) .D .C .DC任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k长方形的面积为面积不变性三角形的面积为︳m n︱＝ ︳k︱课内练习：3.如图,P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D. 则△POD的面积为 .4.如图,P是反比例函数图象上的一 点,过点P分别向x轴、y轴作垂线, 若阴影部分的面积为3,则这个反比 例函数的关系式是 .2拓展:（1）m=4（2） S△ABC=8B 梳理概括,形成结构 请大家围绕以下三个问题小结本节课 ① 什么是反比例函数? ② 反比例函数的图象是什么样子的?怎样作图象③ 反比例函数的性质是什么?形状位置变化趋势对称性面积不变性你能总结一下反比例函数的图象性质特征吗? 图象是双曲线 当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内 当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内 双曲线是中心对称图形 形状 位置变化趋势对称性双曲线无限接近于x轴、y轴,但永远不会与 坐标轴相交为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例。现在测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量6mg，请根据题中所提供信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数 关系式为 ，自变量x的取值范围 ，药物燃烧后y关于x的函数关系式为 ；适度拓展,探究思考（2）研究表明，每立方米的含药量低于1.6 mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 min，学生才能回教室。30（3）研究表明，每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？①已知y 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时y = 7，求 y与 x 的函数关系式。 ③已知y 与 x2 成反比例, 并且当 x = 3时 y = 4，求 x = 1.5 时 y的值。例 3②根据图形写出函数的表达式。 第6章 反比例函数6.2 反比例函数的图象和性质（2）双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.反比例函数的性质复习题：1．反比例函数 的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的表达式为 ，图象在第 象限， 它的图象关于 成中心对称．2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点A（1，m），则m＝ ，反比例函数的表达式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ． 二、四坐标原点2(-1,-2)它与 关于 成轴对称。坐标轴合作完成两个分支关于原点成中心对称两个分支关于原点成中心对称在第一、三象限内在第二、四象限内??第三象限第一象限x的值从小到大x的值从小到大y的值从大到小y的值从大到小1.当k>0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小第二象限第四象限2.当k<0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。y的值从小到大y的值从小到大 x的值从小到大x的值从小到大 观察反比例函数 的图象,说出y与x之间的变化关系:ABCDABCD减少每个象限增大每个象限正、反比例函数的图象与性质的比较：直线双曲线k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＞0，y随x的增大而增大；k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＜0，y随x的增大而减小．k＞0，在每个象限内y随x的增大而减小；k＜0，在每个象限内y随x的增大而增大．图象位置请大家解决这个问题-2-31．用“＞”或“＜”填空：（1）已知 和 是反比例函数 的两对自变量与函数的对应值．若 ，则 ．（2）已知 和 是反比例函数 的两对自变量与函数的对应值．若 ，则 ．2．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且 ，则 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）3．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ．C （1）当x＞5时，0 y 1。 （2）当x≤5时，则y 1或y＜ 。 （3）当y＞5时，求x的取值范围。<<≥00＜ x ＜14．已知反比例函数 ．探索思考解不等式AB当-1﹤x﹤0 或 x﹥3时, y1﹥y2 。 1CA(3,1)B(-1,-3)探索思考即不等式 的解为-1﹤x﹤0 或 x﹥3。 当-1﹤x﹤0 或 x﹥3时, 一次函数的值大于反比例函数的值 。 从A市到B市列车的行驶里程为120千米。假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。 例2：⑴ 求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；解:（1）从A市到B市列车的行驶里程为120千米,所以所求的函数表达式为 。自变量t的取值范围是∵v随t的增大而减小，∴由v≤160得解：因为自变量t的取值范围是 ，即在题设条件下，火车到B市的最短时间为45分钟，所以火车不可能在40分钟内到达B市。在50分钟内到达是有可能的，此时由 ≤t≤ 可得 144≤v≤160。 （2）从A市开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达B市可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？例1、已知反比例函数 的图象经过点A（1，4）。（1）①求此反比例函数的表达式； ②画出图像； ③并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。（2） 根据图像，得若y﹥1,则x的取值范围是 ； 若x ﹤1，则y的取值范围是 。（3） 若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3)均在此函数图像上，且x1 ﹤0﹤ x2 ﹤ x3，请比较y1，y2，y3的大小。（ 4 ）若过点A作AP⊥x轴于点P，求三角形AOP的面积。（5）若D，E，F是此反比例函数在第三象限的图象上的三个点，过D，E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，连结OD，OE，OF，设△ODM，△OEN，△OFK的面积分别为S1，S2，S3，则下列结论成立的是 ( ) A. S1﹤S2 ﹤ S3 B .S1﹥S2 ﹥ S3 C. S1﹤S3 ﹤ S2 D.S1=S2=S3（7）连结OA,OB,设点C是直线AB与y轴的交点, 求S△AOB;y（8）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值;(6) 求经过点A，B的一次函数的表达式;oA(1,4)（-4,-1）（9）在x轴上找一点P，使PA＋PC最短，求点P的坐标.C 2.