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2022-2023学年江苏省南通市崇川区、如皋市联考七年级（下）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年江苏省南通市崇川区、如皋市联考七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市崇川区、如皋市联考七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.
1．下列各数中无理数是（ ）
A． B．0.3 C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，10）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PM的长度 D．线段PH的长度
4．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（0，﹣2）
5．对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的是（ ）
A．a＝6，b＝8 B．a＝﹣6，b＝8 C．a＝6，b＝﹣8 D．a＝﹣6，b＝﹣8
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5小桶可以盛酒2斛．问：1个大桶、1个小桶各盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
8．将点A（a，b）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B（﹣b，a），则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．若【x】表示实数x的整数部分，＜x＞表示实数x的小数部分，如【】＝1，【】＝1，＜＞＝﹣1，则＜3﹣＞+【】的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别向左、右运动到点C（0，2），D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G（﹣1，4），H（1，4），I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A．（2023，4046） B．（2023，22023）
C．（2024，4046） D．（2024，22023）
二、填空题（每题4分，共32分）
11．已知点P（﹣5，2），则点P到y轴的距离是 ．
12．比较大小： 1（填“＜”或“＞”或“＝”）．
13．若（1﹣x）3＝64，则x的值是 ．
14．已知二元一次方程2x+3y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
15．已知x，y为实数，其中，则yx的算术平方根是 ．
16．如图，将长方形ABCD沿EF对折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝26°，则∠2＝ °．
17．已知关于x，y的方程组的解满足等式x+y＝5，则实数a的值是 ．
18．为了亮化紫琅湖景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次与QP垂直之前，两灯的光束互相垂直时A灯旋转的时间是 秒．
三、解答题（本大题共8小题，共88分）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解方程组：
（1）；
（2）．
21．阅读下列文字，并完成证明．
已知：如图，∠1＝∠4，∠2＝∠3．
求证：AB∥CD．
证明：如图，延长CF交AB于点G，
∵∠2＝∠3（已知），
∴BE∥CF（ ），
∴∠1＝ （ ）．
∵∠1＝∠4（已知），
∴∠4＝ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE．若∠BOD＝25°，求∠EOF的度数．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1），将△ABC平移，使点B与点O重合，得到△A1OC1，点A，C的对应点分别为A1，C1．
（1）画出△A1OC1并写出点A1、C1的坐标；
（2）若直线l经过点（2，0）且与x轴垂直，则直线l也会经过点 （填A，C，A1或C1）；
（3）在（2）的条件下，若点P在直线l上，且△A1OP的面积等于1，直接写出点P的坐标．
24．某校开设了合唱、美术、篮球、足球等多个兴趣社团，需在某商场购买同批次的篮球和足球，七（1）班计划购买4个篮球和3个足球需花费530元，七（2）班计划购买2个篮球和7个足球需花费650元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．七（3）班同时购买了若干个篮球和足球，恰好花费960元．该班购买篮球和足球的个数各是多少？
25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点A的“短距”等于点B的“短距”时，称A，B两点互为“相关点”．如点A（﹣2，3）的“短距”是2，它与点B（﹣5，2）互为“相关点”．
（1）点C（7，﹣17）的“短距”是 ；在点D（﹣14，7），E（﹣10，8），F（0，﹣3）中，与点C互为“相关点”的是 ；
（2）若点M（﹣2，k）与点N（4，3k﹣5）互为“相关点”，求k的值．
26．如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线MD上的一个动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N．设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，当点G在点F的右侧，且α＝50°时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中无理数是（ ）
A． B．0.3 C． D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
解：A．是无理数，故本选项符合题意；
B．0.3是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，10）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点在第二象限内的坐标特点解答即可．
解：∵P（﹣5，10）的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴点P（﹣5，10）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标，注意四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PM的长度 D．线段PH的长度
