江西省新八校2023届高三第二次联考数学（文）试题（含解析）

江西省新八校2023届高三第二次联考数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．记集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则的共轭复数为（   ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，，则的值为（   ）

A．3 B．4 C． D．

4．执行如图所示的程序框图，则输出的n为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（   ）

A． B． C． D．

6．甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率（   ）

A． B． C． D．

7．已知递增的等差数列的首项为1，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（   ）

A． B． C． D．

8．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

9．函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的数是（   ）

A． B． C． D．

10．已知，，，则（   ）

A． B．

C． D．

11．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（   ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知x，y满足约束条件，则的最大值为__________．

14．已知函数，则不等式的解集是______.

15．在棱长为2的正方体中，点为中点，点在正方形内运动（含边界），在点运动过程中，点到平面的最小距离是______.

16．已知是拋物线上两点，且，为焦点，则最大值为______.

三、解答题

17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表.

已知从这100名学生中任选1人，女生被选中的概率为.

(1)完成上面的列联表，并根据列联表中的数据，判断能否有的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关.

(2)若按分层抽样法从女生中抽取8人，再从8人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人都不经常锻炼的概率.

附：，其中，.

18．在中，内角所对的边分别为，且.

(1)求角的大小；

(2)若，，求的面积.

19．如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.

(1)求证：；

(2)若是线段AB上一点，，，三棱锥的体积为，求的值.

20．已知圆A：，直线过点且与轴不重合，交圆于C，D两点，过作AC的平行线交AD于点E.

(1)求点E的轨迹的方程；

(2)设轨迹的上、下顶点分别为G、H，过点的直线交轨迹于M、N两点（不与G、H重合），直线GM与直线交于点，求证：P、H、N三点共线.

21．已知函数.

(1)若，求在点处的切线方程；

(2)若是的两个极值点，证明：.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点的极坐标为，设曲线和直线交于M，N两点，求的值.

23．已知a，b，c为正实数，且满足.证明：

(1)；

(2).

参考答案：

1．A

【分析】解不等式求出，从而求出交集.

【详解】集合或，，所以.

故选：A.

2．C

【分析】利用复数乘法计算法则计算即可.

【详解】，所以的共轭复数为

故选：C

3．C

【分析】根据题意，由平面向量垂直的坐标运算即可得到结果.

【详解】因为向量，，且，

则，解得.

故选:C

4．B

【分析】根据循环的功能，一一循环验证，直至，终止循环，输出结果.

【详解】解：因为，，

第一次执行循环体，得，；

第二次执行循环体，得，；

第三次执行循环体，得，；

第四次执行循环体，得，，

则输出．

故选：B．

5．A

【分析】由三视图可知，该几何体是一个长方体挖去一个圆柱的组合体，分别计算长方体与圆柱的体积，利用长方体的体积减去圆柱的体积即可.

【详解】由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个圆柱而形成的，

长方体的底面积为，高为，

则长方体的体积为，

圆柱的底面积为，高为，

故圆柱的体积为，

所以该几何体的体积为.

故选：A

6．B

【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用条件概率公式即可求出结果.

【详解】由题知，，，所以，

故选：B.

7．D

【分析】由已知条件求得通项公式，得到通项公式，再利用裂项相消法求解即可.

【详解】设递增等差数列的公差为d（），

则，，，

又因为，，成等比数列，

所以，即：，

解得：或（舍），

所以，

所以，

则.

故选：D.

8．A

【分析】化简得到，得到，且的最小正周期为，根据题意求得的最小值为，进而求得的最小值.

【详解】因为

，

所以，且函数的最小正周期为，

因为存在实数使得对任意实数总有成立，

所以的最小值为，所以的最小值为.

故选：A.

9．D

【分析】根据题意，利用圆上一点到原点的距离的取值计算出公差的范围，进而判断即可求解.

【详解】函数等价为，

表示为圆心在半径为1的上半圆，

半圆上点到原点的最短距离为1，最大距离为3，

若存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，

则最大的公差应有，即，

最小的公差应满足，即，

所以公差的取值范围为，

所以不可能成为该等差数列的公差．

故选：D.

10．A

【分析】利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系.

【详解】因为，，则，

所以，，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上为增函数，所以，，即，

所以，，故.

故选：A.

11．B

【分析】将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得的不等式，可得所求范围．

【详解】方程，即，

显然，则，即，

可得动点到定点和定直线的距离的比为常数，

由双曲线的定义，可得，解得，即的取值范围为.

故选：B．

12．B

【分析】根据互为反函数的对称性，把所求的点点距离转化为点线距离，构造函数求最小值即可.

【详解】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.

所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.

所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.

曲线上的点到直线的距离为

设，则.

由可得，由可得

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以当时，函数，所以

由图象关于对称得：的最小值为.

故选：B

13．2

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】作出可行域如图所示：

由解得：.

把转化为直线l:.

平移直线l，经过点A时，纵截距最小，此时最大.

故的最大值为2.

故答案为：2

14．

【分析】由定义可判断函数的奇偶性，求导可得其单调性，从而可求解不等式.

