2023年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，数轴上点表示的数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，单位：元，后来每人都追加了元追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5.  在正方形网格中，点，，的位置如图所示，建立适当的直角坐标系后，点，的坐标分别是，，则点在(    )

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

6.  如图，在菱形纸片中，，，分别剪出扇形和，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面若点在上，则的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  ______ ， ______ ．

8.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

9.  年江苏省的突破了亿元，经济总量再上新台阶用科学记数法表示是______ ．

10.  计算的结果是          ．

11.  设、是方程的两个根，则          ．

12.  某商场出售甲，乙，丙三种型号的商品，若购买甲件，乙件，丙件，共需元；购买甲件，乙件，丙件，共需元若购买甲，乙，丙各件，则需______ 元

13.  已知，点，，在反比例函数为常数，的图象上，则，，的大小关系是______ 用“”连接

14.  如图，点，，，在上若，则 ______

15.  如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处若折痕的长为，则 ______ ．

16.  如图，有一个圆柱形的玻璃杯，底面直径是，高，杯内装有一些溶液如图，将玻璃杯绕点倾斜，液面恰好到达容器顶端时，与水平线的夹角为则图中液面距离容器顶端______ ．
 

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
为落实“书香中国”的发展战略，某图书馆年藏书量为万册，计划到年藏书量达到万册，求图书馆藏书量的年平均增长率．

20.  本小题分
为了了解年某地区万名大、中、小学生分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了的学生进行检测，整理样本数据，并结合年抽样结果，得到下列统计图．

本次检测抽取了大、中、小学生共______ 名，其中小学生______ 名；
根据抽样的结果，估计年该地区万名大、中、小学生中，分钟跳绳成绩合格的中学生人数为______ 名；
比较年与年抽样学生分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．

21.  本小题分
年春节档电影票房火爆，电影流浪地球和满江红深受观众喜爱甲，乙，丙三人从这两部电影中任意选择一部观看．
甲选择流浪地球的概率是______ ；
求甲，乙，丙三人选择同一部电影的概率．

22.  本小题分
如图，已知为半圆的直径求作矩形，使得点，在上，点，在半圆上，且．
要求：用直尺和圆规作图；
保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

23.  本小题分
如图，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上、一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市，如图，线段和折线分别表示小明和妈妈离家的距离与出发时间的关系．
小明步行的速度是______ ，妈妈的单位距离超市______
求线段所表示的与之间的函数表达式；
当 ______ 时，小明与妈妈相距．
 

24.  本小题分
如图，在中，是上一点，经过点，，交于点过点作，分别交于点，于点．
求证；
若，，，求的长．

25.  本小题分
如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一个竖直广告牌从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，求广告牌的高度．
参考数据：，

26.  本小题分
已知二次函数为常数．
不论为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为______ ，______ ；
若点，，在该函数图象上，当时，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，在中，的顶点，，分别在，，上运动，且，．
求证：；
若，，则的取值范围是______ ；
已知，，直接写出的取值范围用含，的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据算术平方根的概念计算．
本题主要考查了算术平方根的概念，用概念计算是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
利用合并同类项对选项进行判断；利用同底数幂的乘法对选项进行判断；利用幂的乘方对选项进行判断；利用同底数幂的除法对选项进行判断．
本题考查了同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．也考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．
 

3.【答案】 

【解析】解：设点表示的数为，
由题意可得：，
，
选项A符合题意，
故选：．
根据数轴上点的位置及无理数的估算进行判断．
本题考查实数与数轴，理解实数的大小比较，利用数形结合思想解题是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意知，后来每人都追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，平均数、中位数均增加了，众数改变为和，
而数据的波动幅度不变，即方差不变，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，解题的关键是掌握方差的意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：

故点在第二象限．
故选：．
根据题意建立平面直角坐标系可得答案．
本题考查了点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接交于点，如图，
四边形为菱形，
，，，，
，，
，
，
设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
当与、相切时，的值最大，
过点作于，如图，则，
，
，
即的最大值是．
故选：．
连接交于点，如图，利用菱形的性质得到，，，，则可计算出，，，则，设圆锥的底面圆的半径为，利用这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，由于于、相切时，的值最大，过点作于，如图，则，然后求出，从而得到的最大值．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了菱形的性质．
 

7.【答案】   

【解析】解：；．
故答案为，．
根据相反数的定义计算；根据绝对值的意义计算．
本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则也考查了相反数．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个根，
，，
，
故答案为．
由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入计算即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设甲、乙、丙每件单价为、、元，
根据题意列方程组得，
得：
，
得：
，
得：，
．
故答案为：．
设甲、乙、丙每件单价为、、元，建立方程组，整体求得的值．
未知数共有三个，方程只有两个，无法直接解答，通过加减，将看作一个整体来解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
分布在第一，三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小．

