2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列几个实数中，无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  国产飞机，全称，是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的大型喷气式民用飞机，座级座，最大航程达数据用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为(    )
 
 A.
B.
C.
D. 6.  若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  我国古代孙子算经中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是“每人共乘一辆车，最终剩余辆车；每人共乘一辆车，最终有人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”若设有个人，则可列方程是(    )A.  B.
C.  D. 9.  如图，、、是的切线，切点分别为、、，点在上，若，则与的度数之和是(    )
 
 A.
B.
C.
D. 10.  已知点是二次函数的图象上一个定点，而是二次函数图象上动点，若对任意的实数，都有，则(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  若一组数据、、、、的众数为，则这组数据的中位数为______．12.  如图是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图，已知参加课程兴趣小组的人数为人，则该校参加各兴趣小组的学生共有______人．
 13.  扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为______ ．14.  若，则的最小值是______．15.  如图，点，为反比例函数图象上的两点，过点作轴的垂线，垂足为，与交于点，若的面积为，则的值为______ ．
 16.  如图，在中，，于点，为边上的中点，连接交于，将沿着翻折到，恰好有，连接、，则下列结论：
四边形为菱形；；；．
上述结论中正确的有______ 填正确的序号
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．19.  本小题分
如图，在▱中，，，，分别是，，，上的点，且，求证：．
20.  本小题分
小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯、客厅、走廊三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是______．
A.小明打开的一定是楼梯灯
B.小明打开的可能是卧室灯
C.小明打开的不可能是客厅灯
D.小明打开走廊灯的概率是
若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
21.  本小题分
某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为：，点到大楼的距离为米，求大楼的高度．
参考数据：，，
 22.  本小题分
年“清明节”前夕，宜宾某花店用元购进若干菊花，很快售完，接着又用元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的倍，且每朵花的进价比第一批的进价多元．
第一批花每束的进价是多少元．
若第一批菊花按元的售价销售，要使总利润不低于元不考虑其他因素，第二批每朵菊花的售价至少是多少元？23.  本小题分
如果三角形三边的长、、满足，那么我们就把这样的三角形叫做“等差三角形”如：三边长分别为、、或、、的三角形都是“等差三角形”．

如图，已知两条线段的长分别为、用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为、的“等差三角形”不写作法，保留作图痕迹．
如图，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交延长线于点，交于点若，判断是否为“等差三角形”？请说明理由．24.  本小题分
如图，在和中，，，，将绕点旋转一定角度，使得点在内且点，，在同一条直线上，连接，．
求证：；
，
求证：；
求的值．
25.  本小题分
已知抛物线与轴有且只有一个交点，且与轴于交于点．
求与的关系式；
若时，点在抛物线的对称轴上；若过点的直线：与抛物线只有一个交点；证明：直线平分；设过点的直线与抛物线交于，点，则是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是小数，属于有理数，故该选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
D、是无理数，故该选项符合题意；
故选：．
根据无理数是无限不循环小数判断即可．
本题考查了无理数，算术平方根，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 4.【答案】 【解析】解：、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意，
故选：．
根据单项式乘单项式的法则、积的乘方的法则、单项式除以单项式的法则和乘法公式依次作出判断即可．
本题考查了单项式乘单项式的法则、积的乘方的法则、单项式除以单项式的法则和乘法公式，正确利用运算法则计算是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意得：，，利用平行线的性质可求，进而可求解．
【解答】
解：如图，，，

，
，
，
故选：．  6.【答案】 【解析】解：一次函数的图象经过点和点，当时，
一次函数的图象是随的增大而增大，
，
．
故选：．
由当时 可以知道，随的增大而增大，则由一次函数性质可以知道应有：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，准确理解一次函数图象的性质，确定随的变化情况是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，结论A正确；
B、、是关于的方程的两根，
，
的值不确定，
结论不一定正确；
C、、是关于的方程的两根，
，结论C错误；
D、，
、异号，结论D错误．
故选：．
A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，可得出结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出，结论C错误；
D、由，可得出、异号，结论D错误．
综上即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：设有个人，则可列方程：．
故选：．
设有个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；每人共乘一辆车，最终有人无车可乘，根据车的数量不变列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示车的数量是解题关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了切线的性质、圆内接四边形的性质以及圆周角定理．求出是解题的关键．
根据圆周角定理，圆内接四边形的性质推出，再根据切线的性质，即可得出答案．
【解答】
解：连接，，，，，
，
，
，
，
、、是的切线，
，
，
故选：．  10.【答案】 【解析】解：对任的实数，有，
为二次数的顶点，
故，
故．
故选：．
根据二次数的对称性可知为二次数的顶，点故可求解．
此主考二次数的对称性，解题的关键是熟知二次函数的图形与性质．
 11.【答案】 【解析】解：数据、、、、的众数为，
，
则数据重新排列为、、、、，
所以中位数为，
故答案为：．
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 12.【答案】 【解析】解：参加课程兴趣小组的人数为人，百分比为，
参加各兴趣小组的学生共有人，
故答案为：．
根据扇形统计图中相应的项目的百分比，结合参加课程兴趣小组的人数为人，即可算出结果．
本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 13.【答案】 【解析】解：
故答案为：
扇形面积计算公式：设圆心角是，扇形所在圆的半径为，扇形面积为，则，由此即可计算．
本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．
 14.【答案】 【解析】解：，
，


