2022-2023学年河北省石家庄市桥西区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市桥西区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一组数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体是由个相同的小正方体组成的，则其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼岁以上人的年龄单位：岁数据如下：，，，，，，，，获得这组数据的方法是(    )

A. 直接观察 B. 实验 C. 调查 D. 测量

5.  一元二次方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知圆的半径为，点到某条直线的距离为，则这条直线可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  如图所示，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图象上一点作轴于点，点在轴上，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  从甲，乙，丙，丁四人中选一人参加区里举办的垃圾分类知识大赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是，，，你认为最合适的选手是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

10.  某商品原价元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是弧上的点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图是小张画的正方体表面展开图，由个相同的小正方形组成小华认为剪去其中的一个小正方形后，才可以折成一个正方体，你认为她剪去的小正方形的编号是(    )

A.
B.
C.
D.

13.  如图，在中，，，，将绕点旋转到的位置，此时，，在同一直线上，则点经过的最短路径长为(    )

A.  B.  C.  D.

14.  如图，中，，平分交于点，按下列步骤作图．
步骤：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；
步骤：作直线，分别交，于点，；
步骤：连接，．
若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

15.  如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别是，的中点，则的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

16.  二次函数的图象如图所示，下列结论；；；；有两个不相等的实数根其中正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.  已知反比例函数是常数且的图象在第二、四象限，那么的取值范围是______ ．

18.  如图，三个顶点的坐标分别为，，以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为______ ．

19.  如图，长度为的线段固定不动，长度为的线段绕旋转，连接在旋转过程中，线段的长度的最大值为        ；若以线段为直角边，以点为直角顶点构造等腰直角，则在旋转过程中，点到边的距离的最大值为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
解方程；
计算．

21.  本小题分
琪琪同学为了方便笔记本电脑散热，下面放了一个散热支架，如图所示，点，，在同一直线上，侧面示意图如图，已知，，．

求的长；
她发现当显示屏向后旋转到如图的位置时，看屏幕感觉最舒适，侧面示意图如图，此时，求点到的距离．

22.  本小题分
某校体育组为了解全校学生“最喜欢的球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图请你根据所提供的信息解答下列问题：

“篮球”部分所对应的圆心角是______ 度，并请补全条形统计图；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果，估计该校学生中喜欢排球和足球的共有多少人；
篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行座谈，求甲乙两位同学同时被抽中的概率．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，．
求反比例函数的表达式；
求的面积．

24.  本小题分
在中，．

如图，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：∽；
如图，点，是上的两点，连接，，，，，，求的值．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标是．
点的坐标为______ ；
求抛物线的解析式；
如图，设抛物线的顶点为，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若在轴上存在一点，连接，，，使得的周长最小，求点的坐标．

26.  本小题分
如图，在中，，，半圆的半径，半圆以的速度向右运动，在运动过程中，点，始终在直线上设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．