【分析】利用从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短求解即可．
解：依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段PH的长度．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
4．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（0，﹣2）
【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，
∴y＝0，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴m+3＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．
5．对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的是（ ）
A．a＝6，b＝8 B．a＝﹣6，b＝8 C．a＝6，b＝﹣8 D．a＝﹣6，b＝﹣8
【分析】根据有理数的加法法则、有理数的大小比较法则以及假命题的概念解答即可．
解：当a＝6，b＝﹣8时，a+b＝6+（﹣8）＝﹣2＜0，而a＞0，b＜0，
说明命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5小桶可以盛酒2斛．问：1个大桶、1个小桶各盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
解：①∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，不符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴BC∥AD，符合题意；
③∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；
④∵AB∥CE，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；
故能推出BC∥AD的条件为②③④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
8．将点A（a，b）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B（﹣b，a），则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将点A的横坐标减2、纵坐标减3表示出点B的坐标，再结合点B（﹣b，a）得出关于a、b的方程组，解之可得．
解：将点A（a，b）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B的坐标可表示为（a﹣2，b﹣3），
∵点B（﹣b，a），
∴，
解得，
则B（﹣，﹣），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
9．若【x】表示实数x的整数部分，＜x＞表示实数x的小数部分，如【】＝1，【】＝1，＜＞＝﹣1，则＜3﹣＞+【】的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分别求出3﹣的小数部分和的整数部分，再相加即可．
解：∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴3﹣2＜3﹣＜3﹣1，
即1＜3﹣＜2，
∴＜3﹣＞＝3﹣﹣1＝2﹣，
∵4＜7＜9，
∴＜＜，
即2＜＜3，
∴【】＝2，
∴＜3﹣＞+【】＝2﹣+2＝4﹣，
故选：A．
【点评】本题考查无理数大小估计，实数的运算，掌握夹逼法是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别向左、右运动到点C（0，2），D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G（﹣1，4），H（1，4），I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A．（2023，4046） B．（2023，22023）
C．（2024，4046） D．（2024，22023）
【分析】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，据此规律解答即可．
解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，
则动点A完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为2023×2＝4046，横坐标为：2023+1＝2024，则最右边第一个点的坐标是（2024，4046）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了观察图形的规律，根据图形得到每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1是解答本题的关键．
二、填空题（每题4分，共32分）
11．已知点P（﹣5，2），则点P到y轴的距离是 5 ．
【分析】根据点P到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可．
解：点P到y轴的距离＝|﹣5|＝5，
故答案为：5．
【点评】此题考查的是点的坐标，解题的关键是：点P到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值．
12．比较大小： ＜ 1（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【分析】先把进行估算，再与1进行比较，即可得出答案．
解：∵≈0.62，0.62＜1，
∴＜1；
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，关键是估算出的大小是本题的关键．
13．若（1﹣x）3＝64，则x的值是 ﹣3 ．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可求解．
解：∵（1﹣x）3＝64，
∴1﹣x＝4，
∴x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
14．已知二元一次方程2x+3y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝ ﹣x+ ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
解：方程2x+3y＝7，
解得：y＝﹣x+，
