2023年湖北省黄石市大冶市东岳中学中考数学一模试卷

这是一份2023年湖北省黄石市大冶市东岳中学中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年大冶市东岳中学中考数学模拟试卷
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列说法正确的是（　　）
A．倒数等于它本身的数只有1
B．平方等于它本身的数只有1
C．立方等于它本身的数只有1
D．正数的绝对值是它本身
2．下列图形是轴对称图形的是（    ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．三角形 D．四边形
3．用 5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（    ）

A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数中，自变量x的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
6．某学习小组的6名同学在第一次数学测试中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、90分，则下列结论正确的是（　　）
A．中位数是90分 B．众数是94分
C．平均数是91分 D．极差是20
7．如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(，4)，AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是(    )

A．(4，3) B．(4，4) C．(5，3) D．(5，4)
8．如图，内接于，，，是的中点，则的长度的最大值是（    ）

A． B． C． D．8
9．如图，用尺规作图作的平分线，第一步是以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；第二步是分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两圆弧交于点，连接，那么为所作，则说明的依据是（  ）

A． B． C． D．
10．四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现当时，；丙同学发现函数的最小值为；丁同学发现是一元二次方程的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是(   )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若a、b互为倒数，c、d互为相反数，e是最小的正整数，则=______．
12．分解因式：______．
13．近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐，截止2019年12月底，华为5G手机全球总发货量突破6 900 000台，将6 900 000用科学记数法表示为_____．
14．解分式方程，去分母得________________．
15．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）

16．先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则＝___．
17．如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________．

18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，．当是等腰三角形时，BF的长为______．


三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．先化简，再求值：，其中a=6．
20．如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．

(1)猜想是 三角形；
(2)请将猜想到的结论进行证明．
21．已知关于x的方程（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根、，求的值．
22．某中学组织七、八、九年级学生参加“州庆60年，梦想红河”作文比赛.该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图. 根据图中提供的信息完成以下问题.

（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，把七年级特等奖作文被选登在校刊上的事件记为A，其它年级特等奖作文被选登在校刊上的事件分别记为B，C，D．请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.
23．某商场销售的篮球和足球的进货价格分别是每个40元，50元．商场销售5个篮球和1个足球，可获利80元；销售6个篮球和3个足球，可获利150元．
（1）求该商场篮球和足球的销售价格分别是多少？
（2）商场准备用不多于2300元的资金购进篮球和足球共50个，问最少需要购进篮球多个？
24．在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离．
解：由直线知：，
所以到直线的距离为：．
根据以上材料，解决下列问题：

(1)求点到直线的距离．
(2)已知：是以点为圆心，为半径的圆，与直线相切，求实数的值；
(3)如图，设点为问题2中上的任意一点，点为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值．
25．如图，△ADB与△BCD均为等边三角形，延长AD到E，使∠AEC＝90°，AD＝5，动点M从点B出发，沿BD方向运动，移动速度为1个单位/秒，同时，点N由点D向点C运动，移动速度为2个单位/秒，其中一个到终点，都停止运动，连接AM，CM，MN，NE，设运动时间为t（0≤t≤2.5）

(1)t为何值时，MN∥BC；
(2)连接BN，t为何值时，BNE三点共线；
(3)设四边形AMNE的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使N在∠CMD的角平分线上，若存在,求出t近似值；若不存在，说明理由．






















参考答案：
1．【分析】根据倒数，平方，立方，绝对值的概念．
解：A、倒数等于它本身的数有1和﹣1，错误；
B、平方等于它本身的数有1和0，错误；
C、立方等于它本身的数有1和﹣1和0，错误；
D、正数的绝对值是它本身，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数，平方，立方，绝对值的概念，对这些概念性的知识学生要牢固掌握．
2．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此可得出答案．
解：A．等腰三角形是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．直角三角形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．三角形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．四边形不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．【分析】从上面看：共分3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形．据此可画出图形．
解：如图所示的立体图形的俯视图为：

故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
4．【分析】根据整式乘法法则直接计算即可．
解：A．与不能合并，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查整式乘法中幂的计算，解题关键是公式的记忆，；；；．
5．【分析】根据分母不为零，函数有意义，可得答案．
解：函数有意义，得
，
解得，
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分母不为零．
6．【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及极差的计算公式对各选项进行判断即可．
解：A、这组数据按从小到大排列为：80分、90分、90分、94分、94分、98分，所以这组数据的中位数为92分，所以A选项错误；
B、这组数据的众数是90分和94分，所以B选项错误；
C、这组数据的平均分：（分），所以C选项正确；
D、极差是，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和极差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
7．【分析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质求出AF，CF即可解决问题．
解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．

