2023年河南省济源市中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省济源市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，国务院总理在政府工作报告中指出：过去一年，我国经济发展遇到疫情等国内外多重超预期因素冲击，全年国内生产总值增长，城镇新增就业万人万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，直线，平分，若，则的度数为(    )

A.  B.  C. C. D.

5.  如图，▱的边在轴的负半轴上，点与原点重合，，交的延长线于点，已知，，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

7.  如图，在四边形中，，对角线，相交于点，若，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  我国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个问题：绳测进井深假若井不知深，先将绳三折人井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井深，如果将绳子三折测井，井口外留绳子四尺；如果将绳子四折测井，那么井口外余下尺问井深几尺？绳长几尺？设绳长为尺，井深为尺，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知点，，，在二次函数的图象上，若，，，四个数中有且只有一个数大于，则的取值范围为(    )

A.  B.  C. 或 D.

10.  如图，正六边形，，，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度运动，当运动到第秒时，的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：______ ．

12.  不等式组的解集为，则的取值范围是______ ．

13.  河南某地中招体育考试项目采取统一考试的方式进行，项目为“两个必考项目两个抽签考试项目”，抽签项目分为技能类包含足球和篮球和素质类包括立定跳远和一分钟跳绳，抽签项目“摇号产生”从技能类和素质类中各随机抽取一个，抽中“足球和立定跳远”的概率为______ ．

14.  如图，扇形的圆心角，，将扇形沿射线平移得到扇形，与相交于点，若点为上靠近点的三等分点，则阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在矩形中，，，有一动点以的速度沿着的方向移动，连接，沿翻折，得到，则经过______ 点落在边所在直线上．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议于年月日在北京召开，为了使七、八年级的同学们了解两会，争做新时代好少年，学校组织两会知识竞赛，满分分，七、八年级各随机抽取名学生的成绩进行统计，过程如下：
收集数据：
七年级：，，，，，，，，，
八年级：，，，，，，，，，
整理数据：

分析数据：

应用数据：
由上表填空： ______ ， ______ ， ______ ；
你认为哪个年级的学生对两会了解水平较高？请说明理由；
请写出一条你了解的两会知识．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，射线在第一象限，且．
过点作轴于点，交于点；要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图
求图象经过点的反比例函数的表达式；
在中的反比例函数图象上有一点，当其横坐标为时，判断的形状，并说明理由．

19.  本小题分
年月日是“向雷锋同志学习”周年纪念日某数学小组测量校内雷锋雕像图的高度，如图，小明站在教学楼前，眼睛在距离地面的点处，测得雷锋雕像的最高点的仰角为，小红站在教学楼三楼每层楼高为，眼睛在距离三楼地面的点，测得雷锋雕像的最高点的俯角为已知测量点，与教学楼的底部在同一竖直线上，求雷锋雕像的高度结果精确到参考数据：．
 

20.  本小题分
某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：

若经销商用元购进，两种粽子，其中种的数量是种数量的倍少盒，求，两种粽子各购进了多少盒？
若经销商计划购进种“粽子”的数量不少于种“粽子”数量的倍，且计划购进两种“粽子”共盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？

21.  本小题分
阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球”如图这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点，利用杠杆原理就可以把地球或像地球一样重的物体轻松撬动小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体木块和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图，石头和地面相切于点，木棒和石头相切于点，正方体横截面上的点，和木棒在同一平面内，点，，，在一条直线上．
求证：；
若木棒与水平面的夹角，切点恰好为的中点，则石头的半径为多少？结果保留根号
 

22.  本小题分
如图，点在抛物线：上．
直接写出抛物线的解析式：______ ，顶点的坐标：______ ；
点在抛物线：上，且在抛物线的对称轴的右侧，求的值；
在坐标平面内放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，，平移该胶片，使所在抛物线对应的解析式恰为，求点移动的最短路程．

