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2023年河南省开封市中考数学模拟试卷（含答案）
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这是一份2023年河南省开封市中考数学模拟试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省开封市中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
4．（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（ ）
A．0.272×107 B．2.72×106 C．2.72×105 D．272×104
5．（3分）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，DC的延长线交AE于点F；若∠BAE＝75°，则∠DCE的度数为（ ）
A．120° B．115° C．110° D．75°
6．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本）（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
7．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，且A，B，D三点在同一直线上，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，以下结论错误的是（ ）
A．AD是∠BAC的平分线
B．∠ADC＝60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上
D．S△ABD：S△ABC＝1：2
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x＜0）的图象上，且△OAB是等边三角形，则k的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C． D．﹣12
10．（3分）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，若CD＝3BF，BE＝4（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：x2+2x+1＝ ．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
15．（3分）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），则图中m的值为 ．
三、解答题（共8个小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO是矩形；
（2）若CD＝3，求EO的长．
19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4．
20．每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价多10元
（1）A、B两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？
21．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
22．（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
①求证：AD＝BE；
②求∠AFB的度数．
（2）如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°
①求证：AD＝BE；
②若AB＝BC＝3，DE＝EC＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，在图3中画出图形，并求BF的长度．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
2023年河南省开封市中考数学模拟试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【解答】解：2023的倒数是．
故选：D．
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看到的几何体的图形为：．
故选：B．
3．（3分）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2+a≥3，
解得：a≥﹣2．
故选：C．
4．（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（ ）
A．0.272×107 B．2.72×106 C．2.72×105 D．272×104
【解答】解：272000＝2.72×105，
故选：C．
5．（3分）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，DC的延长线交AE于点F；若∠BAE＝75°，则∠DCE的度数为（ ）
A．120° B．115° C．110° D．75°
【解答】解：∵AB∥CD，∠BAE＝75°，
∴∠EFC＝∠BAE＝75°，
∵∠DCE＝∠AEC+∠EFC，∠AEC＝35°，
∴∠DCE＝110°，
故选：C．
6．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本）（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
【解答】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，
众数为12，
平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8．
故选：C．
7．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，且A，B，D三点在同一直线上，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m
【解答】解：设AD＝x米，
∵AB＝16米，
∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝x（米），
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x＝24﹣8，
经检验：x＝24﹣8是原方程的根，
∴CD＝24﹣6＝8（2﹣，
∴这棵树CD的高度是8（5﹣）米，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，以下结论错误的是（ ）
A．AD是∠BAC的平分线
B．∠ADC＝60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上
D．S△ABD：S△ABC＝1：2
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，所以B选项的结论正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以C选项的结论正确；
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，
而BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∴BD：BC＝4：3，
∴S△ABD：S△ABC＝2：5，所以D选项的结论错误．
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x＜0）的图象上，且△OAB是等边三角形，则k的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C． D．﹣12
【解答】解：根据题意设A（m，），则B（﹣，
∵△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝6，
∴m2+（）2＝36，（m+）2+（+m）2＝36，
解得k＝﹣7，
故选：B．
10．（3分）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，若CD＝3BF，BE＝4（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，
∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，
∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，
∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴CF＝3BE＝12，
设BF＝x，
则CD＝6x，DF＝BC＝x+12，
∵∠C＝90°，
在Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF6，
∴（3x）2+128＝（x+12）2，
解得：x＝3，x＝2（舍），
∴AD＝DF＝3+12＝15，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：x2+2x+1＝ （x+1）2 ．
【解答】解：x2+2x+7＝（x+1）2，
故答案为：（x+7）2．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣6，
故答案为﹣3，
13．（3分）不等式组的解集是 1＜x≤3 ．
【解答】解：解不等式1﹣x＜0，得：x＞6，
解不等式x﹣6≤0，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故答案为：1＜x≤3．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 m＞4 ．
【解答】解：由题意可知：Δ＜0，
∴16﹣4m＜8，
∴m＞4
故答案为：m＞4
15．（3分）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），则图中m的值为 6 ．
【解答】解：由图可得，
普通列车的速度为：1800÷12＝150（千米/小时），
动车的速度为：1800÷4﹣150＝300（千米/小时），
m＝1800÷300＝6，
故答案为：3．
三、解答题（共8个小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣8﹣2×
＝1+﹣6﹣
＝2；
（2）原式＝•
＝•
＝．
17．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 2 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 54 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）∵调查的总人数为：10÷25%＝40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣3﹣6＝14，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵7+14+10＝26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部，
故答案为：8、2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：×360°＝54°；
故答案为：54；
（3）条形统计图如图所示，
（4）将《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）＝＝．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO是矩形；
（2）若CD＝3，求EO的长．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形；
（2）解：∵四边形AEBO是矩形，
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝CD，
∴EO＝CD＝3．
