2023年湖南省永州市道县中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省永州市道县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每年误差秒数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  下列判断正确的是(    )

A. 高铁站对旅客的行李的检查应采取抽样调查
B. 一组数据、、、、的众数是
C. “掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币次就必有次反面朝上
D. 甲，乙组数据的平均数相同，方差分别是，，则乙组数据更稳定

6.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”筝形的对角线、相交于点，且，，则不正确的结论是(    )

A. 是等边三角形
B.
C.
D.

8.  如图，是圆的直径，点，在圆上，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  甲、乙、丙、丁四个人参加“学科综合素养”选拔赛，两人出线参加决赛在比赛结果揭晓后，四个人有如下说法：
甲：两名出线者在乙、丙、丁中．
乙：我没有出线，丙出线了．
丙：甲、乙两个人中有且只有一个人出线．
丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的说法是正确的，则两名出线者为(    )

A. 甲、丁 B. 乙、丙 C. 乙、丁 D. 甲、丙

10.  如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，连接，若：：，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  一个数的立方根是，则这个数是______．

12.  当时，代数式          ．

13.  一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则______．
 

14.  如图，，两点的坐标分别为，，在轴上找一点，使线段的值最小，则点的坐标是______ ．

15.  已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ．

16.  阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”设小正方形的边长均为，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”如图所示的的正方形网格：
，，
图中格点多边形的面积是．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为，且边界上的点数是内部点数的倍，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  解不等式组：，并写出它的最大整数解．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
如图，菱形中，，分别以、为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧在的两侧分别交于点、，作直线交于点，交于点，连接，求的度数．

20.  本小题分
某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图均不完整．

请根据统计图，回答下列问题：
这次抽样调查的总人数为        人
在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为        ．
若该校共有名学生，则最想参加“唱歌”的约有        人
活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出名同学两男两女，并准备从中随机选取名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率．

21.  本小题分
若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
若满足，求的值；
已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、作正方形，求阴影部分的面积．

22.  本小题分
如图是某小区益智健身点中的“侧摆器”及其示意图锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．
摆臂的长度为厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为最高点位置，，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差精确到厘米，，，；
小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了大卡，结果比原计划提早分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？

23.  本小题分
如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，的延长线交于点，，．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长．
 

24.  本小题分
有依次排列的个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，，，则称它为整式串；将整式串按上述方式再做一次操作，可以得到整式串；以此类推整式串中各整式的和记为．
直接写出整式串；
求；
若的值为，求的值．

25.  本小题分
如图，抛物线经过坐标原点及点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
求抛物线的解析式；
连接，点是直线上不与、重合的点，若，请求出点的坐标；
是否存在轴上一动点和平面内相应点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点和相应点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的相反数是，
故选：．
根据算术平方根和相反数的概念求即可．
本题考查了算术平方根，相反数，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：数用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得：，，
故点在第二象限．
故选：．
利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出，的值是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了调查方式、众数、概率的意义以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
依据调查、众数、概率的意义以及方差的概念进行判断，即可得到正确结论．
【解答】
解：高铁站对旅客的行李的检查应采取全面调查，此选项错误；
B.一组数据、、、、的众数是和，此选项错误；
C.“掷一枚硬币正面朝上的概率是”，根据概率的意义知，此选项错误；
D.甲，乙组数据的平均数相同，方差分别是，，则乙组数据更稳定，此选项正确；
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：．
根据单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法逐项分析判断即可求解．
本题考查了单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，故 A正确；
，
，，
，
，
，，，
≌，
，，
，故 B正确；
，，
，，故 C正确；
≌，
，故 D错误，
故选：．
由“筝形”的性质可得，，可证是等边三角形，故 A正确；由“”可证≌，可得，，由直角三角形的性质可得，故 B正确；由等腰三角形的性质可以判定 C正确，由三角形的面积公式判定 D错误，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行计算是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，可知：乙、丁的说法是一样的，
乙、丁的说法要么同时正确，要么同时不正确．
假设乙、丁的说法正确，则甲、丙的说法不正确，根据乙、丁的说法，丙出线，甲、丁中必有一人出线；这与丙的说法不正确相矛盾．
故乙、丁的说法不正确，
乙、丁的说法不正确，则甲、丙的说法正确，
甲、丙的说法正确，
乙必出线．
乙、丁的说法不正确，甲的说法正确，
丙没有出线，丁出线．从而出线的是乙和丁．
故选：．
本题主要抓住乙、丁的说法是一样的这一特点，则乙、丁的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的说法正确，则甲、丙的说法不正确，可推出矛盾，故乙、丁的说法不正确，则甲、丙的说法正确，再分析可得出出线的是乙和丁．
本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，则，
代入，得，
设点坐标为代入，得，
，代入得，
，
，
解方程组，
可得：，，
点坐标为，点坐标为，
，
，
，
，即，
．
故选：．
先设，则，求得，，，再解方程组，得到点坐标为，点坐标为，根据，，即可得到的值．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
这个数．
故答案为：．
此题考查了立方根的概念，任何数都有立方根，它们和被开方数的符号相同，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
首先利用完全平方公式进行分解，再代入计算即可．
此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握因式分解的公式法．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

