数学（浙江杭州卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（浙江杭州卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【浙江杭州卷】
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
C
C
A
A
D
D
A
D
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第2课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课，某平台进行全程直播．某一时刻观看人数达到3790000人．用科学记数法表示3790000，正确的是（　　）
A．379×104 B．3.79×106 C．3.79×104 D．37.9×105
【答案】B
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解析】解：3790000＝3.79×106．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．如图，直线a∥b，∠1＝72°，那么∠2的度数是（　　）

A．128° B．108° C．72° D．82°
【答案】B
【点拨】根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行计算即可．
【解析】解：∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝72°，
∴∠3＝108°，
∴∠2＝108°．
故选：B．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．如图，点C到直线l的距离是（　　）

A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
【答案】C
【点拨】根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离判断即可．
【解析】解：∵点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，
∴点C到直线l的距离是线段CD的长度，
故选：C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，正确理解定义是解题的关键．
4．若m＞n，则下列各式错误的是（　　）
A．m+2＞n+2 B．3m＞3n C．﹣5m＞﹣5n D．
【答案】C
【点拨】根据不等式的性质判断即可．
【解析】解：A、∵m＞n，∴m+2＞n+2，故该选项正确，
B、∵m＞n，∴3m＞3n，故该选项正确，
C、∵m＞n，∴﹣5m＜﹣5n，故该选项错误，
D、∵m＞n，∴，故该选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记知识点是解题关键．
5．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OD⊥BC于E，当∠BAC＝45°时，BE的长是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】连接OC，根据垂径定理和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：连接OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OD⊥BC
∴∠BOD＝45°，∠BEO＝90°，BE＝BC，
∵OB＝OC＝2，
∴BC＝2，
∴BE＝，
故选：A．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需34800元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解析】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．某次比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法正确的是（　　）
A．方差是3.6 B．众数是10 C．中位数是3 D．平均数是6
【答案】D
【点拨】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
【解析】解：平均数为（7+5+3+5+10）÷5＝6；
方差为×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]＝5.6；
数据中5出现2次，所以众数为5；
数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握相关定义是解题的关键．
8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I与电阻R是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
​

A．函数表达式为I＝ B．蓄电池的电压是18V
C．当R＝3.6Ω时，I＝4A D．当I≤10A时，R≥3.6Ω
【答案】D
【点拨】根据函数图象可设I＝，再将（4，9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解析】解：设I＝，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝，故选项A错误，不符合题意；
∴蓄电池的电压是36V，故选项B错误，不符合题意；
当R＝3.6Ω时，I＝＝10（A），故选项C错误，不符合题意；
当I＝10A时，R＝3.6Ω，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
9．如图，一个钟摆的摆长OB为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角∠BOD为2a，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差AC为（　　）

A．（1.5﹣1.5cosα）米 B．米 C．（1.5﹣1.5sinα）米 D．米
【答案】A
【点拨】根据题意可得：OA⊥BD，∠BOC＝α，OB＝OA＝1.5米，然后在Rt△BOC中，利用锐角三角函数的定义求出OC的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：OA⊥BD，∠BOC＝∠BOD＝•2α＝α，OB＝OA＝1.5米，
在Rt△BOC中，OC＝OB•cosα＝1.5cosα，
∴AC＝OA﹣OC＝（1.5﹣1.5cosα）米，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．已知二次函数y＝（x﹣k+2）（x+k）+m﹣1，其中k，m为常数，下列说法正确的是（　　）
A．若k＞1，m＞1，则二次函数y的最小值小于0
B．若k＞1，m＜1，则二次函数y的最小值大于0
C．若k＜1，m＞1，则二次函数y的最小值大于0
D．若k＜1，m＜1，则二次函数y的最小值小于0
【答案】D
【点拨】先化简二次函数y＝（x﹣k+2）（x+k）+m﹣1，得y＝（x+1）2﹣（k﹣1）2+m﹣1，再进行分析可得答案．
【解析】解：由y＝（x﹣k+2）（x+k）+m﹣1得：y＝（x+1）2﹣（k﹣1）2+m﹣1，
∵﹣（k﹣1）2≤0，
当m＞1时，可得m﹣1＞0，得﹣（k﹣1）2+m﹣1是大于0还是小于均有可能，无答案，
当m＜1时，可得m﹣1＜0，得﹣（k﹣1）2+m﹣1＜0，而y＝（x+1）2﹣（k﹣1）2+m﹣1开口向上，只有最小值．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算：|﹣2|＝　2　；（﹣2）0＝　1　．
【答案】2，1．
【点拨】根据绝对值的性质和零指数幂的定义解答．
【解析】解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1．
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值，熟悉绝对值的性质和零指数幂的定义是解题的关键．
12．妈妈煮了4个汤圆，分别是2个花生味和2个芝麻味，小明随意吃两个恰好都是花生味的概率是 　　．
【答案】．
【点拨】画树状图得出所有等可能的结果数以及小明随意吃两个恰好都是花生味的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：设2个花生味的汤圆分别记为A，B，2个芝麻味的汤圆分别记为C，D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明随意吃两个恰好都是花生味的结果有：AB，BA，共2种，
∴小明随意吃两个恰好都是花生味的概率为＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O和相交于点C，AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径长为 　6　．

