2023届广东省深圳市高级中学高三模拟预测数学试题

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深圳高级中学（集团）2023届高考适应性考试数学试题答案一、单选题1．已知集合，，则集合等于（    ）A．； B．； C．； D．．【答案】D【详解】当时，；当时，；当时，，故，故，故选：D.2．在复平面内，复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.3．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（    ）A．    B．    C．3     D．8【答案】A【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.【详解】设等差数列的公差，∵等差数列的首项为1， 成等比数列，∴，∴，且，，解得，∴前6项的和为.故选：A.4．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（    ）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求【详解】设故选：C5．已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则 A．  B．  C．  D．与的大小关系无法确定【答案】A．【解析】设棱柱的底面周长为，底面面积为，侧棱长为，斜棱柱的高为，则，而，斜棱柱各侧面的高均不小于，所以，于是，有，所以，．6．已知向量 ，满足， ，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.7．6名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数相等的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型即可求得两项竞赛参加人数相等的概率.【详解】记 “两项竞赛参加人数相等”为事件A，则故选：B8．已知，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系为 A． B．  C． D．【答案】C．【解析】构造函数，得，，，．当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增．易知，所以，所以．又，因为，所以，所以．所以． 二、多选题9．若函数（，，）的部分图象如图，则（    ）A．是以为周期的周期函数B．的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数C．在上单调递减D．的图象的对称中心为，【答案】AC【分析】首先根据函数图象得到，对于选项A，根据三角函数的周期性即可判断A正确，对选项B，向左平移后得到，不是奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据，即可判断C正确，对选项D，根据的图象的对称中心为，即可判断D错误.【详解】由题图可知，因为当时，，所以.因为，所以，所以.由题图可知，所以，所以.由题图可知，当时，取得最大值，所以，，解得，.又，所以，所以.对于A，，则A正确.对于B，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，此函数不是奇函数，故B错误.对选项C，，则，所以在上单调递减，故C正确.对选项D，，，得，，所以的图象的对称中心为，，则D错误.故选：AC.10．已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ）A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线【答案】BCD【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可.【详解】由双曲线的定义可得，因为，所以，故A错误；因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，所以，所以的面积为，故B正确；由勾股定理得，即，所以，故C正确因为，所以，即所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确故选：BCD11．对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由题意，易得，进而得到，结合含参函数，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.【详解】由题意，可得，，易知，则，，则在有解，求导得：，令，解得，可得下表：极大值则当时，取得最大值为，，则的取值范围为，也即.故选：BCD.12．在四棱锥中，底面为矩形，，，，．下列说法正确的是A．设平面平面，则B．平面平面C．设点，点，则的最小值为D．在四棱锥的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球【答案】AB．【解析】该四棱锥如图．A：设平面平面，因为平面，所以，所以A对；B：∵平面平面，∴平面，∴．又底面为矩形，所以，．因为，，即，所以．而，所以平面，平面平面，所以B对；C：由B选项可知的最短距离就是，所以C错；D：取、的中点，，则与平面、平面、平面都相切的球的半径即为的内切圆半径，同理与平面、平面、平面都相切的球的半径即为的内切圆半径，所以，所以D错．三、填空题13．已知数列满足，，则______.【答案】/【分析】算出数列的前五项，找到数列的周期为3，则本题即可解决.【详解】由，得.因为，所以，，，，…，所以是以3为周期的数列，则.故答案为：14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】-3【分析】当时，代入条件即可得解.【详解】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．15．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为            ．【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，，任取一个零件是次品的概率为如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为，16．已知动点到抛物线的焦点的距离为1，则的轨迹方程是         ；若，是抛物线上的动点，则的最小值是           ．【答案】，4【解析】第二空解答：由题意可知，抛物线的焦点为．设点，则由抛物线的定义得，．要使最小，则应有，此时有．令，则，所以．因为，显然有，则由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立．故的最小值为． 四、解答题17．已知数列，的前n项和分别为，，且，，当时，满足．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由条件结合与的关系可求；（2）由递推关系证明为等比数列，由此可求的通项公式，再利用错位相减法求和.【详解】（1）因为，所以，当时，，又，当时，，所以，当时，，所以；（2）因为，所以，所以，又，所以数列为以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，，所以，所以，所以，所以.18．如图，三棱柱中，侧面是矩形，，，D是AB的中点.(1)证明：；(2)若平面，E是上的动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明线面垂直，根据线面垂直得出线线垂直；（2）先设比值得出向量关系，根据空间向量法求已知二面角的值即可求出比值.【详解】（1）取BC的中点F，连接，，记，是AB的中点，，，，在矩形中，，，，，，，平面 ,平面，平面，平面，；（2）因为平面，，平面，所以，，由矩形得，以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，则，，，，所以 设是平面的一个法向量，则，令，则.设是平面的一个法向量，则，令，则，，.，或（舍去），.19．记的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)若点在边上，且，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.【详解】（1）解：因为，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，因为，所以，.（2）解：因为，则为锐角，所以，，因为，所以，，所以，，设，则，在和中，由正弦定理得，，因为，上面两个等式相除可得，得，即，所以，.20．锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896．(1)当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（）；(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布（单位：mm）．㈠梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235mm的概率约为多少？（精确到0.001）㈡为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树杆地径均小于235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由．附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．【答案】(1)0.5632(2)（1）0.001；（2）答案见解析 【分析】（1）先求得红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率的取值范围，再利用条件概率公式即可求得三种幼苗均成活的概率；（2）㈠利用正态分布的性质即可求得树杆地径小于235mm的概率；㈡答案不唯一，符合概率统计的原理，言之有理即可.【详解】（1）由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，故概率为，即，解得或（舍去）又，故p的取值范围为，故p的最大值为0.8，记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件A，经济作物幼苗成活为事件B，则有，．故所求概率为．（2）㈠设正常情况下，任意抽取一株梭梭树，树杆地径为，由题意可知，因为，所以由正态分布的对称性及“”原则可知：．㈡理由①：农林管理员的判断是合理的．如果该地块土质对梭梭树的生长没有影响，由（1）可知，随机抽取10棵梭梭树，树杆地径都小于235mm的概率约为，为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的．理由②：农林管理员的判断是不合理的．由于是随机抽取了10棵梭梭树，所以不可控因素比较多，例如有可能这10颗树的幼苗栽培深度较浅，也有可能是自幼苗栽种后的浇水量或浇水频率不当所致．（答案不唯一，言之有理即可）   21．如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．（1）3x2-y2-3=0（x>1）；（2）【详解】（1）设的坐标为，显然有，且，当时，点的坐标为，当时，，由，有，即，化简可得，，而点也在曲线， 综上可知，轨迹的方程为； （2）由，消去并整理，得， 由题意，方程有两根且均在内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，∴，解得，且， 设，的坐标分别为，，由及方程有，，∴，由，且，得且，故的取值范围是．22. ·（1）当时，求证：.（2）已知函数有唯一零点，求证：且.参考答案：（1）设       ，       ……1分在上单调递增 ，得，即.     ……3分（2），得在单调递减，在单调递增.当时，，，，且，，单调递减，，，单调递增.为极小值点，  ……5分若有唯一零点，则，即，即，将①代入②，得即，若，则，设，，当时，，在单调递增.           ……7分，，由，得，等式两边取自然对数，得根据（1）中时，   ，得   ……9分（另解：）先证明时，       ……10分，得由得，，，设，且，得.综上           ……12分（另解1：，，）（另解2，得）