，即点在第三象限，
则；
，
，
则，
故答案为：．
根据中，，则在每一个象限内，随的增大而减小．判断出三点横坐标的范围，从而确定，，的大小关系．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当，在每一个象限内，随的增大而减小．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．
考查了圆的内接四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
作于，连接，
则四边形是矩形，
，
由翻折知，，
，
，
≌，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
利用证明≌，得，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：图截面如图：

与水平线的夹角为，，
，
，
，
玻璃杯高，
玻璃杯中液体体积为，
设图中液面距离容器底端，则距离顶端，
根据题意得：，
解得：，
图中液面距离容器顶端；
故答案为：．
求出玻璃杯中液体体积，再列方程可得答案．
本题考查与圆有关的计算，涉及解直角三角形，解题的关键是求出玻璃杯中液体的体积．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先把括号里面的通分，再把除法化为乘法，再约分．
本题考查了分式的混合运算，掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：设图书馆藏书量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：图书馆藏书量的年平均增长率为． 

【解析】设图书馆藏书量的年平均增长率为，利用计划该图书馆到年的藏书量该图书馆年的藏书量图书馆藏书量的年平均增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次检测抽取了大、中、小学生共：名，
其中小学生：名．
故答案为：，；
估计年该地区万名大、中、小学生中，分钟跳绳成绩合格的中学生人数为：名．
故答案为：；
与年相比，年该地区大学生分钟跳绳成绩合格率下降了答案不唯一．
根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了的学生进行检测”，可得，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占，即可解答；
先计算出样本中分钟跳绳成绩合格的中学生人数所占的百分比，再乘以万，即可解答；
根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：电影有流浪地球和满江红两部，
甲选择流浪地球的概率是．
故答案为：；
流浪地球和满江红分别用和表示，
画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中甲，乙，丙三人选择同一部电影的情况有种，
所以甲，乙，丙三人选择同一部电影的概率为．
直接根据概率公式计算可得；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得甲，乙，丙三人选择同一部电影的的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：如图，先作的垂直平分线得到圆心，再分别作和的平分线交于、，接着过、点分别作的垂线，垂足分别为、，
则四边形为所作．
 

【解析】先作的垂直平分线得到圆心，再分别作和的平分线交于、，接着过、点分别作的垂线，垂足分别为、，则可判断和都为等腰直角三角形，所以四边形满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
 

23.【答案】   或 

【解析】解：由图示知，小明步行的速度是：；
妈妈的单位距离超市是：．
故答案为：，；
由图象知，妈妈的速度为，
妈妈从家到超市所用时间为：，
妈妈在家时间为：，
，，
设线段所表示的与之间的函数表达式为：，
把，代入得：，
解得，
线段所表示的与之间的函数表达式为：；
当小明妈妈从单位骑行回家拿东西时，
由题意得：，
解得；
当小明妈妈回家拿东西后再以相同的速度骑行去超市时，
由题意得：，
解得．
综上，当或时，小明与妈妈相距．
故答案为：或．
根据图示数据解答；
先求出，坐标，设出函数解析式，把，代入求出即可；
根据题意知，小明与妈妈相距有两次，利用列方程分别求出即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
解：连接，，，，

，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出即可得出平行四边形，继而得出，又由，即可得答案；
求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可得出，再证≌，得出，再证∽，得出，即可得答案．
本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：，，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
广告牌的高度约为． 

【解析】由题意得：，，，，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：．
因为该函数的图象都会经过两个定点，
所以当时，，
当，即时，，
所以该函数图象始终过定点、；
故答案为：，；
由题意可知，，
，
，
，
，
，，的负数有奇数个，
当负数有个时，且，
；
当负数有个时，，，，
，
的取值范围为：或．
由，所以当时，，当，即时，，即可求得定点坐标；
分别求出，，，利用，得出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
由可知：≌，
，
，，点在上运动，
，，
，
，
故答案为：．
由可知：≌，
，
，，点在上运动，
，，
，
．
根据等边对等角即可得到，根据三角形内角和定理、平角定义及即可得到，根据及即可判断出≌，即可判断出结论成立；
根据≌即可得到，根据点在上运动及即可得到，进一步得到，根据及即可求出的取值范围；
根据≌即可得到，根据点在上运动及即可得到，进一步得到，根据及即可求出的取值范围．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，找准全等的三角形是解题的关键．