∵A(1，0)，B(-2，4)，
∴OA=1，BE=4，OE=2，AE=3，
∵∠AEB=∠AFC=∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠B=∠CAF，
∵AB=AC，
∴△BEA≌△AFC(AAS)，
∴CF=AE=3，AF=BE=4，OF=1+4=5，
∴C(5，3)，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．【分析】连接，，，由等腰三角形的性质和三角函数，求出OC的长度，点在以为直径的上，过点作交的延长线于点，然后求出BE的长度，即可得到的长度的最大值．
解：连接，，，作OF⊥BC，如图：

∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点在以为直径的上，过点作交的延长线于点，

∴OE=DE=4，
∵∠EOG=60°，
在直角△OEG中，∠OEG=30°，
∴OG=2，，
∴，
∴当点在的延长线上时，；
当点在线段上时，，
∴的长度的取值范围是，
∴的长度的最大值是，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
9．【分析】根据作图步骤进行分析即可解答；
解：∵第一步是以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点
∴AE=AF
∵二步是分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两圆弧交于点，连接，
∴CE=DE,AD=AD
∴根据SSS可以判定△AFD≌△AED
∴（全等三角形，对应角相等）
故答案为A.
【点评】本题考查的是用尺规作图做角平分线，明确作图步骤的依据是解答本题的关键.
10．【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立．
解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线时，，即．
当乙同学的结论正确，即当时，时，，可得．
当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为时，，可得．
当丁同学的结论正确，即当是一元二次方程的一个根时，，可得．
根据和不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立和，得，，不满足，故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立和，得，，此时满足，故假设成立；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
11．【分析】根据已知条件得出a、b；c、d关系，求出e的值，代入即可.
解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，e是最小的正整数，
∴ab=1，c+d=0，e=1
∴


.
【点评】本题考查了倒数、相反数、正整数、立方根，算术平方根的相关概念，熟练掌握相关概念是解题关键
12．【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．【分析】首先判定这是一个大于10的大数，选择的科学记数法为，根据记数法的要求，确定a，n即可．
解：∵6 900 000是一个大于10的大数，
∴6 900 000＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了大数的科学记数法表示，熟练掌握a，n的确定方法是解题的关键．
14．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
解：方程两边同时乘以x-1得：1-2（x-1）=-3，
故答案为：1-2（x-1）=-3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．
解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，
∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，
∴AD＝CD，
∴52+x＝x，
∴x＝≈74（m），
故答案为74，
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
16．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则即可求得k、b的值，代入计算即可．
解：将函数y=kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y=kx-1，
将函数y=3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y=3x+b+1，
∵平移后的两个函数的图象重合，
∴k=3，b+1=-1，
∴b=-2，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17．【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标．
解：如图，过点作轴，过点作轴，
由题意可知，
则，C在上，

设


即 解得（不符合题意，舍去）
所以
故答案为：．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键．
18．【分析】先判断，然后分时和时两种情况求解即可．
解：由题意可知，
∴四边形是菱形，
∴点在以点E为圆心，2为半径的圆上运动，当点D，，E共线时，最短，最小值为＞2，
∴，
∴当是等腰三角形时，分两种情况讨论．
①当时，
∵，
∴，
∴点在CD边上，如图(1)，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵∠B=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴BF==2．

②当时，如图(2)，
∵四边形是菱形， ，
∴，∴CD垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴=120°，
∴，
∴．
故答案为：2或2．
【点评】本题考查了折叠的性质，正方向的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，分类讨论是解答本题的关键．
19．【分析】首先根据分式的性质，进行通分，然后利用平方差公式和完全平方差公式进行转化，最后化简，代入即可得解.
解：根据题意，得

将a=6代入，得
原式=
【点评】此题主要考查分式的性质、平方差公式以及完全平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题.
20．【分析】（1）通过观察三角形三边长度和形状进行猜想；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明．
解：（1）猜想△DOP是等腰三角形；
故答案为：等腰．
（2）∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO=∠BOP，
∴∠DOP=∠DPO，
∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边．
21．【分析】（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-1=0求出方程的解x=1；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=(m+1)2得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
（2）由根与系数的关系得出“x1+x2=，x1•x2=”，整体代入即可得出结论．
（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为-x-1=0，
∴x=-1，
∴方程有实数根；
②当m≠0，△=(m-1)2-4m(-1)=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0，
∴方程恒有实数根；
因此，不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=-，x1•x2=-，
∴x1+x2+x1x2=--=-1．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）分类讨论；（2）结合根与系数的关系找出x1+x2=，x1•x2=．本题属于基础题，难度不大．
22．【分析】（1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可；
（2）用列表法或画树状图法，即可得出答案．
解：（1）总的作文篇数：20÷20%=100，
九年级参赛作文篇数对应的圆心角为：，
八年级的作文篇数：100-20-35=45，
补全条形统计图如图：