，
的最小值是，
故答案为：．
根据，可以得到，然后代入所求式子，再将式子配方，即可得到所求式子的最小值．
本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是将所求式子写成二次函数顶点式的形式．
 15.【答案】 【解析】解：过点作轴于点，如图，

则∽，
，
的面积为，
，
由反比例函数比例系数的几何意义得：，
由题意知：，
；
故答案为：．
过点作轴于点，利用相似三角形的性质可求得的面积，由反比例函数比例系数的几何意义即可求和的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，由相似三角形的性质求得三角形的面积是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：将沿着翻折到，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
符合题意；
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
为边上的中点，
，
，
符合题意；
，
，
，
，
，
；
符合题意；
如图，过点作，交的延长线于，

设，则，
，
，

，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
不符合题意；
故答案为：．
根据折叠的性质得，，，再根据平行线的性质得出，等量代换后得出，推出，，证明四边形为菱形；
证明∽，得，，证∽，得，，为边上的中点得，等量代换得
根据为边上的中点，得，，，，等量代换得；
过点作，交的延长线于，设，则，得到，，根据菱形的性质得到，，证∽，得出，进而得出．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、翻折变换折叠问题、解直角三角形，掌握这些知识点的应用是解题关键．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】先计算负整数指数幂和零指数幂，再化简二次根式，最后加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解决本题的关键．
 18.【答案】解：原式，
当时，原式． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 【解析】由平行四边形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯、客厅、走廊三盏电灯，
小明任意按下一个开关，打开走廊灯的概率是，
故选：．

画树状图得：

共有种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是．
由小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯、客厅、走廊三盏电灯，直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的关键．
 21.【答案】解：如图，过点作于点，于点，

，
易得四边形是矩形，
，，
在中，：：：，
设，，
根据勾股定理，得，
，
解得，
米，
米，
米，
在中，米，
米．
答：大楼的高度约为米． 【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
过点作于点，于点，可得四边形是矩形，根据斜坡的坡度为：，设，，利用勾股定理可得的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度．
 22.【答案】解：设第一批花每束的进价是元，则第二批花每束的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：第一批花每束的进价是元．
由可知第二批菊花的进价为元．
设第二批菊花的售价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：第二批花的售价至少为元． 【解析】设第一批花每束的进价是元，则第二批花每束的进价是元，根据数量总价单价结合第二批所购花的数量是第一批所购花数的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
由第二批花的进价比第一批的进价多元可求出第二批花的进价，设第二批菊花的售价为元，根据利润每束花的利润数量结合总利润不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 23.【答案】解：所求图形，如右图所示，
是“匀称三角形”，
理由：连接、，如右图所示，
是的直径，
，
，
点是的中点，
点为的中点，
，
切于点，
，
，
过点作于点，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
在中，设，，由勾股定理得，，
，
是“等差三角形”． 【解析】在射线上截取，作线段的垂直平分线，垂足为，分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，即为所求；
根据“等差匀称三角形”的定义，由题目中信息的，利用切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等以及勾股定理可以判断是否为“等差三角形”．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 24.【答案】证明：，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
；
证明：如图，过点作于点，设，交于点，

由得，，

，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又
≌，
，即；

解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
，，，
，
，
≌，
，
，
≌，
，
由得，
，
，
． 【解析】根据等腰三角形的性质可得，可证明∽，从而得到，从而证得∽，即可；
过点作于点，设，交于点，根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再证明≌，即可；过点作于点，过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质可得，可证得≌，从而得到，再证得≌，可得，从而得到，即可．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
 25.【答案】解：由题意可知：
，
令，，
；
当时，，
，
过点的直线：与抛物线只有一个交点，
直线：，
过点的直线：与抛物线只有一个交点，
，
即，
整理得，
，
解得，
直线：交对称轴于，
，，
，
，即，
直线平分；
为定值，理由如下，
设过点的直线：，
联立，
化简，
设，，，
则，，



． 【解析】由题意可设函数解析式，令，即可得；
当时，，由题意可得过点的直线：与抛物线只有一个交点，即，即，解得，根据点的坐标计算可得，进而得出结论即可；
设过点的直线：，联立，设，，，则，，代入即可得出答案．
本题主要考查了二次函数综合题，根据题意设函数关系式以及点的坐标是解题的关键．