数学（深圳卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（深圳卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【深圳卷】
数学·全解全析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个数中，-13的倒数是（　　）
A．3 B．13 C．-13 D．﹣3
【答案】D
【分析】根据倒数的概念即可得到答案．
【解答】解：-13的倒数是﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查一个数的倒数，解题的关键是掌握倒数的概念：两个数乘积为1，则这两个数互为倒数．
2．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一行两个相邻的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．据了解，某定点医院收治的6名“新型冠状肺炎”患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，3天，4天，5天，则这6名患者新冠病毒潜伏期的众数为（　　）
A．2天 B．3天 C．4天 D．5天
【答案】B
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：数据3天出现了三次最多为众数；
故选：B．
【点评】本题考查了众数，掌握众数的定义是解答本题的关键．
5．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2（a+1）＝2a+1
C．a3×a2＝a6 D．（ab2）3＝a3b6
【答案】D
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，去括号与添括号，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a2与a3不能合并，故A不符合题意，
B、2（a+1）＝2a+2，故B不符合题意，
C、a3×a2＝a5，故C不符合题意；
D、（ab2）3＝a3b6，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，去括号与添括号，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
6．不等式组2x≤-1x＞-1的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞-12 C．x≤-12 D．﹣1＜x≤-12
【答案】D
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x≤﹣1，
得：x≤-12，
又∵x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：-1＜x≤-12．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，若∠AEC＝66°，则∠C的度数为（　　）

A．42° B．44° C．46° D．48°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，得到：∠EAB＝∠AEC＝66°，根据角平分线平分角，得到∠BAC＝2∠EAB，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠C的度数即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠AEC＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAB＝132°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠CAB＝48°；
故选：D．
【点评】本题考查利用平行线的性质求角度．熟练掌握平行线的性质以及角平分线平分角，是解题的关键．
8．若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列方程组为（　　）
A．3x-y=603x+y=120 B．3(x+y)=1203(x-y)=60
C．3(x-y)=1203(x+y)=60 D．3x+y=603x-y=120
【答案】B
【分析】根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得3(x+y)=1203(x-y)=60．
故选：B．
【点评】此题是由实际问题抽象出二元一次方程组，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下面结论：①CF＝2AF；②DF=6EF；③∠DFC＝∠AEB；④tan∠CAD＝2．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AEBC=AFCF，由AE=12AD=12BC，推出AFCF=12，即CF＝2AF；
②如图，延长BE、CD交于点M，设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，根据△BAE∽△ADC，可得b=2a，由四边形ABCD是矩形，可得AD∥BC，CD＝AB=2a，利用勾股定理可得BE=3a，再由△EAF∽△EBA，即可得出DF=6EF；
③由②可得：DF＝CD，进而得出∠DFC＝∠DCF，再由△BAE∽△ADC，可得∠AEB＝∠DCF，从而得出∠DFC＝∠AEB；
④设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由②知，b=2a，可得tan∠CAD=CDAD=22，可判断④错误．
【解答】解：①∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AEBC=AFCF，
∵AE=12AD=12BC，
∴AFCF=12，
∴CF＝2AF，故①正确；
②如图，延长BE、CD交于点M，
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由△BAE∽△ADC，有 ba=2ab，即b=2a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB=2a，
∴MDMC=DEBC=12，
∴MC＝2MD，
∴MD+CD＝2MD，
∴CD＝MD=2a，
∴MC＝2CD＝22a，
∵∠CFM＝90°，
∴DF=12MC=2a，
在Rt△ABE中，BE=AE2+AB2=a2+(2a)2=3a，
∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，
∴△EAF∽△EBA，
∴EFAE=AEBE，即EFa=a3a，
∴EF=33a，
∴DFEF=2a33a=6，
∴DF=6EF，故②正确；
③如图，由②可得：DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
又∵△BAE∽△ADC，
∴∠AEB＝∠DCF，
∴∠DFC＝∠AEB，故③正确；
④如图，设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由②知，b=2a，
∴tan∠CAD=CDAD=b2a=2a2a=22，故④错误；
故选：C．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①若c＝1，则0＜b＜1；
②若m=32时，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2），在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
⑤如果m=32，c＝1，那么当0＜x＜2时，直线y＝k与该二次函数有一个公共点，则﹣1＜k＜1．
其中结论正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】①根据c＝1和过点A，可得a＝b﹣1，根据1＜m＜2，列不等式组可解答；
②根据对称轴是直线x=x1+x22，计算b=-12a，最后将点A的坐标代入抛物线的解析式可解答；
③计算对称轴x＝h，确定0＜h＜0.5，可知：点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，开口向下时可得y的大小；
④列方程计算Δ＞0可解答；
⑤根据已知确定解析式，列方程计算Δ可解答．
【解答】解：∵若c＝1，则y＝ax2+bx+1，
∵抛物线过A（﹣1，0），
∴a﹣b+1＝0，
∴a＝b﹣1，
∵1＜m＜2，
∴当x＝1时，a+b+1＞0；当x＝2时，4a+2b+1＜0；
联立此两个不等式，将a＝b﹣1代入以上不等式，
可解得0＜b＜12；故①错误；
当m=32时，对称轴是直线x=-1+322=-b2a=14，
∴b=-12a，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴a+12a+c＝0，即3a2+c＝0，
∴3a+2c＝0，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴是直线x＝h=-1+m2，
∴1＜m＜2，
∴0＜-1+m2＜0.5，即0＜h＜0.5，
∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③正确；
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵1＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
如果c＝1，则y＝ax2+bx+1，
如果m=32，根据②3a+2c＝0，则a=-23；
又∵抛物线过A（﹣1，0），a﹣b+1＝0，
∴b=13，
∴y=-23x2+13x+1，
当x＝0时，y＝1，当x＝2时，y＝﹣1，
根据图象知，直线y＝k与该二次函数有一个公共点，
则-23x2+13x+1＝k，
∴Δ＝（13）2﹣4×（-23）×（1﹣k）＝0，
∴k=2524．故⑤错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：x4﹣16＝　（x2+4）（x+2）（x﹣2）．　．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进行两次分解．
【解答】解：x4﹣16
＝（x2+4）（x2﹣4）
＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．李叔叔经营一家水果超市，李叔叔随机抽取了五月份其中6天的营业额（单位：万元）分别为3、2、6、4、1、2，请你帮李叔叔估计一下五月份的营业额约是 　93　万元．
【答案】93．
【分析】首先计算出6天的营业额的平均数，然后再计算五月份的营业额．
【解答】解：（3+2+6+4+1+2）÷6＝3（万元），
3×31＝93（万元）．
故答案为：93．
【点评】此题主要考查了利用样本估计总体，以及算术平均数，关键是掌握对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
13．如图，已知点A是反比例函数y=-2x的图象上的一个动点，连接OA若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为 　y=2x　．