若自变量x的取值范围为2＜x≤9，作出该函数的图象，并给出函数值y的取值范围。 1.作反比例函数y= 的图象。 记面积为18 cm²的平行四边形的一条边长为x（cm），这条边上的高为y（cm）。⑴求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围。⑵在如图的直角坐标系内，用描点法画出所求函数的图象。⑶求当边长满足0 < x < 15时，这条边上的高y的取值范围。246810121416182022242628O246810121416xy1820221.215P(m,n)xS=P1(3,2)P2(1,6)︳m n︱＝ ︳k︱S△ABC=︱k︱S四边形ABCD=2︱k︱BDx变式 2.如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝______．yxP1P2P3P4S1O1234拓展:（1）m=4（2）S△ABC=8B 4. 如图，直线l和双曲线y＝kx(k＞0)交于A，B两点，P是线段AB上的点（不与点A，B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连结OA，OB，0P，设△AOC的面积为S1 ，△BOD的面积为S2 ，△POE的面积为S3，则（ ） 5.如图，已知A（-4，2），B（n,-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象的两个交点。（１）求此反比例函数和一次函数的表达式；（２）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。6.下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。记从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为t 时，平均速度为v千米/时，且平均速度限定为不超过160 千米/时。⑴ 求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；⑵ 画出所求函数的图象；⑶ 从杭州开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达余姚可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？O255075100125150175yx0.7511.251.51.75 22.25 DP3P1P2
第6章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象和性质（1）1. 反比例函数的定义：3. 反比例函数的确定：4.它的三种常见的表示形式：2. 反比例函数的特征：k ≠0, x ≠0. x的指数是-1待定系数法.xy = k（k ≠ 0）y=kx-1（k≠0）复习回顾,引入新课１.下列函数，哪些是y关于x的反比例函数？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ y = 3x-1 y = 2x2 2.已知△ABC的面积为12，则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为3.已知y是x的反比例函数,下表给出了x和y的一些值:(1)求出这个反比例函数的表达式;思考:表中能否增加x=0或y=0的值,为什么?(2)根据函数表达式完成上表.１-２２ 函数图象的画法列表描点连线 描点法反比例函数的图象又会是什么样子呢?你还记得作函数图象的一般步骤吗?用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来). 回忆：函数关系有哪些表示方法？ 一次函数的图象是什么样子呢?（表达式法、列表法、图象法）合作交流,探究新知123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1…… 反比例函数图象的画法步骤：列表描点连线 描点法注意：①列 x与y的对应值表时，x的值不能为0，但仍可以在0的左右均匀、对称地取值。注意：②描点时自左往右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。注意： ③两个分支合起来才是反比例函数图象。 讨 论反比例函数的性质1.当k>0时,图象的两个分支分 别在第一、三象限内；2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内。3.图象的两个分支关于直角 坐标系的原点成中心对称。xO如果知道双曲线的一支，利用对称性，如何画另一支？4.双曲线无限接近于x轴、y轴,但永远不会与坐标轴相交 练习 1二,四m < 2三例2 已知反比例函数 的图象的一 支如图.(1)判断k是正数还是负数;(2)求这个反比例函数的表达式;(3)补画这个反比例函数图象的另一支.A .想一想:从反比例函数图象的一个分支分到另一个分支,可以看作是怎样的图形变换?B(-4,2) .D .C .DC任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k长方形的面积为面积不变性三角形的面积为︳m n︱＝ ︳k︱课内练习：3.如图,P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D. 则△POD的面积为 .4.如图,P是反比例函数图象上的一 点,过点P分别向x轴、y轴作垂线, 若阴影部分的面积为3,则这个反比 例函数的关系式是 .2拓展:（1）m=4（2） S△ABC=8B 梳理概括,形成结构 请大家围绕以下三个问题小结本节课 ① 什么是反比例函数? ② 反比例函数的图象是什么样子的?怎样作图象③ 反比例函数的性质是什么?形状位置变化趋势对称性面积不变性你能总结一下反比例函数的图象性质特征吗? 图象是双曲线 当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内 当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内 双曲线是中心对称图形 形状 位置变化趋势对称性双曲线无限接近于x轴、y轴,但永远不会与 坐标轴相交为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例。现在测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量6mg，请根据题中所提供信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数 关系式为 ，自变量x的取值范围 ，药物燃烧后y关于x的函数关系式为 ；适度拓展,探究思考（2）研究表明，每立方米的含药量低于1.6 mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 min，学生才能回教室。30（3）研究表明，每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？①已知y 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时y = 7，求 y与 x 的函数关系式。 ③已知y 与 x2 成反比例, 并且当 x = 3时 y = 4，求 x = 1.5 时 y的值。例 3②根据图形写出函数的表达式。 第6章 反比例函数6.2 反比例函数的图象和性质（2）双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.反比例函数的性质复习题：1．