故答案为：﹣x+．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
15．已知x，y为实数，其中，则yx的算术平方根是 4 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用算术平方根的定义得出答案．
解：∵，
∴x﹣4＝0，y+2＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
∴yx＝（﹣2）4＝16，
则yx的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
16．如图，将长方形ABCD沿EF对折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝26°，则∠2＝ 103 °．
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以求得∠2的度数．
解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠GEF，
∵∠1＝26°，
∴∠DEF＝∠GEF＝77°，
∴∠AEF＝∠1+∠GEF＝26°+77°＝103°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠2＝103°，
故答案为：103．
【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．已知关于x，y的方程组的解满足等式x+y＝5，则实数a的值是 ﹣1 ．
【分析】①×2+②得出8x+13y＝0，求出8（x+y）+5y＝0，把x+y＝5代入求出y，再求出x，最后把把x＝13，y＝﹣8代入①求出a即可．
解：，
①×2+②，得8x+13y＝0，
8（x+y）+5y＝0，
∵x+y＝5，
∴40+5y＝0，
∴y＝﹣8，
∴x＝5﹣（﹣8）＝13，
把x＝13，y＝﹣8代入①，得a＝3×13+5×（﹣8）＝39﹣40＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，能求出x、y的值是解此题的关键．
18．为了亮化紫琅湖景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次与QP垂直之前，两灯的光束互相垂直时A灯旋转的时间是 5.5 秒．
【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次与QP垂直需要90÷10＝9（秒），推出t≤9﹣2，即t≤7．利用垂线的判定，构建方程解决问题即可．
解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次与QP垂直需要90÷10＝9（秒），
∴t≤9﹣2，即t≤7．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相垂直：
如图，∠MAM'＝30t，∠PBP'＝∠AFB＝10（2+t），
∠MAM'﹣∠AFB＝90°．
30t﹣10（2+t）＝90，
解得t＝5.5；
故选：5.5．
【点评】本题考查平行线的性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系．
三、解答题（本大题共8小题，共88分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去括号，再计算加减；
（2）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．
解：（1）
＝2﹣+
＝；
（2）
＝4+3+﹣1
＝6+．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
20．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可；
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
解：（1），
②代入①，可得：2x﹣3（x﹣1）＝1，
解得x＝2，
把x＝2代入②，可得y＝2﹣1＝1，
∴原方程组的解是．
（2），
由①，可得4m﹣6n＝13③，
②﹣③，可得3n＝﹣6，
解得n＝﹣2，
把n＝﹣2代入②，可得4m﹣3×（﹣2）＝7，
解得m＝0.25，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
21．阅读下列文字，并完成证明．
已知：如图，∠1＝∠4，∠2＝∠3．
求证：AB∥CD．
证明：如图，延长CF交AB于点G，
∵∠2＝∠3（已知），
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝ ∠AGC （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠1＝∠4（已知），
∴∠4＝ ∠AGC （等量代换），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】如图，延长CF交AB于点G，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：如图，延长CF交AB于点G，
∵∠2＝∠3（已知），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠AGC（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠4（已知），
∴∠4＝∠AGC（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行，∠AGC，两直线平行，同位角相等，∠AGC，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE．若∠BOD＝25°，求∠EOF的度数．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，根据垂直求出∠FOA的度数，根据角平分线定义即可求出答案．
解：∵∠BOD＝25°，
∴∠AOC＝∠BOD＝25°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC+∠AOF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣25°＝65°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝65°．
【点评】本题考查了角平分线定义、对顶角、垂直定义等知识点，能求出各个角的度数是解此题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1），将△ABC平移，使点B与点O重合，得到△A1OC1，点A，C的对应点分别为A1，C1．
（1）画出△A1OC1并写出点A1、C1的坐标；