【答案】y=2x．
【分析】根据A是反比例函数y=-2x的图象上，可得S△OAC＝1，由旋转的性质，全等三角形的性质可得S△OBD＝S△AOC＝1，再根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，进而确定反比例函数关系式．
【解答】解：∵点A是反比例函数y=-2x的图象上，
∴S△OAC=12|k|＝1，
∵线段OB是由线段OA绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
又∵∠AOC+∠OAC＝90°，∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△OBD＝S△AOC＝1=12|k|，
又∵k＞0，
∴k＝2，
∴过点B的反比例函数关系式为y=2x，
故答案为：y=2x．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，G是AC上一点，AG、DC的延长线交于点F．若CF＝AD＝20，DC＝24，则tan∠F＝　12　，四边形ADCG的面积为 　242　．

【答案】12，242．
【分析】利用垂径定理和圆周角定理求得∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，再根据圆内接四边形的性质证明∠DAG＝∠FCG，∠AGD＝∠ACD＝∠ADC＝∠FGC，推出△DAG≌△FCG（AAS），利用垂径定理和勾股定理求得AE，利用正切函数的定义可求得tan∠F的值；利用等腰三角形的性质以及tan∠F的值可求得GH，据此求解即可．
【解答】解：连接DG，AC，作GH⊥DF于点H，

∵AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，
∵四边形ADCG内接于⊙O，
∴∠DAC+∠DCG＝180°，∠ADC+∠AGC＝180°，而∠GCF+∠DCG＝180°，∠FGC+∠AGC＝180°，
∴∠DAG＝∠FCG，∠AGD＝∠ACD＝∠ADC＝∠FGC，
∵CF＝AD＝20，
∴△DAG≌△FCG（AAS），
∴AG＝GC，DG＝GF，
∵AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，
∴DE=EC=12CD=12，
∴AE=AD2-DE2=16，EF＝EC+CF＝32，
∴tan∠F=AEEF=1632=12；
∵DG＝GF，GH⊥DF，
∴DH=HF=12DF=22，
∵tan∠F=GHHF=12，
∴GH=12HF=11，
∴四边形ADCG的面积为12×DF×AE-12×CF×GH=12×44×16-12×20×11=242．
故答案为：12，242．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，正切函数的定义，等腰三角形的判定和性质，证明△DAG≌△FCG是解答本题的关键．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　1322　．