由等边三角形和直角三角形可得，，
，
且，
，
，
故答案为：．
由等边三角形和等腰三角形即三角形的外角性质等可得，，且，可求得．
本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及外角的性质，由条件利用、得到和、之间的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接交轴于点，
根据两点之间，线段最短可知：即为所求，
设直线的关系式为：，
把，代入得
，
解得，
，
当时，，
，

故答案为：．
连接交轴于点，求出直线的解析式与轴交点坐标即可．
本题主要考查了轴对称知识，明白两点之间，线段最短是解题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【解答】
解：关于的一元二次方程有实数根，
且，即，解得，
的取值范围是且．
故答案为且．  

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
，
故答案为：．
根据格点多边形的面积为，且边界上的点数是内部点数的倍，可列出方程组，即可得到答案．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，能列出方程组．
 

17.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，
它的最大整数解是． 

【解析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】解：四边形是菱形，
，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
，
． 

【解析】根据菱形的性质，以及垂直平分线的性质，求出，，再利用角的和差定义即可解决问题．
本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等角对角对等边，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：人，
这次抽样调查的总人数为人，
故答案为：；
，
“书法”所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
人，
最想参加“唱歌”的约有人；
列表如下：

由列表可得共有种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有种，
选取的两人恰为一男一女的概率．
利用演讲的人数和所占的百分比求解即可；
用乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；
用乘以参加“唱歌”的人数所占的百分比，即可求解；
根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
 

21.【答案】解：设，，则，
，
，
；

由题意得，，则，
设，则，，
，
，，
，
阴影部分面积为． 

【解析】设，，分别得出，，进而得出答案；
由题意得，，设，，进而得出，，再根据乘法公式得出答案．
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，牢记，，，，，，之间的灵活切换是解题的关键．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：，
在中，，
，
，
踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为厘米；
解：设小杰原计划小时完成锻炼，
由题意得，
解得：，
经检验：都是原方程的根，但不合题意，舍去，
答：小杰原计划锻炼小时完成． 

【解析】过点作垂足为，由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
先设小杰原计划小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗原计划每小时的能量消耗，列出方程进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：是的切线，理由如下：
连接，．

四边形内接于，
．
，
．
．
，，
，．
，
．
．
．
．
是的半径，
是的切线．
在中，设，
则．
由勾股定理，得．
解得．
，．
，
．
的长为 

【解析】连接，，由四边形内接于，可得，由，可得可求再证可得推出．
设，则在中，由勾股定理，得，解得，，利用弧长公式求即可
本题考查圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，圆的切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，圆的弧长公式，掌握圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，圆的切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，圆的弧长公式是解题关键．
 

24.【答案】解：第一次操作后的整式串为：，，，，，共个整式，
第二次操作后的整式串为，，，，，，，，，共个整式，
整式串为：，，，，，，，，；
第二次操作后的整式串为，，，，，，，，，共个整式，
第一次操作后的整式串为：，，，，，共个整式，
整式串的和为：，
整式串为，，，，，，，，，，，，，，，，，共个整式，
整式串的和为：，
；
第一次操作后的整式串为：，，，，，共个整式，
整式串的和为：，
，，，
第次操作后所有整式串的和为，
，
，
，
解得． 

【解析】直接根据操作进行整式的加减即可得解；
先求出整式串和整式串，再代入即可得解；
先找出规律得，进而根据的值为列方程求解即可．
本题考查整式的加减，数字的规律型以及一元一次方程的应用，从所给的式子分析出所存在的规律是解题关键．
 

25.【答案】解：把，、代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
、，
，
，
设直线的表达式为，
将点、代入得：
，
解得，
的表达式为．
设点的坐标为，
，
解得或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
当为菱形的对角线时，如图所示，
由可知，，
，
，
菱形为正方形，
点的坐标为，点的坐标为，

如图所示，当为菱形对角线时，、关于轴对称，
点坐标为，点坐标为；

当为对角线时，如图所示，

，
，
点的坐标为，点坐标为，或点的坐标为，点坐标为．
综上所示，点、的坐标为：，或，或，或，． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式；
先计算出，再求出解析式，设出点坐标，根据三角形面积公式即可求解；
分类讨论，分别当、、为对角线时，画出图形即可求解．
本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数表达式，自变量取值范围内的函数值，三角形面积，菱形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造出相应图形解决问题．