（2）若直线l经过点（2，0）且与x轴垂直，则直线l也会经过点 A1 （填A，C，A1或C1）；
（3）在（2）的条件下，若点P在直线l上，且△A1OP的面积等于1，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据题意可得直线l的解析式为x＝2，结合点A1的坐标可得答案．
（3）设点P的坐标为（2，y），即可列方程为＝1，解方程即可．
解：（1）如图，△A1OC1即为所求．
A1（2，4），C1（3，2）．
（2）∵直线l经过点（2，0）且与x轴垂直，
∴直线l的解析式为x＝2，
∵A1（2，4），
∴直线l也会经过点A1．
故答案为：A1．
（3）设点P的坐标为（2，y），
∵△A1OP的面积等于1，
∴＝1，
解得y＝3或5，
∴点P的坐标为（2，3）或（2，5）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
24．某校开设了合唱、美术、篮球、足球等多个兴趣社团，需在某商场购买同批次的篮球和足球，七（1）班计划购买4个篮球和3个足球需花费530元，七（2）班计划购买2个篮球和7个足球需花费650元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．七（3）班同时购买了若干个篮球和足球，恰好花费960元．该班购买篮球和足球的个数各是多少？
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，依题意：七（1）班计划购买4个篮球和3个足球需花费530元，七（2）班计划购买2个篮球和7个足球需花费650元．列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设七（3）班购买篮球m个，足球n个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m、n的二元一次方程，再结合m、n均为正整数，即可得出结论．
解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
依题意，得：，
解得：，
答：篮球的单价是80元，足球的单价是70元；
（2）设七（3）班购买篮球m个，足球n个，
依题意，得：0.8（80m+70n）＝960，
∴m＝15﹣n，
∵m、n均为正整数，
∴或，
答：七（3）班购买篮球8个、足球8个或者篮球1个、足球16个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点A的“短距”等于点B的“短距”时，称A，B两点互为“相关点”．如点A（﹣2，3）的“短距”是2，它与点B（﹣5，2）互为“相关点”．
（1）点C（7，﹣17）的“短距”是 7 ；在点D（﹣14，7），E（﹣10，8），F（0，﹣3）中，与点C互为“相关点”的是 D ；
（2）若点M（﹣2，k）与点N（4，3k﹣5）互为“相关点”，求k的值．
【分析】（1）根据点C到x轴的距离为27，到y轴距离为7，结合定义即可求出点的“短距”；分别求出点D，E，F的“短距”，即可得出与点C互为“相关点”的点；
（2）点M到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点N到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，进而分类讨论，根据“相关点”的定义列出方程，解方程即可求解．
解：（1）∵点C到x轴的距离为17，到y轴距离为7，
∴点C的“短距”为7，
根据定义得D，E，F的“短距”分别为7，8，0，
∴与点C互为“相关点”的是D；
故答案为：7，D；
（2）点M到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点N到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，
当|k|＞2时，2＝|3k﹣5|，
∴3k﹣5＝2或3k﹣5＝﹣2，
解得k＝或k＝1（舍）．
当|k|≤2时，|k|＝|3k﹣5|，
∴k＝3k﹣5或k+3k﹣5＝0，
解得k＝或k＝（舍）．
综上，k的值为或．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键．
26．如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线MD上的一个动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N．设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，当点G在点F的右侧，且α＝50°时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）由EM平分∠AEF，得到∠AEM＝∠FEM，又∠FEM＝∠FME，所以∠AEM＝∠FME，证得AB∥CD．
（2）①由EH平分∠FEG，EM平分∠AFE，得到∠HEM＝∠HEF+∠FEM＝∠AEG，由HN∥EM，AB∥CD可得，∠HEM＝∠EHN＝α，GEB＝∠EGF＝β，即可得到结果．
②当点G在点F的左侧时，由EM平分∠AEF，EH平分∠FEH，得到∠HEM＝∠HEF+∠FEM＝∠AEG，由AB∥CD，HN∥EM，得到∠AEG＝β，∠HEM＝α，从而得到结果．
【解答】解（1）如图1，AB∥CD，
理由如下：
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
（2）①如图2，∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠FEG，
∵EM平分∠AFE，
∴∠FEM＝∠AEF，
∴∠HEM＝∠HEF+∠FEM＝∠AEG，
∵HN∥EM，
∴∠HEM＝∠EHN＝α，
∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠EGF＝β，
∴α＝（180°﹣β），
∴β＝180°﹣2α＝180°﹣2×50°＝80°．
②α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧时，由①得β＝180°﹣2α，
当点G在点F的左侧时，如图3，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠FEM，
∵EH平分∠FEH，
∴∠GEF＝2∠HEF，
∴∠AEG＝∠AEF﹣∠GEF＝2∠FEM﹣2∠HEF＝2∠HEM，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝β，
∵HN∥EM，
∴∠HEM＝α，
∴β＝2α，
综上得，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．
2022-2023学年江苏省南通市崇川区、如皋市联考七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.