19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4．
【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，
则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.7（米）．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，
则AF＝ABcos∠BAF＝5×cos37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝6.5米，
∴DE＝CD﹣CE＝1.6米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，
则AD＝≈＝3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝7.25﹣2.4≈3.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．
20．每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价多10元
（1）A、B两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？
【解答】解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
由题意可得：，
解得：，
∴A种图书单价30元，B种图书单价20元；
（2）设购买A种图书a本，
由题意可得；30a+20（50﹣a）≤1300，
解得：a≤30，
∴最多可以购买30本A种图书．
21．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，3），8）在反比例函数上，
∴m＝1×3＝n×1，
∴m＝3，n＝6，
∴反比例函数为y＝，点B（3，
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为：y＝﹣x+4；
（2）令x＝7，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（6，4），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝＝4；
（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，ED⊥CD于D，
设E（a，）（a＞1），
∵A（1，2），
∴AD＝a﹣1，DE＝3﹣，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠EAD+∠CAF＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CAF＝∠AED，
在△ACF和△EDA中，
，
∴△ACF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3﹣，
∴F（﹣2，
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴（﹣2）（4﹣a）＝4，
解得a＝6或a＝1（舍去），
∴E（5，）．
22．（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
①求证：AD＝BE；
②求∠AFB的度数．
（2）如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°
①求证：AD＝BE；
②若AB＝BC＝3，DE＝EC＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，在图3中画出图形，并求BF的长度．
【解答】解（1）①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE．
∴∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBF．
②如图1，设BC交AF于点G．
∵∠AGC＝∠BGF，∠CAD＝∠CBF，
∴∠BFG＝∠ACG＝60°．
即∠AFB＝60°．
（2）①∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝45°，＝＝．
∴∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD∽△BCE．
∴＝＝．
∴AD＝BE．
②当点D落在线段BC上时，
如图2，
则CD＝CE＝2．
过点E作EH⊥BC于点H，
则CH＝EH＝DH＝1，BH＝BC﹣CH＝3﹣1＝2
∴BE＝＝．
∵∠ACD＝∠BCE＝45°，＝＝．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠BFD＝∠ACD＝45°．
∴∠BFD＝∠BCE＝45°．
又∵∠DBF＝∠EBC，
∴△BDF∽△BEC．
∴＝．
∴＝．
∴BF＝．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x7﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣22﹣4×（﹣7）+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，8）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H
∵A（﹣5，0），6）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣3，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣4m+2），（﹣5＜m＜0），m+2），
∴，
∵a＝﹣1＜6，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣6，
设点N的坐标为（﹣2，m），﹣x2﹣2x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣5，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，﹣16）或（﹣7．
2023年河南省开封市中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
4．（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（ ）
A．0.272×107 B．2.72×106 C．2.72×105 D．272×104
5．（3分）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，DC的延长线交AE于点F；若∠BAE＝75°，则∠DCE的度数为（ ）
A．120° B．115° C．110° D．75°
6．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本）（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
7．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，且A，B，D三点在同一直线上，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，以下结论错误的是（ ）
A．AD是∠BAC的平分线
B．∠ADC＝60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上
D．S△ABD：S△ABC＝1：2
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x＜0）的图象上，且△OAB是等边三角形，则k的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C． D．﹣12
10．（3分）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，若CD＝3BF，BE＝4（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：x2+2x+1＝ ．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
15．（3分）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），则图中m的值为 ．
三、解答题（共8个小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO是矩形；
（2）若CD＝3，求EO的长．
19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4．
20．每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价多10元
（1）A、B两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？
21．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
22．（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
①求证：AD＝BE；
②求∠AFB的度数．
（2）如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°
①求证：AD＝BE；
②若AB＝BC＝3，DE＝EC＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，在图3中画出图形，并求BF的长度．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
2023年河南省开封市中考数学模拟试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【解答】解：2023的倒数是．
故选：D．
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看到的几何体的图形为：．
故选：B．
3．（3分）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2+a≥3，
解得：a≥﹣2．
故选：C．
4．（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（ ）
A．0.272×107 B．2.72×106 C．2.72×105 D．272×104
【解答】解：272000＝2.72×105，
故选：C．
5．（3分）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，DC的延长线交AE于点F；若∠BAE＝75°，则∠DCE的度数为（ ）
A．120° B．115° C．110° D．75°
【解答】解：∵AB∥CD，∠BAE＝75°，
∴∠EFC＝∠BAE＝75°，
∵∠DCE＝∠AEC+∠EFC，∠AEC＝35°，
∴∠DCE＝110°，
故选：C．
6．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本）（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
【解答】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，
众数为12，
平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8．
故选：C．
7．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，且A，B，D三点在同一直线上，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m
【解答】解：设AD＝x米，
∵AB＝16米，
∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝x（米），
