2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列条件中，不能判断为直角三角形的是(    )

A. ，， B. ：：：：
C.  D. ：：：：

5.  下列命题的逆命题是真命题的是(    )

A. 全等三角形的对应角相等 B. 若，则
C. 两条直线平行，内错角相等 D. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等

6.  在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  九章算术是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系“折竹抵地”问题源自九章算术中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈一丈尺一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度是(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

8.  如图，在菱形中，，对角线，若过点作，垂足为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和若，，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简的结果是______．

12.  小明从地向正东方向走后，又向正北方向走了到达处，则两地相距______

13.  ▱的对角线，相交于点，且为的中点，则 ______ ．

14.  在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是▱的对角线，点在上，，，则的大小是______．
 

15.  在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，，交于，下列结论：平分；；；：：，其中正确的是______ ．

16.  如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  计算：
；
．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，将▱的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
已知，，求下列各式的值：
；                    
．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：垂直平分；
若，，求的长．

21.  本小题分
在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
四边形是______ 请从中选择：平行四边形，矩形，菱形
线段，且，请在网格中画出对应线段；
在线段上画点，使保留画图过程的痕迹；
连接，画点关于直线的对称点．
 

22.  本小题分
某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上．
若过点作于点，则： ______ ；
求，两点之间的距离；
若海监船由处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由如果有触礁危险，那么海监船由处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由处开始沿南偏东至多______ 的方向航行能安全通过这一海域．
 

23.  本小题分
如图，在▱中，，，垂足分别为、，求证：．
探究：
如图，在▱中，、是两条对角线，则，请探究这个结论的正确性．
迁移：
如图，是的中线，若，，，直接写出边长 ______ ．
 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
当时
矩形的顶点的坐标是______ ；
如图当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的坐标；
若直线与直线相交于点，且当时，问：当时，的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件被开方数大于或等于解决此题．
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，，不符合题意；
选项，是最简二次根式，符合题意；
选项，，不符合题意；
选项，，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项的计算错误；
B、与不能合并，所以选项的计算错误；
C、原式，所以选项的计算错误．
D、原式，所以选项的计算正确；
故选：．
利用二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法与除法法则是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理故成立，不符合题意；
B、因为：：：：，所以设，，，则，故不为直角三角形，符合题意；
C、因为，，则，故为直角三角形，不符合题意；
D、因为：：：：，所以设，则，，故，解得，，，故此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为度进行判定即可．
此题考查了直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的三角形全等，是假命题，不符合题意；
B、若，则，逆命题是：若，则，是假命题，不符合题意；
C、两条直线平行，内错角相等，逆命题是：内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
D、若两个实数相等，则它们的绝对值相等，逆命题是：若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等，是假命题，不符合题意；
故选：．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、二次根式的性质、平行线的判定、绝对值的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解；、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、如图，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，故选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
折断处离地面的高度为尺，
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
故选：．
连接交于，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，再由菱形面积的两种计算方法，即可求出的长．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，，，
由图可得，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
，
或不合题意，舍去，
，
即的周长是，
故选：．
根据题意和图形，利用等面积法，可以得到的面积和的关系，再根据勾股定理即可得到的值，然后即可求得的周长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题可知，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，
每旋转次则回到原位置，
，
第次旋转结束后，图形顺时针旋转了，
，，
，
第次旋转结束时，点的坐标是，
故选：．
作出旋转后的图象，再根据点的坐标即可求出旋转后点的坐标．
本题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标，确定旋转后的位置是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用二次根式的性质“”和积的乘方可得结果．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质“”是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理得，两地相距，
故答案为：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：▱的对角线，相交于点，
，
为的中点，
为的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：．
由▱的对角线，相交于点，根据“平行四边形的对角线互相平分”得证明为的中点，而为的中点，，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，根据平行四边形的对角线互相平分证明是的中点是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为四边形是平行四边形，
所以，，
因为，
所以，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交的延长线于，作于．
，，
，
，
点是的中点，
，
又，，
≌，
，
，
，
又，
，
平分，故正确；
，，，
≌，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，，
又，
，
，
，
又，，
≌，
，
设，则，
，
，，
，
，
，故正确，
，
故错误，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质可证平分，故正确；由等腰三角形的性质可求，可求，故正确；分别计算出，，的长，即可判断，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，与交于点，
在边长为的菱形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
将沿射线的方向平移得到，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交于，
的长度即为的最小值，
，，
，
，关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
则的最小值为．
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，解题的关键是四边形是平行四边形、作点关于定直线的对称点，将的最小值转化为的长．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
根据二次根式的乘除法则运算即可．
 

