2023年湖北省恩施州恩施市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省恩施州恩施市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数中自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4.  一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“山”字相对的字是(    )

A. 水
B. 绿
C. 建
D. 共

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某校航模兴趣小组共有位同学，他们的年龄分布如表：

由于表格污损，和岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是(    )

A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差

7.  将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著田亩比类乘除算法年提出的这样一个问题：“直田积矩形面积八百六十四步平方步，只云阔宽不及长一十二步宽比长少一十二步问阔及长各几步”若设阔为步，则可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点不与点，重合，作于点，于点，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当与全等时，点运动的时间是(    )

A.
B.
C.
D. 或

12.  抛物线为常数的对称轴为，过点和点，且有下列结论：；对任意实数都有：；；若，则其中正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  的算术平方根是______ ．

14.  分解因式：          ．

15.  如图，内切于，切点分别为、、，若，，，则图中阴影部分的面积是______ ．

16.  对于正数，规定，例如：，，，利用以上的规律计算： ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图．在中，，于，平分，分别于、交于、，于连接，求证：四边形是菱形．

19.  本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程要求必须选修一门且只能选修一门？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
补全调查结果条形统计图；
小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
 

20.  本小题分
如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．提示：，

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，：：．
求，的值；
求点坐标并直接写出不等式的解集；
连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．

22.  本小题分
在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买棵柏树和棵杉树共需元，购买棵柏树和棵杉树共需元．
求柏树和杉树的单价；
若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共棵两种树都必须购买，且柏树的棵数不少于杉树的倍，设本次活动中购买柏树棵，此次购树的费用为元．
求与之间的函数表达式，并写出的取值范围？
要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？

23.  本小题分
如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点．
求证：；
求证：；
若，，求的长．

24.  本小题分
抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过点、，已知点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为．

求抛物线与直线的解析式；
如图，连接，，，若是直角三角形，求点的坐标；
如图，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义进行计算即可．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，
解得且，
故选：．
根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
 

4.【答案】 

【解析】解：由展开图可知山与共是对面，青与水是对面，建与绿是对面；
故选：．
由正方体展开图的特点，结合对面之间的联系可知山与共符合“”型对面．
本题考查正方体展开图对面的关系；能够牢记正方体展开图的特点，会由展开图找对面是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项错误；
B.，故本选项正确；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项错误；
故选：．
依据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则以及同底数幂的除法法则进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则以及同底数幂的除法法则，掌握幂的运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一共有人，中位数是从小到大排列后处在第、位两个数的平均数，而岁的有人，岁的有人，因此从小到大排列后，处在第、位两个数都是岁，因此中位数是岁，不会受岁，岁人数的影响；
因为岁有人，而岁的有人，岁、岁共有人，因此众数是岁；
故选：．
根据众数、中位数的定义进行判断即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意知，
，
，
，
故选：．
由得，再根据三角形的外角性质可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：宽比长少一十二步，且阔宽为步，
长为步，
又直田积矩形面积八百六十四步平方步，
根据题意可列出方程．
故选：．
根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据作图可知，
，，
，
，
，
根据勾股定理，得．
故选：．
根据作图可知，由已知条件可知，根据勾股定理，可得的长．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
，
，
四边形是矩形，
，
当时，最短，如下图：

当，，
，
在中，，
，
，
的最小值是，
，
的最小值是，
故选：．
根据题意可证四边形是矩形，得，再由垂线段最短得最短进而可得最短，最后进行计算即可．
本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，找到最短时的情况是解决此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
，
设点、的运动时间为秒，则，
，
，
与全等，
当，时，
，

当，时，
且，
解得且舍，
综上：当与全等时，点运动的时间是秒，
故选：．
根据等边对等角知，由与全等，分，时或，时，两种情况分别讨论．
本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据对应边分情况讨论是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线为常数的对称轴为，过点，且，
抛物线开口向下，则，故正确；
抛物线开口向下，对称轴为，
函数的最大值为，
对任意实数都有：，即，故错误；
对称轴为，．
当时的函数值大于，即，
，故正确；
对称轴为，点的对称点为，
抛物线开口向下，
若，则，故错误；
故选：．
根据抛物线为常数的对称轴为，过点且，即可判断开口向下，即可判断；根据二次函数的性质即可判断；根据抛物线的对称性即可判断；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：的平方根是，
的算术平方根是，
故答案为：．
根据算术平方更定义直接计算即可得到答案；
本题考查算术平方根的定义：一个数的正的平方根叫这个数的算术平方根．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止；首先提公因式，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】
解：
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：连接，，