【答案】6．
【点拨】设⊙O的半径是R，连接OB，根据切线的性质得出∠OBA＝90°，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．
【解析】解：设⊙O的半径是R，连接OB，
则OB＝OC＝R，

∵线段AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
由勾股定理得：OA2＝AB2+OB2，
（R+4）2＝R2+82，
即得：R＝6，
即⊙O的半径是6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理，能根据切线的性质求出∠OBA＝90°是解此题的关键．
14．点A（m，y1），B（m+3，y2）是函数y＝kx+b的图象上的两点，若y1﹣y2＝6，则k＝　﹣2　．
【答案】﹣2．
【点拨】利用一次函数图象上点的坐标特征，可用含k，b，m的代数式表示出y1，y2，结合y1﹣y2＝6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k值．
【解析】解：∵点A（m，y1），B（m+3，y2）是函数y＝kx+b的图象上的两点，
∴y1＝km+b，y2＝k（m+3）+b，
∵y1﹣y2＝6，即km+b﹣[k（m+3）+b]＝6，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
15．某工厂去年生产某种产品一件，所获取的利润率为59%，今年由于物价上涨，工厂生产这种产品的成本增加了6%，而今年与去年该产品的出厂售价一样，所以今年该工厂生产该产品一件所获取的利润率为 　50%　．
【答案】见试题解答内容
【点拨】设去年的成本为x，售价就为159%x，设年该工厂生产该产品一件所获取的利润率为y，根据工厂生产这种产品的成本增加了6%，而今年与去年该产品的出厂售价一样，可列方程求解．
【解析】解：y＝×100%＝50%．
所以今年该工厂生产该产品一件所获取的利润率为50%．
故答案为：50%．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是表示出售价，从而根据利润率求出结果．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在B′，C′处，且点C′在线段AD上（不与两端点重合）．
（1）若C′为线段AD的中点，则CN＝　　；
（2）折痕MN的长度的取值范围为 　　．

【答案】（1）：（2）．
【点拨】（1）设CN＝x，则C′N＝x，DN＝CD﹣CN＝AB﹣CN＝8﹣x，运用勾股定理计算即可．
（2）根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，当C′与点A重合时，MN取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．
【解析】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，沿着MN折叠矩形ABCD，C′为线段AD的中点，
∴；
设CN＝x，则C′N＝x，DN＝CD﹣CN＝AB﹣CN＝8﹣x，
∴C′N2＝DN2+C′D2，
∴x2＝（8﹣x）2+32，
解得，
故答案为：．
（2）根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
∴MN＝BC＝6；
当C′与点A重合时，MN取得最大值，

∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB＝CD＝8，C′AD＝BC＝6，∠D＝90°，CN＝C′N＝AN；
设CN＝x，则C′N＝AN＝x，DN＝CD﹣CN＝AB﹣CN＝8﹣x，
∴AN2＝DN2+AD2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
解得．
∵矩形ABCD中，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB∥CD，∠CNM＝∠ANM，
∴∠CNM＝∠AMN，∠CNM＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴；
∴；
过点N作NE⊥AB于点E，
则四边形AEND是矩形，
∴；
∴MN2＝NE2+ME2，
∴，
故折痕MN的长度的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分）
17．对于方程＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同类项，得﹣x﹣3＝1③
移项，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答过程从第 　①　步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；
（2）过程见解答．
【点拨】（1）观察解题过程，找出出错的步骤即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【解析】解：（1）上述解答过程从第①步开始出现错误；
（2）正确解答过程为：
方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝6，
去括号，得2x﹣3x+3＝6，
合并同类项，得﹣x+3＝6，
移项，得﹣x＝3，
∴x＝﹣3．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
18．某校为了了解本校学生“一周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）的情况，在本校随机调查了100名学生某周的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
劳动时间t（分钟）
频数
组内学生的平均劳动时间（分钟）
A
t＜60
8
50
B
60≤t＜90
a
75
C
90≤t＜120
40
105
D
t≥120
36
150
（1）这100名学生“劳动时间”的中位数在 　C　组；
（2）求a的值及这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1500名学生，估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【答案】（1）C；
（2）a＝16，112分钟；
（3）1140人．
【点拨】（1）根据中位数的定义可知中位数落在C组；
（2）根据加权平均数的公式计算即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解析】解：（1）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
（2）根据题意得8+a+40+36＝100，
∴a＝16，
（分钟），
∴这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
（3）∵（人），
∴估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的有1140人．
【点睛】本题考查了统计的知识，解题的关键是仔细读图，并从中找到进一步解题的有关信息．
19．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A＝∠BDC＝90°．
（1）求证：；
（2）若，BD＝10，求△BDC的面积．