【详解】因为函数，所以，即函数为奇函数，

且，则函数为增函数，

则不等式等价于，

即，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

15．

【分析】运用等体积法可得，求h的最小值，即需求的最大值，进而需求出边上的高QN的最大值，运用面面垂直的性质、线面垂直的判定、性质证得，可求得在上的最大值，进而求得结果.

【详解】如图所示，

由题意知，面ABCD面，面ABCD，

所以Q到面的距离等于A到面的距离，

所以，

所以，

设点P到平面的距离为h，

则，

所以，

过点Q作交AD于点M，

又因为面ABCD面，面ABCD面，面ABCD，

所以面，

又因为面，

所以，

过点M作交于点N，连接，

则，

又因为，、面，

所以面，

又因为面，

所以，

设（），

则，（），

所以，（），

所以当时取得最大值为，此时取得最小值为.

故答案为：.

16．

【分析】根据抛物线的几何意义，再利用余弦定理与基本不等式求余弦的最小值再判断即可.

【详解】拋物线的焦点，

由题得，，

即，

故

，

即，因为，且余弦函数在内单调递减，

故，当且仅当时成立.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式与余弦定理的综合运用等，需要根据题意列出对于的余弦定理，再利用基本不等式分析最值,属于中等题型.

17．(1)列联表见解析，有95%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．

(2)

【分析】（1）先计算出女生人数，进而补全列联表.计算的值，由此作出判断.

（2）由分层抽样计算出抽取的8人中经常锻炼与不经常锻炼的人数，再结合古典概型求解概率即可.

【详解】（1）设这100名学生中女生有x人，则，解得．

列联表完成如下．

所以，

因为，所以有95%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．

（2）从女生中抽取的8人中经常锻炼的有人，不经常锻炼的有人，

 8人中随机抽取2人的基本事件有种，

抽取的2人都不经常锻炼的基本事件有种，

所以抽取的2人都不经常锻炼的概率为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；

（2）先利用正弦定理将转化为的关系，再结合（1）中的条件求出，最后利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）,

由正弦定理得，即

，又，

；

（2），

由正弦定理得①，

又②，

由①②得，

.

19．(1)证明见解析

(2)3

【分析】（1）由直棱柱性质得，再由平面，得，从而可得线面垂直，然后得线线垂直；

（2）是直角三角形，，由已知可得出，由（1）可得，因此只要设，则面积可表示出来，也可得出三棱锥的体积，求得，得出．

【详解】（1）∵是直三棱柱，则面，

又面，∴，

又平面，平面，∴，

又，平面，平面，∴平面，

又平面，∴；

（2）由（1）知平面，

∴，，∴，点到的距离为，

设，则，

∵，，，∴，

由，，，

∴，

∴，∴，即，

∴，则.

20．(1)；

(2)证明见详解.

【分析】（1）由椭圆的定义求点E的轨迹的方程即可；

（2）证明P、H、N三点共线，转化为证明.

【详解】（1）

如图：因为，平行于，

所以，所以，

故，

又由于圆A：，可得，

从而，所以.

又，，所以,

所以，

有椭圆的定义可知点E的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，

所以点E的轨迹的方程为：.

（2）证明：如图：

由题意可知：,，

因为过点的直线交轨迹于M、N两点（不与G、H重合），

所以直线的斜率存在，可设直线的方程为：，设，.

联立与可得：

恒成立，

所以，.

直线的斜率为，所以方程为：与直线交于点，

所以，所以，，

所以P、H、N三点共线.

【点睛】经过圆锥曲线上满足某条件的动点的直线过定点问题，可探求出动点坐标，求出直线方程，即可推理计算解决问题，证明三点共线问题可以转化为斜率之差为零的问题.

21．(1)；

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，计算切点处的函数值与导数值，根据点斜式即可求解切线方程；

（2）根据极值点的定义，可得是方程的两个不等的正实根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成，令，构造函数，结合导数证明即可.

【详解】（1）当时，，则，

所以，，

所以在点处的切线方程为，

即

（2）证明：由，可知，

因为（）是的极值点，

所以方程的两个不等的正实数根，

所以，，

则

．

要证成立，

只需证，即证，

即证，即证，

设，则，即证，

令，

则，

所以在上单调递减，则，

所以，故．

【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.

22．(1);

(2)

【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式，化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）将点P的极坐标化为直角坐标，并判断点P在直线上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．

【详解】（1）将消去参数，得，

所以曲线的普通方程为．

由，得，

将，代入上式，得

所以直线的直角坐标方程为．

（2）因为点P的极坐标为，所以P的直角坐标为，则点P在直线上，

易得直线的参数方程为（t为参数），

将其代入圆的方程，并整理得．

因为，所以方程有两个不相等的实数根，

设这两个根分别为和，则，．

所以．

23．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用绝对三角不等式即可证明结论；

（2）利用三元基本不等式和基本不等式即可证明结论.

【详解】（1）因为，当且仅当时取等号，又因为，所以.

（2）因为a，b，c为正实数，，由三元基本不等式知，

，

当且仅当时取等号，所以