内切于，切点分别为、、，，，
，，
设圆的半径为，
是直角三角形，
又内切于，切点分别为、、，
，
，，
根据勾股定理得，
解得或，负值舍去．
阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积，
图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
先利用切线的性质，由，，可知，，再根据勾股定理求出圆的半径，然后利用扇形的面积公式计算，阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积．
本题考查了求扇形面积，三角形内心的应用，勾股定理，切线长定理的应用，求圆的半径是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故答案为：．
根据，得到，即可得到答案；
本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到．
 

17.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】证明：，平分，，
，
在和中，，，由勾股定理得：，
平分，
，
在和中

≌，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】求出，，证≌，推出，求出，推出，推出，得出平行四边形，根据菱形判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
 

19.【答案】；；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 

【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：安全，理由如下：
过点作垂直，

由题意可得，，，，
在中，设，则，
在中，，
，
，
解得：，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的． 

【解析】过点作垂直，利用特殊角的三角函数值求得的长度，从而根据无理数的估算作出判断．
本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

21.【答案】解：点在直线上，，
，
解得，
如图，过作轴于点，
∽，
：：，
，
，
，
在中，令，得，
，
，
．

点是和的交点，
，
解得或，
点在第三象限，
，
由图象得，当或时，，
不等式的解集为或．
和同底同高，
，
，
，
． 

【解析】根据点在直线上，把点代入，求出的值；过作轴于点，得∽，根据：：，可求出点的坐标，可得点的坐标，代入反比例函数，即可求出的值；
根据交点坐标的性质，可求出点的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；
根据同底同高，得，即可．
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质，不等式的解集，交点坐标，三角形面积的转换．
 

22.【答案】解：设柏树每棵元，杉树每棵元，
根据题意得：，
解得，
柏树每棵元，杉树每棵元；
柏树的棵数不少于杉树的倍，
，
解得，
根据题意得：，
且是整数；
，
随的增大而增大，
是整数，
最小取，
当时，取最小值，
此时，
答：要使此次购树费用最少，柏树购买棵，杉树购买棵，最少费用为元． 

【解析】设柏树每棵元，杉树每棵元，可得：，即可解得柏树每棵元，杉树每棵元；
由柏树的棵数不少于杉树的倍，有，而，即知且是整数；
由一次函数性质可得柏树购买棵，杉树购买棵，最少费用为元．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
 

23.【答案】证明：连接，，交于，
是劣弧的中点，
，
，
，
，
，
是的切线，为半径，
，
，
，
；

证明：是劣弧的中点，
，
，
，
∽，
，
；

解：连接，

，，
，
由可得，
，
，
是劣弧的中点，
，
，
是的直径，
，
则，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的直径，
，
又，
，
，
，
，
即，又，
． 

【解析】连接，，交于，根据得到，结合得到，即，根据是的切线，为半径得到，即可得到证明；
根据得到，结合得到∽，即可得到证明；
连接，根据，，得到，结合得到，即可得到，结合三角函数即可得到答案．
本题主要考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及相交弦定理，连接、，是解决此类问题常添加的辅助线．
 

24.【答案】解：将代入二次函数关系式，求得，
求出抛物线解析式为，
将代入二次函数关系式，
求得，
，
将、分别代入中，得：，
解得：，
求出直线解析式为；
是直角三角形要分三种情况进行讨论：
当时，在以为直径的圆与抛物线的交点上，
显然这种情况不存在；
当，可得解析式为，
与抛物线的另一个交点，可得，
则，
当，可得解析式为，
与抛物线的另一个交点，可得，
则，
点的坐标为或；
过作轴交于，

，，
∽，
，
，，
，
过作轴交轴于，
∽，
，
，
，
又，
即，
又，
故时取得最大值． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可求解；
是直角三角形要分三种情况进行讨论．：当时与当，求的值即可求点坐标；
过作轴交于，求得，，则，过作轴交轴于，进而可得，再进而求解即可．
本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．