【答案】见试题解答内容
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．

∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝52，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF=2，
∵CE＝4AE，
∴EC＝42，AE=2，
∴EH＝52，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（52）2+（2）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴EFEP=ECEF，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP=5242=1322．
故答案为1322．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算：（12）﹣1+4cos45°-8+（2023﹣π）0．
【答案】3．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2+4×22-22+1
＝2+22-22+1
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．先化简，再求值：(2x+2x2-1+1)÷x+1x2-2x+1，其中x＝4．
【答案】x﹣1，3．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（2x+2x2-1+x2-1x2-1）•(x-1)2x+1
=x2+2x+1x2-1•(x-1)2x+1
=(x+1)2(x+1)(x-1)•(x-1)2x+1
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

（1）参加比赛的学生人数共有 　20　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 　72　度，图中m的值为 　40　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．

【答案】（1）20，72，40．
（2）见解析．
（3）23．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为420×360°=72°；
C等级所占的百分比为820×100%=40%，
所以m＝40，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全统计图，如图所示：

（3）解：根据题意，列出表格，如下：

男
女1
女2
男

女1、男
女2、男
女1
男、女1

女2、女1
女2
男、女2
女1、女2

共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为46=23．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
19．某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品．已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元．用350元购买冰墩墩的件数恰好与用300元购买雪容融的件数相同．
（1）求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么最多可购买多少件冰墩墩？
（3）在（2）的条件下，若冰墩墩的售价为每件80元，雪容融的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少？
【答案】（1）冰墩墩每件的进价是70元，雪容融每件的进价是60元；
（2）最多可购买20件冰墩墩；
（3）这50件商品全部售出后获得的最大利润是350元．
【分析】（1）设冰墩墩每件的进价是x元，则雪容融每件的进价是（x﹣10）元，可得：350x=300x-10，解方程并检验可得冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元；
（2）设购买m件冰墩墩，根据投入的经费不超过3200元，有70m+60（50﹣m）≤3200，即可解得最多可购买20件冰墩墩；
（3）设全部售出后获得的利润是w元，w＝（80﹣70）m+（65﹣60）（50﹣m）＝5m+250，由一次函数性质可得这50件商品全部售出后获得的最大利润是350元．
【解答】解：（1）设冰墩墩每件的进价是x元，则雪容融每件的进价是（x﹣10）元，
根据题意得：350x=300x-10，
解得x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，也符合题意，
∴x﹣10＝60，
∴冰墩墩每件的进价是70元，雪容融每件的进价是60元；
（2）设购买m件冰墩墩，则购买（50﹣m）件雪容融，
∵投入的经费不超过3200元，
∴70m+60（50﹣m）≤3200，
解得m≤20，
∴最多可购买20件冰墩墩；
（3）设全部售出后获得的利润是w元，
∴w＝（80﹣70）m+（65﹣60）（50﹣m）＝5m+250，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝20时，w取最大值，最大值为5×20+250＝350（元），
答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是350元．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
20．一、概念理解：
在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于y轴（包括y轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”．例如：正比例函数y＝x和y＝﹣x是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点O是共根点．
二、问题解决：
（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数y＝2x﹣2共根点为（1，0）的共根函数图象，并写出此函数的解析式 　y＝﹣2x+2　．
（2）将二次函数y＝x2﹣2x水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出y＝x2﹣2x图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中m＝　3　，n＝　0　．这对共根函数的共根点坐标是 　（32，-34）　．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
……
y＝x2﹣2x
…
8
m
0
﹣1
n
3
8
……
三、拓展提升
（3）在（2）条件下，函数y＝x2﹣2x与x轴的两个交点分别为A，B，一条平行于x轴的直线y＝k与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点A，B一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出k的值，如果不存在，请说明理由．
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【答案】（1）y＝﹣2x+2；画出图象见解答过程；
（2）3，0，（32，-34）；画出图象见解答过程；
（3）存在有两个交点与点A，B一起构成一个平行四边形，k的值为-34或54．
【分析】（1）由一次函数y＝2x﹣2图象过点（1，0）和点（2，2），可知与一次函数y＝2x﹣2共根点为（1，0）的共根函数图象过（1，0）和（0，2），描点画出函数图象，用待定系数法可得解析式；
（2）在y＝x2﹣2x中，令x＝﹣1，x＝2即可算得m，n的值，再描点作出图象，由平移的特征求出平移后抛物线解析式，联立解析式可得“共根点“坐标；
（3）求出AB＝2，分两种情况画出图形：①四边形ABCD为平行四边形，在y＝x2﹣2x中，令x=32-1=12得y=-34，即得k=-34；②四边形ABFE为平行四边形，在y＝x2﹣4x+3中，令x=12得y=54，故k=54．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣2图象过点（1，0）和点（2，2），
∴与一次函数y＝2x﹣2共根点为（1，0）的共根函数图象过（1，0）和（0，2），
作出图象如下：