反比例函数 的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的表达式为 ，图象在第 象限， 它的图象关于 成中心对称．2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点A（1，m），则m＝ ，反比例函数的表达式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ． 二、四坐标原点2(-1,-2)它与 关于 成轴对称。坐标轴合作完成两个分支关于原点成中心对称两个分支关于原点成中心对称在第一、三象限内在第二、四象限内??第三象限第一象限x的值从小到大x的值从小到大y的值从大到小y的值从大到小1.当k>0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小第二象限第四象限2.当k<0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。y的值从小到大y的值从小到大 x的值从小到大x的值从小到大 观察反比例函数 的图象,说出y与x之间的变化关系:ABCDABCD减少每个象限增大每个象限正、反比例函数的图象与性质的比较：直线双曲线k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＞0，y随x的增大而增大；k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＜0，y随x的增大而减小．k＞0，在每个象限内y随x的增大而减小；k＜0，在每个象限内y随x的增大而增大．图象位置请大家解决这个问题-2-31．用“＞”或“＜”填空：（1）已知 和 是反比例函数 的两对自变量与函数的对应值．若 ，则 ．（2）已知 和 是反比例函数 的两对自变量与函数的对应值．若 ，则 ．2．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且 ，则 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）3．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ．C （1）当x＞5时，0 y 1。 （2）当x≤5时，则y 1或y＜ 。 （3）当y＞5时，求x的取值范围。<<≥00＜ x ＜14．已知反比例函数 ．探索思考解不等式AB当-1﹤x﹤0 或 x﹥3时, y1﹥y2 。 1CA(3,1)B(-1,-3)探索思考即不等式 的解为-1﹤x﹤0 或 x﹥3。 当-1﹤x﹤0 或 x﹥3时, 一次函数的值大于反比例函数的值 。 从A市到B市列车的行驶里程为120千米。假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。 例2：⑴ 求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；解:（1）从A市到B市列车的行驶里程为120千米,所以所求的函数表达式为 。自变量t的取值范围是∵v随t的增大而减小，∴由v≤160得解：因为自变量t的取值范围是 ，即在题设条件下，火车到B市的最短时间为45分钟，所以火车不可能在40分钟内到达B市。在50分钟内到达是有可能的，此时由 ≤t≤ 可得 144≤v≤160。 （2）从A市开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达B市可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？例1、已知反比例函数 的图象经过点A（1，4）。（1）①求此反比例函数的表达式； ②画出图像； ③并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。（2） 根据图像，得若y﹥1,则x的取值范围是 ； 若x ﹤1，则y的取值范围是 。（3） 若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3)均在此函数图像上，且x1 ﹤0﹤ x2 ﹤ x3，请比较y1，y2，y3的大小。（ 4 ）若过点A作AP⊥x轴于点P，求三角形AOP的面积。（5）若D，E，F是此反比例函数在第三象限的图象上的三个点，过D，E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，连结OD，OE，OF，设△ODM，△OEN，△OFK的面积分别为S1，S2，S3，则下列结论成立的是 ( ) A. S1﹤S2 ﹤ S3 B .S1﹥S2 ﹥ S3 C. S1﹤S3 ﹤ S2 D.S1=S2=S3（7）连结OA,OB,设点C是直线AB与y轴的交点, 求S△AOB;y（8）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值;(6) 求经过点A，B的一次函数的表达式;oA(1,4)（-4,-1）（9）在x轴上找一点P，使PA＋PC最短，求点P的坐标.C 2.若自变量x的取值范围为2＜x≤9，作出该函数的图象，并给出函数值y的取值范围。 1.作反比例函数y= 的图象。 记面积为18 cm²的平行四边形的一条边长为x（cm），这条边上的高为y（cm）。⑴求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围。⑵在如图的直角坐标系内，用描点法画出所求函数的图象。⑶求当边长满足0 < x < 15时，这条边上的高y的取值范围。246810121416182022242628O246810121416xy1820221.215P(m,n)xS=P1(3,2)P2(1,6)︳m n︱＝ ︳k︱S△ABC=︱k︱S四边形ABCD=2︱k︱BDx变式 2.如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝______．yxP1P2P3P4S1O1234拓展:（1）m=4（2）S△ABC=8B 4. 如图，直线l和双曲线y＝kx(k＞0)交于A，B两点，P是线段AB上的点（不与点A，B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连结OA，OB，0P，设△AOC的面积为S1 ，△BOD的面积为S2 ，△POE的面积为S3，则（ ） 5.如图，已知A（-4，2），B（n,-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象的两个交点。（１）求此反比例函数和一次函数的表达式；（２）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。6.下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。记从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为t 时，平均速度为v千米/时，且平均速度限定为不超过160 千米/时。⑴ 求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；⑵ 画出所求函数的图象；⑶ 从杭州开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达余姚可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？O255075100125150175yx0.7511.251.51.75 22.25 DP3P1P2
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