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x＝24﹣8，
经检验：x＝24﹣8是原方程的根，
∴CD＝24﹣6＝8（2﹣，
∴这棵树CD的高度是8（5﹣）米，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，以下结论错误的是（ ）
A．AD是∠BAC的平分线
B．∠ADC＝60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上
D．S△ABD：S△ABC＝1：2
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，所以B选项的结论正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以C选项的结论正确；
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，
而BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∴BD：BC＝4：3，
∴S△ABD：S△ABC＝2：5，所以D选项的结论错误．
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x＜0）的图象上，且△OAB是等边三角形，则k的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C． D．﹣12
【解答】解：根据题意设A（m，），则B（﹣，
∵△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝6，
∴m2+（）2＝36，（m+）2+（+m）2＝36，
解得k＝﹣7，
故选：B．
10．（3分）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，若CD＝3BF，BE＝4（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，
∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，
∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，
∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴CF＝3BE＝12，
设BF＝x，
则CD＝6x，DF＝BC＝x+12，
∵∠C＝90°，
在Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF6，
∴（3x）2+128＝（x+12）2，
解得：x＝3，x＝2（舍），
∴AD＝DF＝3+12＝15，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：x2+2x+1＝ （x+1）2 ．
【解答】解：x2+2x+7＝（x+1）2，
故答案为：（x+7）2．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣6，
故答案为﹣3，
13．（3分）不等式组的解集是 1＜x≤3 ．
【解答】解：解不等式1﹣x＜0，得：x＞6，
解不等式x﹣6≤0，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故答案为：1＜x≤3．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 m＞4 ．
【解答】解：由题意可知：Δ＜0，
∴16﹣4m＜8，
∴m＞4
故答案为：m＞4
15．（3分）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），则图中m的值为 6 ．
【解答】解：由图可得，
普通列车的速度为：1800÷12＝150（千米/小时），
动车的速度为：1800÷4﹣150＝300（千米/小时），
m＝1800÷300＝6，
故答案为：3．
三、解答题（共8个小题，共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣8﹣2×
＝1+﹣6﹣
＝2；
（2）原式＝•
＝•
＝．
17．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 2 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 54 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）∵调查的总人数为：10÷25%＝40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣3﹣6＝14，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵7+14+10＝26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部，
故答案为：8、2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：×360°＝54°；
故答案为：54；
（3）条形统计图如图所示，
（4）将《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）＝＝．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO是矩形；
（2）若CD＝3，求EO的长．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形；
（2）解：∵四边形AEBO是矩形，
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝CD，
∴EO＝CD＝3．
19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4．
【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，
则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.7（米）．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，
则AF＝ABcos∠BAF＝5×cos37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝6.5米，
∴DE＝CD﹣CE＝1.6米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，
则AD＝≈＝3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝7.25﹣2.4≈3.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．
20．每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价多10元
（1）A、B两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？
【解答】解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
由题意可得：，
解得：，
∴A种图书单价30元，B种图书单价20元；
（2）设购买A种图书a本，
由题意可得；30a+20（50﹣a）≤1300，
解得：a≤30，
∴最多可以购买30本A种图书．
21．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，3），8）在反比例函数上，
∴m＝1×3＝n×1，
∴m＝3，n＝6，
∴反比例函数为y＝，点B（3，
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为：y＝﹣x+4；
（2）令x＝7，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（6，4），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝＝4；
（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，ED⊥CD于D，
设E（a，）（a＞1），
∵A（1，2），
∴AD＝a﹣1，DE＝3﹣，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠EAD+∠CAF＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CAF＝∠AED，
在△ACF和△EDA中，
，
∴△ACF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3﹣，
∴F（﹣2，
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴（﹣2）（4﹣a）＝4，
解得a＝6或a＝1（舍去），
∴E（5，）．
22．（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
①求证：AD＝BE；
②求∠AFB的度数．
（2）如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°
①求证：AD＝BE；
②若AB＝BC＝3，DE＝EC＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，在图3中画出图形，并求BF的长度．
【解答】解（1）①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE．
∴∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBF．
②如图1，设BC交AF于点G．
∵∠AGC＝∠BGF，∠CAD＝∠CBF，
∴∠BFG＝∠ACG＝60°．
即∠AFB＝60°．
（2）①∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝45°，＝＝．
∴∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD∽△BCE．
∴＝＝．
∴AD＝BE．
②当点D落在线段BC上时，
如图2，
则CD＝CE＝2．
过点E作EH⊥BC于点H，
则CH＝EH＝DH＝1，BH＝BC﹣CH＝3﹣1＝2
∴BE＝＝．
∵∠ACD＝∠BCE＝45°，＝＝．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠BFD＝∠ACD＝45°．
∴∠BFD＝∠BCE＝45°．
又∵∠DBF＝∠EBC，
∴△BDF∽△BEC．
∴＝．
∴＝．
∴BF＝．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x7﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣22﹣4×（﹣7）+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，8）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H
∵A（﹣5，0），6）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣3，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣4m+2），（﹣5＜m＜0），m+2），
∴，
∵a＝﹣1＜6，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣6，
设点N的坐标为（﹣2，m），﹣x2﹣2x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣5，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，﹣16）或（﹣7．
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