1．下列各数中无理数是（ ）
A． B．0.3 C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，10）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PM的长度 D．线段PH的长度
4．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（0，﹣2）
5．对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的是（ ）
A．a＝6，b＝8 B．a＝﹣6，b＝8 C．a＝6，b＝﹣8 D．a＝﹣6，b＝﹣8
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5小桶可以盛酒2斛．问：1个大桶、1个小桶各盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
8．将点A（a，b）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B（﹣b，a），则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．若【x】表示实数x的整数部分，＜x＞表示实数x的小数部分，如【】＝1，【】＝1，＜＞＝﹣1，则＜3﹣＞+【】的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别向左、右运动到点C（0，2），D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G（﹣1，4），H（1，4），I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A．（2023，4046） B．（2023，22023）
C．（2024，4046） D．（2024，22023）
二、填空题（每题4分，共32分）
11．已知点P（﹣5，2），则点P到y轴的距离是 ．
12．比较大小： 1（填“＜”或“＞”或“＝”）．
13．若（1﹣x）3＝64，则x的值是 ．
14．已知二元一次方程2x+3y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
15．已知x，y为实数，其中，则yx的算术平方根是 ．
16．如图，将长方形ABCD沿EF对折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝26°，则∠2＝ °．
17．已知关于x，y的方程组的解满足等式x+y＝5，则实数a的值是 ．
18．为了亮化紫琅湖景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次与QP垂直之前，两灯的光束互相垂直时A灯旋转的时间是 秒．
三、解答题（本大题共8小题，共88分）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解方程组：
（1）；
（2）．
21．阅读下列文字，并完成证明．
已知：如图，∠1＝∠4，∠2＝∠3．
求证：AB∥CD．
证明：如图，延长CF交AB于点G，
∵∠2＝∠3（已知），
∴BE∥CF（ ），
∴∠1＝ （ ）．
∵∠1＝∠4（已知），
∴∠4＝ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE．若∠BOD＝25°，求∠EOF的度数．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1），将△ABC平移，使点B与点O重合，得到△A1OC1，点A，C的对应点分别为A1，C1．
（1）画出△A1OC1并写出点A1、C1的坐标；
（2）若直线l经过点（2，0）且与x轴垂直，则直线l也会经过点 （填A，C，A1或C1）；
（3）在（2）的条件下，若点P在直线l上，且△A1OP的面积等于1，直接写出点P的坐标．
24．某校开设了合唱、美术、篮球、足球等多个兴趣社团，需在某商场购买同批次的篮球和足球，七（1）班计划购买4个篮球和3个足球需花费530元，七（2）班计划购买2个篮球和7个足球需花费650元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．七（3）班同时购买了若干个篮球和足球，恰好花费960元．该班购买篮球和足球的个数各是多少？
25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点A的“短距”等于点B的“短距”时，称A，B两点互为“相关点”．如点A（﹣2，3）的“短距”是2，它与点B（﹣5，2）互为“相关点”．
（1）点C（7，﹣17）的“短距”是 ；在点D（﹣14，7），E（﹣10，8），F（0，﹣3）中，与点C互为“相关点”的是 ；
（2）若点M（﹣2，k）与点N（4，3k﹣5）互为“相关点”，求k的值．
26．如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线MD上的一个动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N．设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，当点G在点F的右侧，且α＝50°时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中无理数是（ ）
A． B．0.3 C． D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
解：A．是无理数，故本选项符合题意；
B．0.3是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，10）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点在第二象限内的坐标特点解答即可．
解：∵P（﹣5，10）的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴点P（﹣5，10）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标，注意四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PM的长度 D．线段PH的长度
【分析】利用从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短求解即可．
解：依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段PH的长度．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