设与一次函数y＝2x﹣2共根点为（1，0）的共根函数解析式为y＝kx+2，
∴k+2＝0，
解得k＝﹣2，
∴与一次函数y＝2x﹣2共根点为（1，0）的共根函数解析式为y＝﹣2x+2；
故答案为：y＝﹣2x+2；
（2）在y＝x2﹣2x中，
x＝﹣1时，y＝3，即m＝3，
x＝2时，y＝0，即n＝0，
作出函数图象如下：

将抛物线y＝x2﹣2x向右平移一个单位得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
由y=x2-2xy=x2-4x+3得x=32y=-34，
∴这对共根函数的共根点坐标是（32，-34）；
故答案为：3，0，（32，-34）；
（3）存在有两个交点与点A，B一起构成一个平行四边形，理由如下：
在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x＝0或x＝2，
∴函数y＝x2﹣2x与x轴的两个交点分别为A（0，0）和B（2，0），
∴AB＝2，
①四边形ABCD为平行四边形，如图：

∵两个函数的“共根轴”为直线x=32，
∴C，D关于直线x=32对称，
∵CD＝AB＝2，
∴C，D到直线x=32的距离都为1，
在y＝x2﹣2x中，令x=32-1=12得y=-34，
∴k=-34；
②四边形ABFE为平行四边形，如图：

同理可知E，F到直线x=32的距离都为1，
在y＝x2﹣4x+3中，令x=12得y=54，
∴k=54，
综上所述，k的值为-34或54．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，新定义，对称变换等知识，解题的关键是读懂题意，理解“共根点“，“共根轴“，“共根函数“的意义．
21．在⊙O中，弦CD平分圆周角∠ACB，连接AB，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAB=13，且B是CE的中点，⊙O的直径是10，求DE的长．
（3）P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP，过点D作DH⊥BP于点H，请探究点P在运动的过程中，
BHAP+BP的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
【答案】（1）见解答；
（2）DE=2；
（3）BHAP+BP=12．
【分析】（1）利用垂径定理即可证得结论；
（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；
（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．
【解答】证明：（1）如图1，连接OD交AB于点F，连接OA，OB，AD，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD=BD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵AB∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
解：（2）如图2，连接OC，OD，OE，过点O作OF⊥BC于点F，

∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，OF⊥BC，
∴∠COF＝∠12∠COB＝∠CAB，
∴tan∠COF=CFOF=tan∠CAB=13，
设CF＝x，OF＝3x，
∵⊙O的直径是10，
∴OC=102，
∵OC2＝OF2+CF2，
∴（102）2＝（3x）2+x2，
解得：x=12，
∴CF=12，OF=32，
∴BC＝1，
∵B是CE的中点，
∴BE＝BC＝1，
∴EF=32，
∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（32）2+（32）2=184，
∵OD2+DE2＝OE2，
∴DE=OE2-OD2=184-104=2．
（3）解法一：如图3，延长BP至Q使得PQ＝AP，连接AQ，OC，连接OB，BD，连接OD交AB于点K，连接HK，