当 ______ 时，半圆与所在直线第一次相切；
当时，求半圆与重合部分的面积；
请你直接写出当为何值时，直线与圆相切．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将数据从小到大排列，可得：，，，，，
最中间的数为，
这组数据的中位数为．
故选：．
根据中位数的定义，即可得出答案．
本题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个几何体从左面看有两列，左边一列有两个正方形，右边一列有一个正方形，
其左视图为：．
故选：．
根据左视图是从物体左面看所得到的图形，即可得出答案．
本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从左边所看到的图形的形状是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
把代入，
可得：，
的值为．
故选：．
首先根据，得出，然后把代入，计算即可得出答案．
本题考查求分式的值，将已知式子表示为用含有一个字母的式子表示另一个字母是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握基本调查方法是解题关键．
直接利用调查数据的方法分析得出答案．
【解答】
解：一志愿者得到某栋楼岁以上人的年龄单位：岁数据如下：，，，，，，，，．
获得这组数据的方法是：调查．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，
移项，可得：，
配方，可得：．
故选：．
首先移项，然后根据完全平方公式配方，即可得出答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆的半径为，点到某条直线的距离为，
而，
，
直线与圆相离，
这条直线与圆没有公共点，
这条直线可以是．
故选：．
根据若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，从而可得答案．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
整理，可得：，
解得：，，
的值为或．
故选：．
根据一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系，计算即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系、解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数的解析式是：，设的点的坐标是．
则，，．
，
，
即，
，
则．
故选：．
由反比例函数的解析式是：，设的点的坐标是，则，，根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是理解三角形的面积与的关系并灵活应用是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
又他们的平均成绩都是，
我认为最合适的选手是乙．
故选：．
根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定．
本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
故选：．
设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为元”可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形为的内接四边形，
．
故选：．
根据圆周角的含义先求解，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．
本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的对角互补是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图，且折成正方体后每个正方形都不重合，
应剪去的小正方形的编号是．
故选：．
根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解答即可，注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图，且折成正方体后每个正方形都不重合．
本题考查了正方体的展开图，掌握正方体展开图的各种情形是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，
，
又将绕点旋转到的位置，此时，，在同一直线上，
，
点经过的最短路径长为：．
故选：．
根据三角形的内角和定理和锐角三角函数，得出，，再根据旋转的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据弧长公式计算，即可得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理、锐角三角函数、旋转的性质、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握弧长公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
由作图可知，是的垂直平分线，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
故选：．
由作图可知，四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题．
本题考查作图基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
，
当为直径时长度最大，此时是直角三角形，
又，，
，
，
故选：．
根据条件可判断出是的中位线，即当有最大值时，有最大值，当为直径时长度最大，此时是直角三角形，然后计算长度，即可计算长度．
本题考查三角形中位线性质和圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，，
，
，故正确；
由对称轴可知：，
，故错误；
由图象可知，抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
当时，，即，
又，即，
，
即，故正确；
由图象可知：时，
此时只有一个解，
方程有两个相同的实数根，故错误，
综上可得：正确的结论有个．
故选：．
根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：反比例函数是常数，的图象在二、四象限，
，
解得：，
故答案为：．
根据反比例函数所在象限，可以判断比例系数小于，列不等式求解即可．
本题考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，
如图，当在第二象限时，

以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，
，
又点为的中点，
，
的长为；
如图，当在第四象限时，

以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，
，
又点为的中点，
，
的长为，
综上可得：的长为．
故答案为：．
根据坐标，得出，，再根据勾股定理，得出，然后分两种情况：当在第二象限时和当在第四象限时，根据位似图形的性质，得出，再根据点为的中点，即可得出的长．
本题考查了坐标与图形、勾股定理、位似图形的性质，解本题的关键在熟练掌握位似图形的性质．
 

19.【答案】   

【解析】解：当线段，互为反向延长线是时，最大，为，
故答案为：；
当旋转到，如下图时，点到边的距离最大，

最大值为：，
故答案为：．
分别根据两点之间的距离和点到线的距离求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
因式分解，可得：，
或，
即，；



． 

【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可；
首先根据算术平方根的定义和锐角三角函数计算，然后再算乘法，最后计算加减法即可．
本题考查了解一元二次方程和实数的运算，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤、实数混合运算法则、锐角三角函数的定义是解本题的关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
的长为；
如图，过点作，过点作，交的延长线于点，交于点，即为点到的距离，

，，
，
又，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
又，，，
，
，
点到的距离为． 

【解析】根据题意，结合直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，计算即可得出答案；
过点作，过点作，交的延长线于点，交于点，即为点到的距离，根据平行线的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据平行线的判定与性质，得出，再根据锐角三角函数的定义，计算得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
本题考查了含角的直角三角形、平行线的判定与性质、锐角三角函数，解本题的关键在正确作出辅助线．
 