4．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（0，﹣2）
【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，
∴y＝0，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴m+3＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．
5．对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的是（ ）
A．a＝6，b＝8 B．a＝﹣6，b＝8 C．a＝6，b＝﹣8 D．a＝﹣6，b＝﹣8
【分析】根据有理数的加法法则、有理数的大小比较法则以及假命题的概念解答即可．
解：当a＝6，b＝﹣8时，a+b＝6+（﹣8）＝﹣2＜0，而a＞0，b＜0，
说明命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5小桶可以盛酒2斛．问：1个大桶、1个小桶各盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
解：①∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，不符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴BC∥AD，符合题意；
③∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；
④∵AB∥CE，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；
故能推出BC∥AD的条件为②③④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
8．将点A（a，b）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B（﹣b，a），则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将点A的横坐标减2、纵坐标减3表示出点B的坐标，再结合点B（﹣b，a）得出关于a、b的方程组，解之可得．
解：将点A（a，b）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B的坐标可表示为（a﹣2，b﹣3），
∵点B（﹣b，a），
∴，
解得，
则B（﹣，﹣），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
9．若【x】表示实数x的整数部分，＜x＞表示实数x的小数部分，如【】＝1，【】＝1，＜＞＝﹣1，则＜3﹣＞+【】的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分别求出3﹣的小数部分和的整数部分，再相加即可．
解：∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴3﹣2＜3﹣＜3﹣1，
即1＜3﹣＜2，
∴＜3﹣＞＝3﹣﹣1＝2﹣，
∵4＜7＜9，
∴＜＜，
即2＜＜3，
∴【】＝2，
∴＜3﹣＞+【】＝2﹣+2＝4﹣，
故选：A．
【点评】本题考查无理数大小估计，实数的运算，掌握夹逼法是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别向左、右运动到点C（0，2），D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G（﹣1，4），H（1，4），I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A．（2023，4046） B．（2023，22023）
C．（2024，4046） D．（2024，22023）
【分析】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，据此规律解答即可．
解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，
则动点A完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为2023×2＝4046，横坐标为：2023+1＝2024，则最右边第一个点的坐标是（2024，4046）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了观察图形的规律，根据图形得到每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1是解答本题的关键．
二、填空题（每题4分，共32分）
11．已知点P（﹣5，2），则点P到y轴的距离是 5 ．
【分析】根据点P到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可．
解：点P到y轴的距离＝|﹣5|＝5，
故答案为：5．
【点评】此题考查的是点的坐标，解题的关键是：点P到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值．
12．比较大小： ＜ 1（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【分析】先把进行估算，再与1进行比较，即可得出答案．
解：∵≈0.62，0.62＜1，
∴＜1；
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，关键是估算出的大小是本题的关键．
13．若（1﹣x）3＝64，则x的值是 ﹣3 ．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可求解．
解：∵（1﹣x）3＝64，
∴1﹣x＝4，
∴x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
14．已知二元一次方程2x+3y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝ ﹣x+ ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
解：方程2x+3y＝7，
解得：y＝﹣x+，
故答案为：﹣x+．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
15．已知x，y为实数，其中，则yx的算术平方根是 4 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用算术平方根的定义得出答案．