18.【答案】证明：连接，设与交于点如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形． 

【解析】由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


． 

【解析】根据完全平方公式计算即可；
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
垂直平分；
解：在菱形中，，，
，
，
，，
根据勾股定理，得，
，
解得或舍去，
，
，
，
． 

【解析】根据，可得，根据平分，可得，从而可得，可知，进一步可知，根据，可知四边形是平行四边形，再根据，可知四边形是菱形，根据菱形的性质即可得证；
根据菱形的性质可知，，可得，根据勾股定理，可得的长，进一步可得的长，根据直角三角形斜边的中线的性质可得．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，涉及角平分线的定义，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
 

21.【答案】菱形 

【解析】解：，，，，
，，，，
，
四边形是菱形；
故答案为：菱形；
如图，把绕点逆时针旋转得到，
则为所作；
如图，先确定的中点，延长交于点，
则点为所作；

如图，作交于点，
则点为所作．
先通过计算得到，于是可判断四边形是菱形；
如图，利用网格特点把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质得到，且；
如图，先利用网格特点确定的中点，延长交于点，由于为等腰直角三角形，平分，则；
如图，利用菱形的性质得到，利用网格特点作，则，于是可证明≌，所以，所以点与点关于的对称．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和矩形的性质．
 

22.【答案】：   

【解析】解：于点，
是直角三角形，
由题可知，
：：．
故答案为：：；
过点作，交的延长线于点，
由题意得，，，海里，
设海里，则海里，
在中，
，
，
海里，
答：，之间的距离为海里；
因为，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线，作，垂足为，
当到的距离海里时，
有，
，
，
，
因此，要小于才安全通过，
答：海监船由处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域．
故答案为：．
根据正切的定义确定：的值；
通过作垂线构造直角三角形，求出小岛到航线的最低距离，与暗礁的半径比较即可得出答案；
规划新航线，使小岛到新航线的距离等于暗礁的半径，进而求出，进而求出，确定方向角．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出小岛到航线的最短距离是得出正确答案的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，垂足分别为、，
，
在和中，
，
≌，
．
解：如图，作交的延长线于点，作于点，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
这个结论是正确的．
如图，延长到点，使，连接、，
是的中线，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
由得，
，
解得或不符合题意，舍去，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，，由，得，即可证明≌，得；
作交的延长线于点，作于点，可证明≌，得，，所以，由勾股定理得，，即可证明，所以这个结论是正确的；
延长到点，使，连接、，由是的中线，得，则四边形是平行四边形，由，，，得，所以，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、乘法公式、一元二次方程的解法、二次根式的化简等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，，
，，
矩形的顶点的坐标是，
故答案为：；
如图中，四边形是矩形，
，
，
由翻折可知：，，
，，
在中，，
，
，
如图，过点作于点，

，
∽，
，
，
，，
的坐标为；
当时，的大小不发生变化，理由如下：
当时，如图中，

，
，，
又关于直线的对称，
，，
又，，
≌，
，
四边形是正方形，
当时，如图中，

设，
，
，
，，
≌，
，
关于直线的对称，
，
，
，
，
，
，
当时，的大小不发生变化．
根据二次根式的非负性求出，，可得，结合，可得矩形的顶点的坐标是；
根据矩形的性质和勾股定理求出，如图，过点作于点，得∽，可得，求出，，可得的坐标；
如图中，首先证明四边形是正方形，如图中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．