【答案】（1）证明见解析；
（2）37.5．
【点拨】（1）根据所给条件证出△ABD∽△DBC，即可得出；
（2）先根据三角函数求出AB的值，再根据勾股定理求出AD的值，最后根据和三角形面积公式求解即可．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠A＝∠BDC＝90°，
∴△ABD∽△DBC，
∴；
（2）解：∵，BD＝10，
∴AB＝BDcos∠ABD＝10×＝8，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，BD＝10，AB＝8，
∴，
由（1）知，
∴CD＝•AD＝×6＝7.5，
∴S△BDC＝•BD•CD＝×10×7.5＝37.5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，三角函数和勾股定理是解题的关键．
20．设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m）、点B（3，1），
①求函数y1，y2的解析式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小．（直接写出结果）
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，将点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得到点D，点D恰好落在函数y1的图象上，则n的值为 　1　．
【答案】（1）①，y2＝﹣x+4；②y1＜y2；
（2）1．
【点拨】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
【解析】解：（1）①把点B（3，1）代入，
得k1＝3×1＝3，
∴，
∵函数y1的图象过点A（1，m），
∴m＝3，
将点A（1，3）、点B（3，1）代入y2＝k2x+b得，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；
②如图，

当2＜x＜3时，y1＜y2；
（2）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），
∴﹣2（n﹣2）＝2n，
解得：n＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想是解题的关键．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？

【答案】（1）2；（2），．
【点拨】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）S1＝S扇形OAC﹣S△OAC，S2＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．
【解析】解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，
∴∠OCE＝30°，
又∵OC＝2，
∴OE＝OC＝1，
∴．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE．
∴．
（2）S1＝S扇形OAC﹣S△OAC＝＝．
S2＝S扇形OBC﹣S△OBC＝＝．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
【答案】（1）a＝1；
（2）直线x＝3﹣m；
（3）1＜m≤2．
【点拨】（1）代入点（1，2m﹣4）即可求解；
（2）利用对称轴公式即可求解；
（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解析】解：（1）由题意得：a+（2m﹣6）+1＝2m﹣4，
解得：a＝1；
（2）∵a＝1，
∴y＝x2+（2m﹣6）x+1，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝＝3﹣m；
（3）当m＞0时，可知点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）从左至右分布，
∵y2＜y3≤y1，
∴，
解得1＜m≤2；
当m＜0时，
∴m＜﹣m＜﹣m+3，
∴y2≥y1，不合题意，
综上，m的取值范围是1＜m≤2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF＝EB．
（1）如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，
①求证：∠AFE＝∠ABE；
②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系．

【答案】（1）①见解析过程；
②AB＝AE+AF，理由见解析过程；
（2）AB＝AE﹣AF，理由见解析过程．
【点拨】（1）①由“HL”可证Rt△EFN≌Rt△BEM，可得∠AFE＝∠BEM，由平行线的性质可得结论；
②由线段的和差关系可求解；
（2）由“HL”可证Rt△EFN≌Rt△BEM，可得EM＝FN，由线段的和差关系可求解．
【解析】（1）①证明：如图1，过点E作MN⊥AD于N，交BC于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD，∠DAC＝45°，
∵MN⊥AD，
∴四边形ABMN是矩形，△ANE是等腰直角三角形，
∴AB＝MN，AN＝BM，AN＝NE，AE＝AN，
∴NE＝BM，
又∵EF＝BE，
∴Rt△EFN≌Rt△BEM（HL），
∴EM＝FN，∠AFE＝∠BEM，
∵AB∥MN，
∴∠ABE＝∠BEM，
∴∠AFE＝∠ABE；
②解：AB＝AE+AF，理由如下：
∵AB＝MN＝NE+EM，
∴AB＝NE+AF+NE＝2NE+AF＝AE+AF；
（2）解：AB＝AE﹣AF，理由如下：
如图2，过点E作MN⊥AD于N，交BC于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD，∠DAC＝45°，
∵MN⊥AD，
∴四边形ABMN是矩形，△ANE是等腰直角三角形，
∴AB＝MN，AN＝BM，AN＝NE，AE＝NE，
∴NE＝BM，
又∵EF＝BE，
∴Rt△EFN≌Rt△BEM（HL），
∴EM＝FN，
∵AB＝MN＝NE+EM，
∴AB＝NE+AN﹣AF＝2NE﹣AF＝AE﹣AF．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．