∵A，P，B，C四点共圆，
∴∠APQ＝∠ACB，
∵AP＝PQ，
∴∠Q＝∠QAP，
∴∠Q＝90°-12∠ACB，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，
∴OD⊥AB，
∴K是AB的中点，
∵DH⊥BH，
∴∠BHD＝90°，
∵∠BKD＝90°，
∴B，K，H，D四点共圆，
∴∠BHK＝∠ODB，
∵∠BOD＝∠ACB，OB＝OD，
∴∠ODB＝90°-12∠ACB，
∴∠ODB＝∠Q，
∴∠BHK＝∠Q，
∴AQ∥HK，
∴BHBQ=BKAB=12，
∵BQ＝BP+QP，QP＝AP，
∴BQ＝BP+AP，
∴BHBP+AP=12．
解法二：如图4，在BP上截取BM＝AP，连接DM，BD，DP，AD，

∵弦CD平分圆周角∠ACB，
∴AD＝BD，
∵PD=PD，
∴∠PAD＝∠PBD＝∠MBD，
∴△APD≌△BMD（SAS），
∴DP＝DM，AP＝BM，
∵DH⊥BP，
∴DH为△PDM的中线，
∴HP＝HM，
∴BP＝BM+PM＝BM+2HM，
∵BH＝BM+HM，
∴BHAP+BP=BM+HMBM+BM+2HM=12．
解法三：如图：连接DA，DB，DP，CD，将△APD沿PD翻折得到△A'PD，

∵∠APD+∠ACD＝180°，AD=BD，
∴∠BPD＝∠ACD，
∴∠BPD+∠APD＝180°，
由翻折得△APD≌△A'PD，
∴∠A'PD＝∠APD，AD＝A'D，
∴∠A'PD+∠BPD＝180°，
∴A'，P，B三点共线，
∵BD=AD，
∴AD＝BD，
∴A'D＝BD，
又∵DH⊥A'B，
∴A'H＝HB=12A'B，
∴AP+PH=12AP+PB，
∴比值不变，恒为12．
【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．
22．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E为平面内一点，且BE＝1．
（1）若AB＝BC，
①如图1，当点E在BC上时，连接AE，作∠EAF＝60°交CD于点F，连接AC、EF，求证：△EAF为等边三角形；
②如图2，连接AE，作∠EAF＝30°，作EF⊥AF于点F，连接CF，当点F在线段BC上时，求CF的长度；
（2）如图3，连接AC，若∠BAC＝90°，P为AB边上一点（不与A、B重合），连接PE，以PE为边作Rt△EPF，且∠EPF＝90°，∠PEF＝60°，作∠PEF的角平分线EG，与PF交于点G，连接DG，点E在运动的过程中，DG的最大值与最小值的差为 　233　．

【答案】（1）①证明解析部分；
②2+32或2-32；
（2）233．
【分析】（1）①证明△ABE≌△ACF（ASA），推出AE＝AF，可得结论；
②过点A作AH⊥BC于点H．连接AC，则BH＝CH＝2．记住解摄像机求出FH，分两种情形求出CF的值即可；
（2）如图3中，过点P作PH⊥AB交∠ABC的角平分线于点H，连接HG．证明点G的运动轨迹是以H为圆心，33为半径的圆，可得结论．
【解答】（1）①证明：如图1中，

在平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD
∵BA＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠1＝∠2，
∵∠B＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．

②解：过点A作AH⊥BC于点H．连接AC，则BH＝CH＝2．
在Rt△ABH中，sin∠ABH=AHAB=32，∠BAH＝30°，
在Rt△AEF中，cos∠EAF=AFAE=32，
∴AHAB=AFAE，∠BAE＝∠HAF，
∴△ABE∽△AHF，
∴FHEB=AHAB=32，
∴FH=32，
∴当F落在H左侧时，CF＝CH+HF＝2+32，
当F落在H右侧时，CF＝CH﹣HF＝2-32．


（2）解：如图3中，过点P作PH⊥AB交∠ABC的角平分线于点H，连接HG．

∵∠BPH＝90°，∠PBH=12∠ABC＝30°，
∴PB=3PH，
∵∠EPG＝90°，∠PEG=12∠PEF＝30°，
∴PE=3PG，
∴PBPH=PEPG，
∵∠BPH＝∠EPG＝90°，
∴∠BPE＝∠HPG，
∴△BPE∽△HPG，
∴BEHG=PBPH=3，
∴HG=33BE=33，
∴点G的运动轨迹是以H为圆心，33为半径的圆，
∴DG的最大值与最小值的差是⊙H的直径=233．
故答案为：233．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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