（2）七年级特等奖作文被选登在校刊上的事件记为A，其它特等奖作文被选登在校刊上的事件分别记为B，C，D.
列表：

∴共有12种等可能的结果，其中事件A出现的结果有6种，
∴P（A）==
【点评】此题考查了扇形统计图和条形统计图、列表法或树状图法的应用；从统计图中、扇形图中获取信息、画出树状图或列表是解决问题的关键．
23．【分析】（1）设该商场篮球的售价为x元，足球的售价为y元，根据“商场销售5个篮球和1个足球，可获利80元；销售6个篮球和3个足球，可获利150元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进篮球m个，则购进足球（50-m）个，根据总价=单价×数量结合总价不多于2300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
解：（1）设该商场篮球的售价为元，足球的售价为元
依题意，得：
解得：，
答：该商场篮球的售价为50元，足球的售价为80元．
（2）设购进篮球个，则购进足球个
依题意，
得：，
解得：；
答：最少需要购进篮球20个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．【分析】（1）直接利用距离公式代入计算即可得到答案；
（2）把直线整理，得，利用公式列方程求解即可；
（3）先求圆心到直线的距离，判断出到的最大距离与最短距离可得答案．
解：（1）解：，
其中，
，，
，
∴点到直线的距离为；
（2）解：直线整理，得，
故，，．
∵与直线相切，
∴点到直线的距离等于半径，
即，
整理得，
解得或；
（3）解：如解图，过点作于点．
∵在中，
，，，
∴圆心到直线的距离，
∴上的点到直线的最大距离为，
最小距离为，
∵，
∴的最大值为，
最小值为．

【点评】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为的形式，学会构建方程解决问题，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值．
25．【分析】（1）根据MN∥BC；证明△MDN为等边三角形，得出DM=DN，即5-t=2t，解方程即可；
（2）根据∠ADE为平角，求出∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，得出DE=，CE=，根据B、N、E三点共线；得出对顶角性质∠BNC=∠END，再证△BCN∽△EDN，得出即，求出DN即可；
（3）过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，先证BD为∠ADC的平分线，得出MG=MH，再证△MGD∽△BFD，，，求出，分别求出S△AMD=，S△MDN=S△DEN=，再根据S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）即可；
（4）过点M作MK⊥BC于K，根据等边三角形性质可得∠KBM=60°，可求∠KMB=90°-60°=30°，利用30°直角三角形性质得出BK=，利用勾股定理得出MK=MC，根据角平分线定理使N在∠CMD的角平分线上，得出即，整理得：，化为两函数的交点，用描点法画函数图像，列表连线得出量函数图像Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，t≈1.148时，两函数值相等即可．
（1）
解：∵△ADB与△BCD均为等边三角形，AD=5，
∴BD=DC=AD=5，
∴BM=t，DN=2t，
∵MN∥BC；
∴∠NMD=∠DBC=60°=∠MDN，
∴△MDN为等边三角形，
∴DM=DN，即5-t=2t，
解得秒；
∴当秒；MN∥BC；
（2）
解：∵∠ADE为平角，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∵∠CEA=90°，
∴∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，
∴DE=，CE=，
∵B、N、E三点共线；
∴∠BNC=∠END，
∵∠BCD=∠CDE=60°，  
∴BC∥DE，
∴△BCN∽△EDN，
∴即，
解得DN=，
∴2t=，
解得t=，
∴t=时，B、N、E三点共线；

（3）
解：过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，
∵∠BDA=∠BDC=60°，
∴BD为∠ADC的平分线，
∵MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，
∴MG=MH，
∵BF⊥AE，MG⊥AE，
∴BF∥MG，
∴△MGD∽△BFD，
∴，  
∵△ABD为等边三角形，BF⊥AD，
∴AF=DF=2.5，
∴BF=，
∵MB=t，
∴MD=5-t，
∴，
解得：，
∴MH=，
∴S△AMD=，
S△MDN=，
∵NI⊥DE，∠CED=90°，
∴NI∥CE，
∴△DNI∽△DCE，
∴即，  
∴解得NI=，
∴S△DEN=，
∴S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）；

（4）
过点M作MK⊥BC于K，，过点C作CS∥MN，交DB延长线于S，

∵∠KBM=60°，
∴∠KMB=90°-60°=30°，
∴BK=，MK=，
∴MC，
∵使N在∠CMD的角平分线上，
∴∠CMN=∠DMN，
∵MN∥CS，
∴∠S=∠DMN，∠SCM=∠CMN，
∴∠S=∠SCM，
∴MS=MC，
∵MN∥CS，
∴
∴即，
整理得：，
两函数的交点，
用描点法画函数图像，
列表
t
0

1
1.145
Y=8t3
0
4
8
12．009
t
1
1.15
1.24

Y=5(3t-5)2
20
12.0125
8.19
0
Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，
∴t≈1.148时，两函数值相等，

∴是存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【点评】本题考查等边三角形性质，平行线判定，三点共线，对顶角，三角形相似，三角形面积函数，勾股定理，角平分线定理，列表法函数式图形，利用图像求方程的解是解题关键．