数学（上海卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（上海卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共19页。试卷主要包含了的相反数是，下列运算正确的是，若反比例函数y＝，已知f＝　3　，方程组的解是 　　等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【上海卷】
数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
B
D
C
B
B
B
一．选择题（共6小题）
1．的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：的相反数是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
3．若反比例函数y＝（k≠0），经过第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k＞0 C．k＜4 D．k＜0
【分析】直接利用当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，进而分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0），经过第二、四象限，
∴k﹣4＜0，
解得：k＜4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．
4．某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与第5个数无关．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．矩形 C．正五边形 D．等腰梯形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】解答此题要掌握等边三角形、矩形、正五边形和等腰梯形的性质以及中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
6．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，设OF＝xcm，则ON＝（8﹣x）cm，NE＝NF＝4，然后在Rt△NOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝8，
设OF＝xcm，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，
在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2
即：（8﹣x）2+42＝x2
解得：x＝5，
故选：B．
【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
7．若单项式与﹣2a3bn的和仍是单项式，则2m﹣n的值为 　1　．
【分析】由题意得到两单项式为同类项，利用同类项定义确定出m与n的值，代入代数式求解．
【解答】解：∵单项式与﹣2a3bn的和仍是单项式，
∴与﹣2a3bn是同类项，
∴m+1＝3，n＝3，
∴m＝2，n＝3，
∴2m﹣2＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了单项式的定义、同类项、代数式求值，解题的关键是掌握同类项的概念．
8．已知f（x）＝x2﹣2x+3，那么f（2）＝　3　．
【分析】将x＝2代入f（x）＝x2﹣2x+3求解即可．
【解答】解：将x＝2代入f（x）＝x2﹣2x+3，
得f（2）＝4﹣4+3＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了函数值，熟练掌握代入法是解题的关键．
9．方程组的解是 　　．
【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可．
【解答】解：
由①得：y＝x﹣5 ③，
将③代入②：x（x﹣5）＝﹣6，
整理得：x²﹣5x+6＝0，
x1＝2，x2＝3．
将上述x代入③，
得：y1＝﹣3，y2＝﹣2．
∴方程组的解：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二元二次方程组，考核的是学生解二元二次方程组的能力以及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成一元二次方程是关键．
10．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　且k≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
∴且k≠0．
故答案为：且k≠0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
11．不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 　　．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，
∴摸出1个红球1个黑球的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．某商店1月份盈利2400元，3月份的盈利达到3456元，且从1月到3月每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率为 　20%　．
【分析】设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可．
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：
2400（1+x）2＝3456
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）
答：每月盈利的平均增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣．
13．某校学生“数学速算”大赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩在80分及以上的学生有 　135　人．

【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得成绩在80分及以上的学生人数，本题得以解决．
【解答】解：由直方图可得，
成绩为80分及以上的学生有：90+45＝135（人），
故答案为：135．
【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．已知直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y＝kx+1﹣k不经过第 　三　象限．
【分析】由直线经过一、二、四象限可分析k＜0，b＞0，由此判定y＝kx+1﹣k不经过第三象限．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴1﹣k＞0，
∴直线y＝kx+1﹣k一定不经过第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD中点，联结AE交对角线BD于F，设＝，＝，那么可用、表示为 　﹣+　．

【分析】根据三角形法则求得；利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例求得BF＝BD，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝+＝﹣+，
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴＝．
∵点E是边CD中点，
∴＝＝．
∴＝＝﹣+．
故答案是：﹣+．

【点评】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 　　．
【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．
【解答】解：设这批椽的数量为x株，
由题意可得：，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
17．如图，已知△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝70°，如果将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，使点B的对应点B′落在边AC上，那么∠AA′B′的度数是 　20°　．

【分析】分别求出∠CA′A，∠CA′B′可得结论．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
由旋转变换的性质可知，∠ACB＝∠ACA′＝80°，CA＝CA′，
∴∠CAA′＝∠CA′A＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠AA′B′＝∠CA′A﹣∠CA′B′＝50°﹣30°＝20°．
故答案为：20°．

【点评】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，点D在边BC上，且△ABD是“倍角互余三角形”，那么BD的长等于 　或　．
【分析】作DH⊥AB于H，根据定义规定分别得出∠CAD＝α或∠CAD＝β这两种情况，再分别根据全等和相似计算即可．
【解答】解：如图1，∵BC＝4，AB＝5，
∴AC＝3，
作DH⊥AB于H，设∠BAD＝α，∠ABD＝β，
①当2α+β＝90°时，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+α+β＝90°，
∴∠CAD＝α，
∵DH⊥AB，
∴△ADC≌△ADH（AAS），
∴AH＝AC＝3，
∴BH＝5﹣3＝2，设BD＝x，
∴CD＝4﹣x＝DH，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝，
即BD＝．
②当2β+α＝90°时，
∴∠CAD＝β，
∴△CAD∽△CBA，
∴CD：AC＝AC：CB，
即CD：3＝3：4，
∴CD＝，
∴BD＝4﹣＝．

