吉林省长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三下学期第四次摸底考试数学试卷（含解析）

吉林省长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三下学期第四次摸底考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数的平方根是（    ）

A．或 B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

4．“”是“圆：与圆：有公切线”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知，均为锐角，且，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，（），则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．与均在单调递增

B．的图象可由的图象平移得到

C．图象的对称轴均为图象的对称轴

D．函数的最大值为

10．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：

甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；

乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；

丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；

根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ）

A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分

B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分

C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分

D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24

11．如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ）

A．

B．三棱锥的体积为

C．直线与平面所成角的大小为

D．三棱锥外接球的半径为

12．已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（    ）

A．是偶函数 B．

C． D．

三、填空题

13．如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则______.

14．与曲线和都相切的直线方程为__________.

四、双空题

15．设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______________，__________.

五、填空题

16．设抛物线：（）焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作 的垂线，垂足为．设，与相交于．若，且的面积为，则抛物线的方程为________________.

六、解答题

17．已知数列的前项的积

(1)求数列的通项公式；

(2)数列满足，求.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.

(1)当 时，求的面积;

(2)求周长的取值范围.

19．如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，.

(1)求证：；

(2)若，且点到底面的距离为，求二面角的余弦值.

20．某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；

(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．

21．已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．

(1)求椭圆方程；

(2)设斜率存在的直线交椭圆于，两点（，位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，则直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22．设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．

求常数的值；

当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

求证：．

参考答案：

1．A

【分析】设的平方根为，则，化简后根据复数相等列方程组求解即可.

【详解】设的平方根为，则，即，

从而解得或

所以复数的平方根是或，

故选：A

2．B

【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.

【详解】集合，即，

，则，所以.

故选：B

3．C

【分析】根据题意得到，再结合即可求解的值．

【详解】依题意得，

又，所以．

故选：C．

4．A

【分析】根据圆与圆的位置关系确定的取值范围，即可判断充分必要性.

【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，

若两圆有公切线，则，即，解得或，

所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.

故选：A.

5．D

【分析】根据圆柱侧面积公式以及圆的面积公式即可求解每个面的面积,进而可求表面积.

【详解】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，.

故选：D

6．B

【分析】运用双曲线定义求得a、c的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可.

【详解】由，得．

因为，

所以．又因为，所以，

故双曲线的方程为，

所以两条渐近线的方程为．

设，则，

故．

不妨设，则，

所以，

所以．

故选：B．

7．C

【分析】将变形，配角利用两角差的正弦公式展开化简计算，可得关于的一元二次方程，根据列不等式求解的取值范围，即可得最大值.

【详解】∵，∴，即，∴，即，又因为为锐角，所以该方程有解，即，解得．又为锐角，∴．所以的最大值是.

故选：C

8．C

【分析】分别取，可判断A，B，利用对数换底公式和基本不等式可判断C，D.

【详解】若，则，∴，，，故A错．

若，则，∴，，故B错．

对于C，由得：，即.

同理由得：，

所以，故C正确；

对于D，同上得：,故D错误.

故选：C．

9．AD

【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称性、换元法逐一判断即可.

【详解】，

当时，，，显然、都是的子集，所以函数与均在单调递增，因此选项A正确；

函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，因为左右、上下平移不改变正弦型函数的最小正周期，故选项B不正确；

由，所以函数的对称轴为，

函数的对称轴为，

显然当为奇数时，图象的对称轴不为图象的对称轴，因此选项C不正确；

令，

所以，因为，

所以当时，该函数有最大值，因此选项D正确，

故选：AD

10．AD

【分析】根据中位数，众数的定义判断A，结合中位数，平均数的定义举反例判断B，根据平均数和方差的定义，百分位数的定义，分析丙球员的得分判断CD.

【详解】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，

则，，且至少出现次，

故，A正确；

设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，

则，，

取，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误；

设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，

由已知，

所以，

若，则，

所以，矛盾，

所以，，

因为的平均数为，所以，

取，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误；

因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为，

若，则，故，矛盾，

所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D 正确；

故选：AD.