23.  本小题分
已知和都是等腰三角形，，．
当时，
如图，当点在边上时，请直接写出和的数量关系：______ ；
如图，当点不在边上时，判断线段和的数量关系，并说明理由．
如图，当时，请直接写出和的数量关系：______ ；
在的条件下，将绕点逆时针旋转，当时，请直接写出的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、和不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
B、，计算错误，故选项不符合题意；
C、，计算正确，故选项符合题意；
D、，计算错误，故选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式加减法法则、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方的运算法则、负整数指数幂的运算法则逐一分析计算即可．
本题考查了二次根式加减法法则、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方的运算法则、负整数指数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则和公式．
 

4.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
，
．
故选：．
由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，

则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：．
过点作轴于点，由平行四边形的性质得，，再由含角的直角三角形的性质得，，然后由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与推出性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有实数根，
，即，
解得，
故选：．
利用一元二次方程根的判别式列式求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
∽，
，，
，
，
：：，
，
同理：，
四边形的面积．
故选：．
由∽，得到，，求出的面积，、的面积，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比，等于相似比的平方．
 

8.【答案】 

【解析】解：设绳长为尺，井深为尺，由题意可得，
．
故选：．
设绳长尺，井深尺，根据将绳子折成三等份，井外余绳尺，可得方程，根据将绳子折成四等份，井外余绳尺，可得方程，从而得到相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
和关于对称轴对称，即，
，
若，抛物线开口向下，，则必小于，
，
解得；
，抛物线开口向上，，则必小于，
，
解得：．
故的取值范围为是或，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，再根据对称性判断出，再分和两种情况讨论即可．
本题考查二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，关键是熟练掌握二次函数的增减性．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
六边形是正六边形，，，
，，
是等边三角形，
，
，
当运动到第秒时，点为边的中点，
，，
连接，，作于点，
，，，
，
，
故选：．
连接，由六边形是正六边形，，，得，，则是等边三角形，由，可知当运动到第秒时，点为边的中点，则，，连接，作于点，可求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明运动到第秒时，点为边的中点是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设二次函数的表达式为，
图象为开口向上，且经过，
，，
二次函数表达式可以为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
设二次函数的表达式为，根据开口向上，，可取，将代入得出，即可得出二次函数表达式．
本题主要考查了二次函数的性质，得出的符号和是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把足球和篮球分别记为、，立定跳远和一分钟跳绳分别记为、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽中“足球和立定跳远”的结果有种，
抽中“足球和立定跳远”的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽中“足球和立定跳远”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于，连接，，过点作于，

，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，点为上靠近点的三等分点，
，，
，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
作辅助线，构建等腰三角形，计算和的长，根据面积和可得阴影部分的面积．
本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当点在上，点在边上时，

四边形为矩形，，，
，，，
根据折叠的性质可得，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，即动点走过的路程为，
动点以的速度沿着的方向移动，
运动时间；
当点在上，点在边的延长线上时，如图，

四边形为矩形，，，
，，，
，
根据折叠的性质可得，，，
在中，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
动点走过的路程为，
动点以的速度沿着的方向移动，
运动时间．
综上，经过或，点落在边所在直线上．
故答案为：或．
分两种情况：当点在上，点在边上时，由折叠可知，，先根据勾股定理求出，则，再设，则，在中，根据勾股定理可得，解得，因此，即动点走过的路程为，最后根据“时间路程速度”即可求解；当点在上，点在边的延长线上时，由折叠可知，，先根据勾股定理，再设，则，，在中，根据勾股定理可得，解得，得到动点走过的路程为，最后根据“时间路程速度”即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，读懂题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】根据负指数幂的意义，零指数幂的意义还有二次根式的性质即可求解；
先把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
本题考查了负指数幂的意义，零指数幂的意义还有二次根式的性质，也考查了分式的除法运算，关键是把除法转化为乘法．
 

17.【答案】     

【解析】解：七年级成绩为的人数有人，故；
七年级的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数；
八年级的成绩中，出现的次数最多，故众数；
故答案为：；；；
八年级的学生对两会了解水平较好，理由如下：
七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，八年级的学生对两会了解水平较高；
大会选举赵乐际为第十四届全国人民代表大会委员会委员长，选举韩正为中华人民共和国副主席答案不唯一．
根据题目的数据可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值；
根据平均数，众数和中位数的意义解答即可；
答案不唯一，合理即可．
本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布表，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】解：如图所示，以点为圆心，以小于长度为不仅画弧交轴于点、，
以点、为圆心，大于长度为半径作弧，连接该点和点，过点的直线为所求直线；