解：∵，
∴x﹣4＝0，y+2＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
∴yx＝（﹣2）4＝16，
则yx的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
16．如图，将长方形ABCD沿EF对折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝26°，则∠2＝ 103 °．
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以求得∠2的度数．
解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠GEF，
∵∠1＝26°，
∴∠DEF＝∠GEF＝77°，
∴∠AEF＝∠1+∠GEF＝26°+77°＝103°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠2＝103°，
故答案为：103．
【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．已知关于x，y的方程组的解满足等式x+y＝5，则实数a的值是 ﹣1 ．
【分析】①×2+②得出8x+13y＝0，求出8（x+y）+5y＝0，把x+y＝5代入求出y，再求出x，最后把把x＝13，y＝﹣8代入①求出a即可．
解：，
①×2+②，得8x+13y＝0，
8（x+y）+5y＝0，
∵x+y＝5，
∴40+5y＝0，
∴y＝﹣8，
∴x＝5﹣（﹣8）＝13，
把x＝13，y＝﹣8代入①，得a＝3×13+5×（﹣8）＝39﹣40＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，能求出x、y的值是解此题的关键．
18．为了亮化紫琅湖景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次与QP垂直之前，两灯的光束互相垂直时A灯旋转的时间是 5.5 秒．
【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次与QP垂直需要90÷10＝9（秒），推出t≤9﹣2，即t≤7．利用垂线的判定，构建方程解决问题即可．
解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次与QP垂直需要90÷10＝9（秒），
∴t≤9﹣2，即t≤7．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相垂直：
如图，∠MAM'＝30t，∠PBP'＝∠AFB＝10（2+t），
∠MAM'﹣∠AFB＝90°．
30t﹣10（2+t）＝90，
解得t＝5.5；
故选：5.5．
【点评】本题考查平行线的性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系．
三、解答题（本大题共8小题，共88分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去括号，再计算加减；
（2）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．
解：（1）
＝2﹣+
＝；
（2）
＝4+3+﹣1
＝6+．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
20．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可；
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
解：（1），
②代入①，可得：2x﹣3（x﹣1）＝1，
解得x＝2，
把x＝2代入②，可得y＝2﹣1＝1，
∴原方程组的解是．
（2），
由①，可得4m﹣6n＝13③，
②﹣③，可得3n＝﹣6，
解得n＝﹣2，
把n＝﹣2代入②，可得4m﹣3×（﹣2）＝7，
解得m＝0.25，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
21．阅读下列文字，并完成证明．
已知：如图，∠1＝∠4，∠2＝∠3．
求证：AB∥CD．
证明：如图，延长CF交AB于点G，
∵∠2＝∠3（已知），
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝ ∠AGC （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠1＝∠4（已知），
∴∠4＝ ∠AGC （等量代换），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】如图，延长CF交AB于点G，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：如图，延长CF交AB于点G，
∵∠2＝∠3（已知），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠AGC（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠4（已知），
∴∠4＝∠AGC（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行，∠AGC，两直线平行，同位角相等，∠AGC，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE．若∠BOD＝25°，求∠EOF的度数．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，根据垂直求出∠FOA的度数，根据角平分线定义即可求出答案．
解：∵∠BOD＝25°，
∴∠AOC＝∠BOD＝25°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC+∠AOF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣25°＝65°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝65°．
【点评】本题考查了角平分线定义、对顶角、垂直定义等知识点，能求出各个角的度数是解此题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1），将△ABC平移，使点B与点O重合，得到△A1OC1，点A，C的对应点分别为A1，C1．
（1）画出△A1OC1并写出点A1、C1的坐标；
（2）若直线l经过点（2，0）且与x轴垂直，则直线l也会经过点 A1 （填A，C，A1或C1）；