11．ACD

【分析】证明平面，即可判断A，再根据即可判断B；先利用余弦利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线与平面所成角的正弦值为即可判断C；利用直角三角形可得的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D．

【详解】由题意可知由，，

又，，平面，所以平面，平面,所以，故A正确，

在中，，所以为直角三角形，

所以，故B错误；

设到平面的距离为，则 ，

由于 ,所以，又,故直线与平面所成角为 ，则 ,故C正确，

由B选项知，为直角三角形，

所以的外接圆的半径，

设三棱锥外接球的半径为，

又因为平面，

则，所以，

即三棱锥外接球的半径为，故D正确．

故选：ACD

12．BCD

【分析】举例说明判断选项A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断选项B、C、D作答.

【详解】对于A，函数，显然，而，即，因此不是偶函数，故A错误；

函对于B，数定义域为R，满足，当时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

因此当时，函数在上递减，

在上递增，当时，取得最大值，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

因此当时，函数，

在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，

当时，函数的图象有唯一公共点，

因为，因此，，而满足的整数有个，即，故B正确；

对于C，显然，

所以，故C正确；

对于D，，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键.

13．

【分析】根据题意可知,,根据平面向量基本定理,将用线性表示,根据两个向量相等即可得的值,进而得出结果.

【详解】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以,

所以

,

因为不共线,所以,故.

故答案为:

14．

【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.

【详解】设直线与曲线相切于点，

因为，所以该直线的方程为，即，

设直线与曲线相切于点，

因为，所以该直线的方程为，即，

所以，解得，

所以该直线的方程为，

故答案为：.

15．          /0.75

【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.

【详解】由题知，，，

，

即，则.

因，

所以，

则.

故答案为：；.

16．

【分析】由抛物线定义可得四边形为平行四边形，故可得点 即得抛物线方程.

【详解】如图所示，，．

所以．

轴，，，

所以四边形为平行四边形，

，．

，解得，

代入可取，

，

解得．.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【分析】（1）当时，，即可求出答案；

（2），由此可求得答案.

【详解】（1），

当时，.

当时，，满足上式，

.

（2）

.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论可求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得出结论；

（2）由余弦定理及已知条件可得，利用基本不等式可得，解得，从而可求得周长的最大值.

【详解】（1）由，得 ，

即，

即，

当 时，，得;

当时，，由正弦定理得，

由余弦定理及已知条件可得，

联立. 解得，

故三角形的面积为.

（2）法一：由余弦定理可得:，

由得，当且仅当a=b取等号.

又，即.

即周长的取值范围是.

法二:，

中，由正弦定理有，

.

即周长的取值范围是.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，结合题设易知、，由面面垂直的性质有平面，最后根据线面垂直的性质、判定证结论；

（2）构建空间直角坐标系，面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.

【详解】（1）取的中点，连接，

，为中点，

为中点，又为中点，

，故；

由，为中点，则，

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，则；

，平面，平面，

平面，，又，故.

（2）由（1）知：平面，且为等边三角形，则，

以为原点，为轴建立空间直角坐标系，

又点到底面的距离等于点到底面的距离为，

，，，，，

设面的法向量为，则，令，则，

设面的法向量为，则，令，则，

，所以二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)分布列见解析，

(3)3月3日

【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.

（2）根据题意得到，，，，再写出分布列数学期望即可.

（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.

【详解】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，

从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，

甲乙微信记步数都不低于10000，

故.

（2）由（1）知：，

，，，

的分布列为：

（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，

（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，

人，人，人，

由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，

根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，

根据折线图知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率确定椭圆中的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得的值，从而求得椭圆方程；

（2）由题可设直线，，，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可得，，再由已知等式确定，由坐标关系进行转化可求得的值得出结果.

【详解】（1）根据椭圆C的离心率为知，所以，如图，则

则在中，可得，，

由正弦定理得，解得，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）由已知直线的斜率不为0，

设直线，，，

联立，得，得

于是，，

因为，，代入椭圆方程得，

所以，

同理，于是，，

因为，所以，即．

又直线l的斜率存在，所以，于是，

所以，即，又，，

所以，整理得，

所以，化简整理得，

又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，

所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，

于是直线l恒过定点．

22．(1) ；(2) ；(3) 详见解析

【详解】. 试题解析：

(1) 对求导得：，根据条件知，所以.

(2) 由(1)得，

.

①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；

②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；

③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；综上

(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形

对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有.

取，当时，成立；

当时，.

从而对于任意正整数都有成立.

对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立.

因此对于任意正整数，不等式恒成立.

这样依据不等式，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立.

考点：1.导数来描述原函数的单调性；2. 导数来描述原函数的极值；3.函数零点