故答案为为：或．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练运用全等、相似、勾股定理是解题关键．
三．解答题（共7小题）
19．计算：．
【分析】根据实数的混合运算法则，先计算分数指数幂，再计算除法，最后计算加法．
【解答】解：
＝﹣2+2+
＝﹣2+2+5
＝5．
【点评】本题主要考查实数的混合运算、分数指数幂，熟练掌握实数的混合运算法则、分数指数幂是解决本题的关键．
20．解不等式组：．
【分析】分别解两个不等式，求解集的公共部分即可．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3．
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．
21．如图，直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB＝2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y＝上，说明理由．

【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（2）作DF⊥x轴于F，易证△ADF≌△BAO（AAS），利用全等三角形的性质可求出点D的坐标，利用k＝xy即可判断．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A（，0），B（0，b），
∴OA＝，OB＝b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴（2）2＝（）2+b2，解得b＝4（负数舍去），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4．
（2）由（1）可知OA＝2，OB＝4，
作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，
∵正方形ABCD，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF．
在△ADF和△BAO中，
，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF＝BO＝4，DF＝AO＝2，
∴点D的坐标为（6，2），
∵6×2＝12，
∴点D在双曲线y＝上．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质，求出点D的坐标．
22．问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为53°．
乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．
任务要求：
（1）请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图2，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段NG的影长．）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【分析】（1）在Rt△DEF中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答；
（2）连接OM，根据题意可得∠NHG＝53°，然后在Rt△NGH中，利用锐角三角函数的定义求出NG的长，从而利用勾股定理求出NH的长，再利用切线的性质可得∠OMN＝90°，最后设景观灯灯罩的半径为rcm，再证明△NMO∽△NGH，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△DEF中，∠EFD＝53°，DF＝900cm，
∴ED＝DF•tan53°≈900×＝1200（cm）＝12（m），
∴学校旗杆的高度约为12m；
（2）连接OM，

由题意得：
∠NHG＝∠EFD＝53°，
在Rt△NGH中，GH＝156cm，
∴NG＝GH•tan53°≈156×＝208（cm），
∴NH＝＝＝260（cm），
∵KG＝200cm，
∴NK＝NG﹣GK＝8（cm），
设景观灯灯罩的半径为rcm，
∵太阳光线NH与⊙O相切于点M，
∴∠OMN＝90°，
∴∠OMN＝∠NGH＝90°，
∵∠N＝∠N，
∴△NMO∽△NGH，
∴＝，
∴＝，
∴r＝12，
∴景观灯灯罩的半径为12cm．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，切线的性质，平行投影，中心投影，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．

【分析】（1）根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB＝∠EBC，＝，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得＝，即可解答；
（2）根据已知易证△BFE∽△BED，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF＝∠BDE，进而可得∠DAF＝∠BDE，然后利用（1）的结论可证△ADF≌△DBE，再利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，
∴＝，
∵∠ADB＝∠BEC，
∴△DAB∽△EBC，
∴∠DAB＝∠EBC，＝，
∴AD∥EB，
∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∴；
（2）∵BE2＝BF•BD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠EBF，
∴△BFE∽△BED，
∴∠BEF＝∠BDE，
∵∠DAF＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴DF＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．

【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线的解析式，当x＝0时，可求出点C的坐标；
（2）证出∠BCD＝90°．由锐角三角函数的定义可得出答案；
（3）证出∠ACB＝∠DBO．分两种情况，由相似三角形的判定与性质可得出BP的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
当x＝0时，y＝﹣3．
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4）．
∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），
∴BC＝，DC＝，BD＝．
∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．
∴∠BCD＝90°．
∴tan∠CBD＝．
（3）∵tan∠ACO＝，
∴∠ACO＝∠CBD．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．
即：∠ACB＝∠DBO．
∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．
（i）当时，
∴．
∴BP＝6．
∴P（﹣3，0）．
（ii）当时，
∴．
∴BP＝．
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．

（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
【分析】（1）设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，依据勾股定理即可得到；
（2）①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2＝CE•CP，即，进而得到；
②分两种情况讨论：若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，即可得到．
【解答】解：（1）∵AE∥CD，
∴＝，
∵BC＝DC，
∴BE＝AE，
设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，即32+x2＝（x+2）2，
∴，即；

（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，
∴∠ACQ＝∠P，
又∵AE∥CD，
∴∠ACQ＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠P，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC2＝CE•CP，即，
∴；
②设CP＝t，则，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵AE∥CD，
∴，
即＝＝，
∴，
若两圆外切，那么，
此时方程无实数解；
若两圆内切，那么，
∴15t2﹣40t+16＝0，
解之得，
又∵t＞，
∴．


【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．