（3）在（2）的条件下，若点P在直线l上，且△A1OP的面积等于1，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据题意可得直线l的解析式为x＝2，结合点A1的坐标可得答案．
（3）设点P的坐标为（2，y），即可列方程为＝1，解方程即可．
解：（1）如图，△A1OC1即为所求．
A1（2，4），C1（3，2）．
（2）∵直线l经过点（2，0）且与x轴垂直，
∴直线l的解析式为x＝2，
∵A1（2，4），
∴直线l也会经过点A1．
故答案为：A1．
（3）设点P的坐标为（2，y），
∵△A1OP的面积等于1，
∴＝1，
解得y＝3或5，
∴点P的坐标为（2，3）或（2，5）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
24．某校开设了合唱、美术、篮球、足球等多个兴趣社团，需在某商场购买同批次的篮球和足球，七（1）班计划购买4个篮球和3个足球需花费530元，七（2）班计划购买2个篮球和7个足球需花费650元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．七（3）班同时购买了若干个篮球和足球，恰好花费960元．该班购买篮球和足球的个数各是多少？
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，依题意：七（1）班计划购买4个篮球和3个足球需花费530元，七（2）班计划购买2个篮球和7个足球需花费650元．列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设七（3）班购买篮球m个，足球n个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m、n的二元一次方程，再结合m、n均为正整数，即可得出结论．
解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
依题意，得：，
解得：，
答：篮球的单价是80元，足球的单价是70元；
（2）设七（3）班购买篮球m个，足球n个，
依题意，得：0.8（80m+70n）＝960，
∴m＝15﹣n，
∵m、n均为正整数，
∴或，
答：七（3）班购买篮球8个、足球8个或者篮球1个、足球16个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点A的“短距”等于点B的“短距”时，称A，B两点互为“相关点”．如点A（﹣2，3）的“短距”是2，它与点B（﹣5，2）互为“相关点”．
（1）点C（7，﹣17）的“短距”是 7 ；在点D（﹣14，7），E（﹣10，8），F（0，﹣3）中，与点C互为“相关点”的是 D ；
（2）若点M（﹣2，k）与点N（4，3k﹣5）互为“相关点”，求k的值．
【分析】（1）根据点C到x轴的距离为27，到y轴距离为7，结合定义即可求出点的“短距”；分别求出点D，E，F的“短距”，即可得出与点C互为“相关点”的点；
（2）点M到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点N到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，进而分类讨论，根据“相关点”的定义列出方程，解方程即可求解．
解：（1）∵点C到x轴的距离为17，到y轴距离为7，
∴点C的“短距”为7，
根据定义得D，E，F的“短距”分别为7，8，0，
∴与点C互为“相关点”的是D；
故答案为：7，D；
（2）点M到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点N到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，
当|k|＞2时，2＝|3k﹣5|，
∴3k﹣5＝2或3k﹣5＝﹣2，
解得k＝或k＝1（舍）．
当|k|≤2时，|k|＝|3k﹣5|，
∴k＝3k﹣5或k+3k﹣5＝0，
解得k＝或k＝（舍）．
综上，k的值为或．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键．
26．如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线MD上的一个动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N．设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，当点G在点F的右侧，且α＝50°时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）由EM平分∠AEF，得到∠AEM＝∠FEM，又∠FEM＝∠FME，所以∠AEM＝∠FME，证得AB∥CD．
（2）①由EH平分∠FEG，EM平分∠AFE，得到∠HEM＝∠HEF+∠FEM＝∠AEG，由HN∥EM，AB∥CD可得，∠HEM＝∠EHN＝α，GEB＝∠EGF＝β，即可得到结果．
②当点G在点F的左侧时，由EM平分∠AEF，EH平分∠FEH，得到∠HEM＝∠HEF+∠FEM＝∠AEG，由AB∥CD，HN∥EM，得到∠AEG＝β，∠HEM＝α，从而得到结果．
【解答】解（1）如图1，AB∥CD，
理由如下：
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
（2）①如图2，∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠FEG，
∵EM平分∠AFE，
∴∠FEM＝∠AEF，
∴∠HEM＝∠HEF+∠FEM＝∠AEG，
∵HN∥EM，
∴∠HEM＝∠EHN＝α，
∵AB∥CD，
∴∠GEB＝∠EGF＝β，
∴α＝（180°﹣β），
∴β＝180°﹣2α＝180°﹣2×50°＝80°．
②α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧时，由①得β＝180°﹣2α，
当点G在点F的左侧时，如图3，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠FEM，
∵EH平分∠FEH，
∴∠GEF＝2∠HEF，
∴∠AEG＝∠AEF﹣∠GEF＝2∠FEM﹣2∠HEF＝2∠HEM，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝β，
∵HN∥EM，
∴∠HEM＝α，
∴β＝2α，
综上得，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．
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