22.【答案】 

【解析】解：“篮球”部分所对应的圆心角为：，
故答案为：；
调查的总人数为：人，
喜欢乒乓球的人数为：人，
补全条形统计图如下：

解：人，
该校学生中喜欢排球和足球的共有人；
解：画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为，
甲乙两位同学同时被抽中的概率为：．
利用乘以“篮球”部分所占的百分数，即可得出答案；利用喜欢“篮球”的人数除以“篮球”部分所占的百分数，得出总人数，然后根据条形统计图，用总人数减去喜欢其他球类项目的人数，得出喜欢乒乓球的人数，然后补全统计图即可；
用乘以样本中喜欢排球和足球的百分数，即可得出答案；
首先画出树状图，得出共有种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为，再根据概率公式，计算即可．
本题考查了统计图、用样本估计总体、求圆心角、利用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在充分利用统计图解答．
 

23.【答案】解：把代入，
，
；
由题意可得：，
，
整理得：，
解得：，，
方程组的解为：或，经检验符合题意；
，
如图，记与坐标轴的交点为，，
由可得：当可得，

，
． 

【解析】把代入，从而可得答案；
先求解两个函数的交点坐标，再求解一次函数与轴的交点坐标，再利用三角形的面积之差可得答案．
本题考查的是求解反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，图形面积的计算，一元二次方程的解法，熟练的求解两个函数的交点坐标是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，，
，，
，
，
，，
∽；
解：如图，过点作于点，过点作于点，
则，，
，
，
在和中，
，，
，，
，，，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】根据垂线的定义，得出，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据等量代换，得出，，再根据相似三角形的判定，即可得出结论；
过点作于点，过点作于点，则，，根据等角对等边，得出，，再根据勾股定理，得出，，进而得出，，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据相似三角形的判定，得出∽，再根据相似三角形的性质，得出，然后把相关数据代入，计算即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定与性质、等角对等边、勾股定理是解本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标是．
的横坐标为：，
，
故答案为：；
抛物线的对称轴为直线，点的坐标是．
，解得：，
抛物线为，
抛物线为，
，
将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，设平移后的抛物线为：，
，即，
平移后的抛物线为：，
令，则，
解得：，，即，
如图，

取关于轴对称的对称点，连接，交轴于，
则，此时周长最短，
设的解析式为：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
．
由抛物线的对称轴为直线，点的坐标是，利用抛物线的对称性可得答案；
利用待定系数法先求解抛物线的解析式即可；
先求解原抛物线的顶点坐标为，再求解平移后的抛物线的解析式为及点的坐标，取关于轴对称的对称点，连接，交轴于，则，此时周长最短，再利用一次函数的解析式可得答案．
本题考查的是抛物线的对称性的应用，求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，抛物线的平移，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值时点的坐标，掌握抛物线的相关知识是解本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：，当点运动到点时，半圆与所在直线第一次相切，
，
故当时，半圆与所在直线第一次相切．
故答案为：；
当时，根据已知可得点与点重合，点与点重合，此时设半圆与交于点，过点，作于点，连接，如图：

由题意可得：，
，
，
，
，
，
当时，半圆与重合部分的面积；
如图：

当半圆在直线的左侧，与直线相切时，过点作于点，
，
，
又，
当点与点重合，即点运动到点时，半圆与相切，
此时，点运动的路程，运动时间；
如图：

当半圆所在的圆在直线的右侧与直线相切时，设切点为，则，，
在中，，则，
此时，点运动的路程，运动时间秒．
综上所述，当为或时，直线与圆相切．
当点运动到点时，半圆与所在直线第一次相切，路程，即可求出时间；
当时，根据已知可得点与点重合，点与点重合，此时设半圆与交于点，连接，则半圆与重合部分的面积，即可解答；
分半圆在直线的左侧，与直线相切时，当半圆所在的圆在直线的右侧与直线相切时，这两种情况计算即可求出的值．
考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系，扇形面积，解直角三角形等知识，利用时间来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．