设反比例函数的表达式为
在中，，，
，
点的坐标为，
，
图象经过点的反比例函数的表达式为；

为等腰三角形，且不是直角，
理由如下：将点的横坐标代入得点的坐标为，
由中点坐标公式知，的坐标坐标为：，
即点在的中垂线上，则，
由点、、的坐标知，，，
则，
故为等腰三角形，且不是直角． 

【解析】如图所示，以点为圆心，以小于长度为不仅画弧交轴于点、，以点、为圆心，大于长度为半径作弧，连接该点和点，过点的直线为所求直线；
证明，得到点的坐标为，即可求解；
证明点在的中垂线上，则，即可求解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形性质、作图等，有一定的综合性，难度不大．
 

19.【答案】解：过点作于点，过点作于点，

由题意可知四边形和四边形是矩形，
，，，
设，
在中，，
即，
，
点观测点的俯角为，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
答：雷锋雕像的高度为米． 

【解析】过点作于点，过点作于点，由题意可知四边形是矩形，故AF，，设，在中，，得出，由题意知，则，所以，解出的值即可．
此题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确构造直角三角形并熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
 

20.【答案】解：设购进种“粽子”盒，则购进种“粽子“盒，
由题意得，，
解得，，
答：购进种粽子盒，购进种粽子．
设购进种粽子盒，则购进种粽子盒，总利润为，
由题意可知，解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，，
答：当购进种粽子盒，购进种粽子盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润为元． 

【解析】设购进种“粽子”盒，则购进种“粽子”盒，根据两种粽子的费用之和等于元，列出方程组求解即可．
设购进种粽子盒，则购进种粽子盒，总利润为，根据种“粽子”的数量不少于种“粽子”数量的倍，求出的范围，再列出关于的函数关系式，求最值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，列出方程或函数关系式是解题关键．
 

21.【答案】证明：切于点，切于点，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作于点，作于点，

，，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是矩形，
，
由知，
是等腰直角三角形，
，，
设石头的半径为，则，
，
，
解得，
石头的半径为． 

【解析】由切于点，切于点，可得，即得，而，有，故；
过点作于点，作于点，可证是的中位线，得，而四边形是矩形，知，由知，得是等腰直角三角形，故，，设石头的半径为，得，从而可解得石头的半径为．
本题考查解直角三角形的应用，涉及圆的切线性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是读懂题意，作辅助线构造直角三角形解决问题．
 

22.【答案】   

【解析】解：把代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
故答案为：，；
把代入得，
整理得，
解得，，
抛物线：的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
点在对称轴的右侧，
；
平移后的抛物线的解析式为，
平移后的抛物线的顶点的坐标为．
平移前抛物线的顶点的坐标为，
，
点移动的路程等于顶点移动的距离，
而顶点移动的最短路程为线段的长，
点移动的最短路程为．
把点坐标代入中求出，从而得到抛物线的解析式为，然后把一般式配成顶点式得到顶点的坐标；
把代入得，解方程得到，，然后利用抛物线的对称轴为直线得到的值；
利用配方法得到平移后的抛物线的解析式为，则平移后的抛物线的顶点的坐标为再计算出，由于点移动的路程等于顶点移动的距离，而顶点移动的最短路程为线段的长，从而得到点移动的最短路程．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象的几何变换．
 

23.【答案】   

【解析】解：和都是等边三角形，
，，
．
故答案为：；
．
理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
理由如下：
在等腰直角三角形中：，，
在等腰直角三角形中：，，
，，
，
∽，
，
；
分两种情况讨论：如图，点在的上方，

延长交于点，
，，
为的中垂线，
，
，，
，
由可知；
如图，点在的下方．
同理可得，
．
综上所述，的长为或．
由等边三角形的性质得出，，则可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质得出；
证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
分两种情况讨论：如图，点在的上方，如图，点在的下方．由勾股定理及中的结论可得出答案．
本题几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．